1.1 投影

本节将介绍投影的概念、种类、特点。

1.1.1 投影概念

物体在光源的照射下在某个表面（平面或曲面）形成的图形称为投影，如图1-1所示。在投影图中可见的图线画成粗实线（，宽度0.7mm或0.5mm），不可见的图线画成细虚线（，宽度0.35mm或0.25mm，长画3～5mm，间隔约1mm），辅助线画成细实线（——，宽度同细虚线），对称中心线画成细点画线（，宽度同细虚线，长画约15mm，间隔与短画约1mm）。本书的图例中空间元素表达用大写字母，投影用小写字母表示，如图1-1所示。

光源的类型一般为点光源和平行光源，如图1-1所示。点光源形成的图形称为中心投影，平行光源形成的图形称为平行投影。投影的要素包括光源、物体、投影面。投影面一般为平面，特殊情况下为曲面（如球幕电影）。投影面的介质可以为固体，也可以为其他介质如水幕、光幕、云等。

1.1.2 中心投影与透视图

中心投影形成的图形一般称为透视图，根据物体放置的位置不同，透视图又分为一点透视、两点透视和三点透视。

一点透视是物体有一个主平面与投影面平行，如XOZ面，该面上的结构投射后x或z方向图线仍保持平行，而另一个轴方向（y轴）的图线在投影图中相交于一点，该点称为该轴线方向的灭点F_y（或消失点），该点也是该方向图线无穷远处点的投影。一点透视相当于站在景物的正前方进行观察得到的图像，通常用于一个方向较长的结构表达，如大厅、地铁站、街道等。图1-2a所示为室内一点透视的图形。

两点透视是物体上有一个主轴如z轴与投影面平行，投射后z方向的直线没有交点，仍相互平行。另外两个主轴方向（x、y轴方向），投射后所有x方向的直线相交于一点，称为x方向的灭点F_x，所有y方向的直线相交于另一点，称为y方向的灭点F_y。这两个灭点也是x、y方向无穷远处点的投影。两点透视相当于站在景物的侧面进行观察得到的图形，常用于表达空间有限的景物或结构，如室内设计、家具等。图1-2b所示为一个厂房外部的透视图。

三点透视是物体上三个主轴都与投影面相交，形成的透视图上有三个主向灭点，x、y、z三个方向的直线分别交于这三个灭点F_x、F_y、F_z。三点透视常用于表达较高的物体，如纪念塔、高楼等，如图1-2c所示。

从图1-2可以看出，只要直线不平行于投影面，那么该直线上相同长度的线段投射以后将不再相等，存在近大远小的问题。对于图1-2b中x方向的AB直线来说，不能直接通过度量的方式找到中间的几个等分点，可以通过作图的方式（如对角线）来求出等分点3、4、5点。在高度方向上，由于z轴平行于投影面，因此可以直接通过度量方式找到对应的等分点。当然还有其他的作图方法（量点法），读者可以参考其他资料学习，本书不再进行详述。同样一点透视也是一样，可以通过对角线方式来等分，或通过距点法（距点D）来作图。

总结：中心投影存在近大远小的特点，与画面相交的所有直线投影相交于该方向的灭点；根据物体放置的位置不同，分为一点透视、两点透视和三点透视；与投影面相交的图线不存在等比的性质，手工作图比较困难。

1.1.3 平行投影

当投射线相互平行时形成的投影称为平行投影。在平行投影中，当投射线倾斜于投影面时称为斜投影，如图1-3a所示；当投射线垂直于投影面时称为正投影，如图1-3b所示。

从图1-3可以看出，对于平行投影来说，只要平面平行于投影面，投射前后图形大小不变，反映实形。当平面不垂直于投影面，投射后的图形与原图形类似，如三角形投射后还是三角形，五边形投射后仍为五边形，称为类似性。在图1-3a中可以看出AM∶MB=am∶mb，即对于平行投影来说，投射前后点分线段的比值不变，称为等比性。由于平行投影具有等比性，因此手工绘图时度量比较方便，可以直接进行度量。

如果空间平面内有一线与投射方向平行，该平面投射后为一条直线，称为积聚性，如图1-4所示。

对于物体来说，一般采用正投影，如图1-5a所示。但是这样的话投影图相当于将立体压缩成了一张图片。因此一般来说正投影的立体感较差，一个投影也不能表达其在空间的形状，如图1-5b所示两个不同的物体投影图是一样的。如何解决这一问题呢，工程上采用了三种方法。第一种是将物体放置成倾斜的位置，再采用正投影，这样就可以在一个投影中反映物体的几个面的形状，称为正轴测图。它的特点是立体感强，但是结构复杂时仍不能完整表达。第二种方法是用斜投影，形成的图形称为斜轴测图。第三种方法是采用若干个正投影的方式来进行表达，下面分别进行介绍。

