二、义务教育阶段几何课程难度比较

如前言所说，我们将利用课程难度系数，对建国以来对我国义务教育影响较大的三个大纲（标准）进行分析比较。为方便起见，分别称之为：1963《教学大纲》、2000《教学大纲》和2001《课程标准》。

（一）关于比较研究的说明

1.关于课程时间

在1963《教学大纲》中，课时数非常清楚：几何和代数的课时数分别为237和381（参见［1］）。而2000《教学大纲》和2001《课程标准》都没有明确给出主题内容的课时数。为了便于比较研究，我们选择能够代表2000《教学大纲》和2001《课程标准》的教科书中所要求的课时数来代替：对于2000《教学大纲》，选择人民教育出版社（2001年版）^［7］；对于2001《课程标准》，选择北京师范大学出版社与义务教育数学课程标准研制组联合开发的义务教育课程标准实验教科书（以下简称为北师大版）^［8,9］和华东师范大学出版社开发的义务教育课程标准实验教科书（以下简称为华师大版）^［10,11］为蓝本，综合考虑相应课时数，同时参考人民教育出版社开发的义务教育课程标准实验教科书（以下简称为人教版）^［12］。

由于《教学大纲》或者《课程标准》所阐述的是“文本课程”层面的课程，而教科书所阐述的是“理解课程”层面的课程，是有所区别的。为此，我们假定，上述教科书能够较好地反映相应的《教学大纲》（《课程标准》）对于课程内容和相应的课程时间的要求。

2.关于课程广度

根据课程广度的含义“课程内容所涉及的领域的广泛程度”，本文选择“知识点的数量”来刻画课程广度，而这里的“知识点”是依据1963年、2000年的《教学大纲》对相应内容的区分，参照每个“知识点”内容量的多少而划分的。这近乎于约定俗成。

3.关于课程深度

正如前文所说，课程深度是一个很难量化的指标，它涉及概念的抽象程度以及概念之间的关联程度，还涉及课程内容的推理与运算步骤。为此，一方面，对于诸如《三角形》《圆》等内容，我们可以用“数学抽象度”来刻画其课程深度；另一方面，也可以用反运算的方法，即，依据前文的结论“一（1—4）”的想法，我们可以设想，如果三个《教学大纲》（《课程标准》）的难易程度是相差不大的，都是可以让大多数学生理解的，那么，可以比较其课程深度，即在（2）式中，令N相等，已知G和T，比较S。这显然是可行的。

下面我们进行逐项比较，然后再统一分析。

（二）关于《三角形》课程难度的对比研究

1.课程时间

对此，1963《教学大纲》是36课时，2000《教学大纲》下的教科书^［7］中安排35课时，于是，T₁=36，T₂=35。

对于2001《课程标准》，在北师大版中：七年级下册第五章“三角形”是15课时，在第七章“生活中的轴对称”中出现“等腰三角形”1课时；八年级上册第一章“勾股定理”5课时，课题学习“拼图与勾股定理”2课时；在八年级下册第六章“证明（一）”中出现三角形内角和及三角形外角的证明2课时，在九年级上册第一章“证明（二）”的四节中出现三角形的证明，折合8课时。以上总计33课时。类似地，在“华师大版”中，课程时间合计32课时。综合两个版本，取其平均值32.5，于是，T₃=32.5。

2.课程广度

考虑到“图形与变换”在1963《教学大纲》和2000《教学大纲》中都出现在“三角形”之中，并且仅出现轴对称，而2001《课程标准》将轴对称、平移、旋转以“图形与变换”的名称单独列为一部分，而“相似、位似”与“三角函数”合并为“图形的相似”。为了便于比较，我们将2001《课程标准》中除“相似、位似”内容之外的“图形与变换”内容划归为“三角形”的所属内容。从而1963年相应课程内容的知识点（参见附录1）合计20个，取综合的课程广度系数为20，即G₁=20；2000年相应课程内容的知识点（参见附录2）合计21个（不含选学内容“反证法”），取综合的课程广度系数G₂为21；2001年相应课程内容的知识点（参见附录3）合计22个，取综合的课程广度系数G₃为22。

3.课程深度

根据数学抽象度分析法^［4］，我们用抽象度deg来表达数学课程内容的综合深度值，可有如下分析：

（1）1963年相应课程内容的抽象度分析：

A：三角形B：等腰直角三角形C：三角形全等D：直角三角形全等

三角形的deg（D｜A）=3。从而，其相应的课程深度为3，既S₁=3

（2）2000年相应课程内容的抽象度分析：

A：三角形B：等腰三角形及其判定，直角三角形及其判定C：三角形全等D：直角三角形全等E：勾股定理F：勾股定理的逆

同理，其综合深度值deg（F｜A）为4.5，从而S₂=4.5。

（3）2001年相应课程内容的抽象度分析

A：三角形B：等腰三角形及其判定，直角三角形及其判定C：三角形全等D：直角三角形全等G：体验和探索勾股定理的过程及其文化价值E：勾股定理F：勾股定理的逆定理

综合深度值deg（G｜A）为5，从而S₃=3。

4.比较结果

（1）如果按照上面的数据，那么，有：

其中，0<α<1。于是，0.084<N₁<0.556，0.129<N₂<0.600，0.154<N₂<0.677. 如果取α=0.5，那么，N₁=0.320，N₂=0.365，N₃=0.415。

这说明，在这个模型下，2001《课程标准》下的“三角形”比2000《教学大纲》下的“三角形”稍难，比1963《教学大纲》下的“三角形”更难。当然，这里并没有考虑内容编排是否是螺旋式上升的，而2001《课程标准》下的课程编排都是螺旋式上升的。