1.1.4 正轴测图

将物体上三个主要轴线方向相对于投影面倾斜放置，然后再进行正投影，得到的图形称为正轴测图。大多数的三维设计软件均采用正轴测图来表达物体的结构。正轴测图的生成可以理解为将物体绕Z轴旋转一定的角度，再绕X轴旋转一定的角度，然后再向竖直的投影面进行投射。教室的黑板相当于投影面，面前的物体旋转两个角度再进行观察。放正的物体如图1-6a所示，绕Z轴旋转θ角观察如图1-6b所示，再绕X轴旋转ϕ角如图1-6c所示。

在工程上考虑绘图方便，可以使正轴测图中的x、y轴与水平线成30°，z轴为竖直方向，旋转的角度为θ=45°和ϕ=35°15′51″。这样的轴测图称为正等轴测图，简称为正等测。正等轴测图三个轴之间的夹角互为120°（称为轴间角）。x、y、z三轴方向相对空间实长的倍数约为0.82，该数值称为轴向伸缩系数。x方向轴向伸缩系数用p表示，y方向轴向伸缩系数用q表示，z方向轴向伸缩系数用r表示。对于正等轴测图，p=q=r=cosϕ≈0.82。

正轴测投影与空间物体的坐标关系为

x′=Xcosθ-Ysinθ

y′=-Xsinθsinϕ-Ycosθsinϕ+Zcosϕ

对于正等轴测图来说

x′=0.7071（X-Y）

y′=-0.4082（X+Y）+0.8165Z

轴测图中一般不画看不到的图线。因此手工绘图时一般要考虑先画结合面的图形，如图1-7所示，不可见的不画，画多的还需要删除。

对于物体上的圆，在正轴测图中都是椭圆，如图1-8所示。在1-8a所示的水平面上，先确定圆心位置，根据半径大小，画出56、78两条线段，得到椭圆上的4个点，椭圆的长短轴为水平和竖直直线，如果要求不高，可以直接画出椭圆。如果使用工具绘图，可以圆的外切正方形（投影是平行四边形）的顶点1、2为圆心，以15线段为半径画出上下两段圆（圆代替椭圆），再以3、4为圆心，35线段为半径画出左右两段圆弧，代替椭圆另外两段，这种方法也称为四心椭圆法。

从图1-8a可以看出，平行于坐标面上的圆的投影椭圆的短轴平行于不在该坐标面上的第三个轴，长轴垂直于这个轴，这个性质同样可以推广到其他类型的正轴测图，如图1-8b所示的正二轴测图。

手工作图时，对于圆柱两端的圆，直径相同则投影的椭圆大小也是一样的，可以平移复制，然后作切线完成圆柱的作图，对于孔的作图也是一样的。在图1-9a中，可以根据尺寸先画出L形的结构，再直接量取尺寸（实际上等于轴测图放大了1/0.82=1.22倍），然后由尺寸确定出两个圆心的位置，画出两个半径方向的图线，通过直径上的四点和方向画出两个椭圆，通过两个圆心画出两条y和z方向直线，将两个椭圆平移到两线的端点A、B，画出两圆的切线，删除不可见图线即可得到图1-9b所示的图形。图中圆的中心线使用了细点画线（，宽度0.35mm或0.25mm，长画约15mm，间隔与短画约1mm）。

练一练：在一张图纸上画出正等轴测图（图1-10），绘图时量取对应尺寸，不用标注尺寸。

分析：这是一个比较复杂的物体，为一个中间带凹槽，底部为平板的主体结构，再加一些孔、台、加强板结构；画图应该先画主体，然后再加次要的结构；设计过程也是一样，应当体现：先大后小、先主后次、先实（实体）后虚（孔槽）的原则。

步骤：

1）首先按没有圆角画出前部的图形，可以先画出中心线（细点画线），再向两侧对称画出，如图1-11a所示。

2）按照宽度画出该部分的轴测图，如图1-11b所示。

3）画出后部左侧的三角，右侧的部分同样应当画出，看不见的部分不画，如图1-11c所示。

4）画出圆孔，底面上的圆（投影为椭圆）看不见，可以不画。绘制椭圆时可以先找出水平、竖直方向直径上的四个点，近似画出。使用仪器绘图时可以使用四心圆弧来代替椭圆，参考图1-8a所示的绘图方法。

圆角的画法同圆的画法一样，徒手绘图可以近似画出。仪器绘图时，可以先在该部分量取半径尺寸，找到M、N两点，如图1-11d所示，然后过该两点作两条垂直于边线的直线，这两条直线交于F点，以F点为圆心，FM为半径画圆弧代替投影中的椭圆。右侧椭圆弧的画法同左侧一样。

5）画出中间槽后部的台阶，如图1-11e所示。

在绘图时注意到正等轴测图有时还不能比较好地反映物体的结构，有的部分还看不见，说明观察的角度还不够好。在国家标准中还有一种较常用的轴测图是正二轴测图，简称为正二测。

正二轴测图中x轴、z轴的轴向伸缩系数相等，y轴方向的轴向伸缩系数等于x轴轴向伸缩系数的一半，即p=r=2q，根据这一关系可以得出，物体投影前需要绕Z轴和X轴旋转角分别为θ=20°42′17″，ϕ=19°28′22″。轴间角∠xOz=97°10′、∠yOz=131°25′、∠xOy=131°25′，如图1-8b所示，p=r=0.9428，q=0.4714。实际作图时取p=r=1、q=0.5。

正二轴测图坐标面上圆的投影椭圆的短轴的方向也是除该坐标面外另一轴的方向，如平行xOy坐标面的圆的投影椭圆的短轴的方向为z轴方向。

正二轴测图中坐标面上圆的投影椭圆作图一般不能用正等测中的四心椭圆法，只能用其他的近似画法作图。

相对于正等轴测图来说，正二轴测图的立体感更好一些，如图1-12所示。

1.1.5 斜轴测图

由于正等轴测图、正二轴测图中的椭圆手工绘图比较难，因此考虑有没有不用画椭圆的轴测图。根据平行投影的特点，只有当圆所在的平面平行于投影面时，才能够反映实际形状。可以想象，如果物体上只有一个方向有圆的结构，可以让该方向的平面平行于投影面，从相对于投影面倾斜的方向来进行投射，得到的图形就是斜轴测图。国家标准中给出了一种斜轴测图，称为斜二轴测图。

斜二轴测图（简称为斜二测）是另一种常用的轴测图表达方法，属于斜轴测图的一种，采用斜投影。它的特点是物体放置时，使其结构特征明显的一个面平行于投影面（如xOz面），则该面上图形的投影反映实形（投影等于实长，圆的投影还是圆），另一轴方向的投影长度缩短一半（投影长等于实长的一半），方向与水平线成45°，倾斜方向自定，如图1-13所示。斜二轴测图常常用于一个方向上圆较多物体的表达。

斜二轴测图由于一个面反映实际形状，另一个方向就是45°，绘图时长度缩短一半，所以手工绘图也很方便，适用于一个方向圆较多物体的立体图绘制。

1.1.6 三视图

单面正投影并不能反映物体的形状，因此在前面介绍了旋转物体进行观察的正轴测图（最常用的是正等测和正二测）以及沿倾斜方向观察的斜轴测图（最常用的是斜二测）。当然轴测图的使用也是有局限性的，在轴测图中不可见的图线是不画的，这就使得后面不可见的结构不能进行表达，因此轴测图表达物体时大多也是采用多角度、多轴测图方式进行表达。在工程表达中，为了便于看图，多采用多面正投影的方式组合进行表达，三视图就是用三个相互垂直的平面作为投影面，沿与三个平面垂直的方向进行三次投射，用三个投影图来表达对象，形成的三个投影图称为三视图，如图1-14a所示。

在图1-14a中，三个相互垂直的投影面为正立投影面（正面）V、侧立投影面（侧面）W、水平投影面（水平面）H，对应的三个投影轴是X、Y、Z轴。物体放在三个投影面前面的空间中，该空间也称为第Ⅰ分角，在图1-14a中用Ⅰ表示，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分角分别位于第Ⅰ分角的后面、对角、下面的空间。我国和欧洲大多数国家采用第Ⅰ分角表达方式，美国、日本等采用第Ⅲ分角表达方式。

完整物体的正投影一般称为视图（View），物体在正立投影面上的投影称为正面投影或主视图，是从前面观察得到的图形；在侧立投影面上的投影称为侧面投影或左视图，是从左侧观察得到的图形；在水平投影面上的投影称为水平投影或俯视图，是从上向下观察得到的图形。

三个视图形成以后不能放在空间进行观察，一般都是展开在一个平面上进行表达，形成一张平面上三个图形表达的方式。视图展开方式如图1-14b所示，正立投影面上的主视图不动，将水平投影面上的俯视图绕X轴向下旋转90°，与主视图形成一个平面，再将侧立投影面上的左视图绕Z轴旋转90°与主视图形成一个平面，如图1-14c所示。

从图1-14c可以看出，主视图与俯视图之间的连线与X轴垂直，两个视图之间具有竖直方向的对齐关系，称为长对正，主视图与左视图之间的连线为水平线，两个视图对应结构之间具有高度平齐的关系，称为高平齐，俯视图与左视图之间具有对应结构宽度相等的关系，称为宽相等。为了作图方便，在图1-14c中作了一条45°线，可以将俯视图的宽度转化到左视图上去，使之具有宽相等的关系，当然也可以直接用工具度量宽度方向的尺寸。

图中的坐标系反映了物体与坐标原点的位置关系，与物体本身的结构没有关系。同样投影面在图形中也没有必要画出，图1-14c中的连线反映了物体上对应结构之间的投影关系。为了图形清晰，连线在图形中也不必画出，这样图形中就只剩下了三个图形，即主视图、俯视图和左视图，如图1-14d所示。

注意：三个视图之间的位置关系必须保持，图形的比例也必须一样。

如图1-15所示，主视图反映了物体的上下左右关系、俯视图反映了物体的前后左右关系，左视图反映了物体的上下前后关系。实际表达物体时不用标注图名与方位关系，按照约定的布置方式进行布置就可以了，这一点非常重要。不对齐放置时就不能读懂相互之间的对应关系。

练一练：在一张图纸上徒手画出图1-16a所示物体的三视图。

对于图1-16所示的物体，可以分为两个部分，底部带缺口与孔的底板和右侧带孔与圆角的侧板。

选择哪个方向作为主视图的投射方向比较合理呢？一般的原则是主视图尽可能多地表达物体的形状和相互之间的位置关系，同时其他视图中细虚线尽可能较少。还要考虑到视图比较容易布置以及物体放置比较平稳。再看看这个物体，从前向后投射，上下关系比较明确、放置平稳。

绘图顺序：

1）底板较大，应该先画底板，先按完整结构来画，如图1-17所示。

2）画出底板的缺口图形，再画出底板上圆孔的投影，主视图中为细虚线，注意先确定中心位置，先画中心线再画圆和对应的细虚线。左视图中需要量取宽度并对照主视图的高度画出，如图1-18所示。左视图中标注的尺寸是左视图绘图需要的尺寸，有些在俯视图已经标注，实际标注尺寸时相同的尺寸只标注一次即可，尽量标注在反映结构最清晰的视图上。

3）画出右侧板的三视图，完成主图，如图1-19所示。

三视图是工程图学中介绍投影知识使用的投影系统，一个视图表达了两个方向的结构与形状，对于简单的物体用两个视图就可以表达一个物体的形状，因此使用时就要根据物体的结构选择使用的视图。物体简单的话用两个视图就可以了，甚至有些情况下物体具有相同的厚度，使用一个视图加辅助标注（标注上厚度）即可。简单的同心轴类零件也可以用一个视图，标注时加直径符号ϕ即可，而对于复杂的物体两个甚至三个视图也不能表达该物体的形状，此时就要采用其他的表达方法或用更多的视图来进行表达。

1.1.7 标高投影

在物体的水平投影上，加注某些特征面、线以及控制点高度数值的正投影称为标高投影。标高投影属于单面正投影，常用于建筑、水利、规划、测绘等行业上，在手机户外助手等应用程序的地图上也都采用了加等高线的地图，使用者可以根据地图判断哪里是断崖、哪里是河谷等，从而决定前进的方向。

等高线（Contour Line）是表示地势起伏的高度等值线。它是地面上高程相同的各相邻点连接形成的封闭曲线垂直投射到水平面上的图形。一组等高线可以显示地面的高低起伏，还可以根据等高线的疏密和图形判断地貌的形态类型和斜坡的坡度陡缓，因此熟悉等高线的特性对测绘和应用地形图是非常重要的，如图1-20所示。山脊：等高线向低处（数值小）的方向凸出；山谷：等高线向高处（数值大）的方向凸出；断崖：等高线很密，几乎重叠；缓坡：等高线间距较大；陡坡：等高线间距较小；山峰：等高线类似同心圆，中心数值大；洼地：等高线类似同心圆，中心数值小。