（2）如果假定2001《课程标准》与1963《教学大纲》和2000《教学大纲》的课程难度是相同的，即N₁=N₂=N₃，相应的课程广度和课程时间不变，而且仍取α=0.5，那么，课程深度S₁、S₂、S₃必满足

于是得到，

如果取S₃=5，那么，S₁≈12.06，S₂≈8.08。

这表明，此时，如果2001《课程标准》下的“三角形”的课程深度系数取5，那么，要控制课程难度不变，其课程深度必须要比1963、2000《教学大纲》都要浅!仅仅是1963年的0.41稍多一点点，仅仅是2000年的0.62稍少一点点。

也可以这样理解这个结果：2001《课程标准》关于“三角形”部分的课程时间减少了不足10%，课程广度稍微增加了一点，但由于增加了体验、探索等活动过程，课程要求增加了，即课程深度系数增大了，这必然导致这部分内容的整体课程难度加大。

另一方面，在实际教学中，对于内容相同（或相似）、而要求不尽相同的课程内容，由于教学惯性，教师往往维持相同的课程深度，进而加大了课程难度。

（三）结论

与1963《教学大纲》、2000《教学大纲》相比，从表面上看，由于内容编排多次反复、螺旋式上升，似乎“有效降低”了2001《课程标准》中的《三角形》等几何内容的课程难度。本文的结论却有所不同：虽然2001《课程标准》有关课程内容的课程广度稍有增加，课程深度也稍有增加，但是，由于课程时间降低的幅度过大，导致课程内容的可比深度和可比广度都在普遍加深、加大，即由1963年的0.083和0.556增为2000年的0.129和0.600，增为2001年的0.154和0.677。从而，课程非但变容易，反而变难了。

类似地，可以得出，对《三角函数与解三角形》而言，1963年、2000年、2001年的课程广度、课程时间依次为（11，23）、（5，16）和（4，11），假如要将2001《课程标准》相应内容的课程难度控制在1963《教学大纲》、2000《教学大纲》相应的水平，那么，必须控制其课程深度，使其大约是1963年课程深度的0.6，大约是2000年的0.629。对于《圆》来说，1963年、2000年、2001年的课程难度N₁，N₂和N₃满足关系N₃>N₁>N₂，即2001年相应的课程内容最难，2000年最容易。

参考文献：

［1］黄甫全.课程难度刍议［J］.东北师大学报（哲学社会科学版），1994，（4）.

［2］黄甫全.关于课程难度阶梯的初步探讨［J］.华南师范大学学报（社会科学版），1995，（2）.

［3］中华人民和共和国教育部制订.全日制中学数学教学大纲（草案）［M］.北京：人民教育出版社，1963.

［4］中华人民共和国教育部制订.全日制九年义务教育初中数学教学大纲（试用修订版）［M］.北京：人民教育出版社，2000.

［5］中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［M］.北京：人民教育出版社，2001.

［6］徐利治、郑毓信著.数学抽象方法与抽象度分析法［M］.南京：江苏教育出版社，1990.

［7］中学数学室编著.九年义务教育三年制初级中学几何第二册，第三册［M］.北京：人民教育出版社，2001.

［8］教材编写组.义务教育课程标准实验教科书数学（7—9年级）［M］.北京：北京师范大学出版社，2002.

［9］教材编写组.义务教育课程标准实验教科书数学（7—9年级）［M］.北京：北京师范大学出版社，2003.

［10］教材编写组.义务教育课程标准实验教科书数学（7—9年级）［M］.上海：华东师范大学出版社，2002.

［11］教材编写组.义务教育课程标准实验教科书数学（7—9年级）［M］.上海：华东师范大学出版社，2003.

［12］教材编写组.义务教育课程标准实验教科书数学（7—9年级）［M］.北京：人民教育出版社，2004.

附录1  1963年《教学大纲》中的“三角形”相应课程内容的知识点：

多边形。三角形的分类。三角形的角平分线、中线和高。三角形任何两边的和与差。三角形的内角和。三角形的外角和它的性质。多边形的内角和与外角和。等腰三角形的性质。等腰三角形的判定。轴对称图形。三角形全等的判定。直角三角形全等的判定。按照已知条件作三角形。线段的垂直平分线的性质。角的平分线的性质。逆定理。不等量公理。一个三角形的边和角之间的关系。两个三角形的边和角之间的关系。反证法。

附录2  2000年《教学大纲》中的“三角形”相应课程内容的知识点：

三角形。三角形的角平分线、中线和高。三角形三边间的不等关系。三角形的内角和。全等形。全等三角形及其性质。三角形全等的判定。等腰三角形的性质和判定。等边三角形的性质和判定。余角。直角三角形全等的判定。逆命题、逆定理。勾股定理。勾股定理的逆定理。角的平分线的性质。线段的垂直平分线。线段的垂直平分线的性质。轴对称、轴对称图形。轴对称图形的性质。基本作图。利用基本作图作三角形。反证法。

附录3  2001年《课程标准》中的“三角形”相应课程内容的知识点：

三角形有关的概念及稳定性。三角形中位线的性质。全等三角形的条件。等腰三角形的概念、性质与判定。等边三角形的概念、性质及判定。直角三角形的概念、性质与判定。勾股定理及其简单应用。勾股定理逆定理。利用基本作图作三角形。轴对称、轴对称图形。轴对称图形的性质。平移及其性质。旋转及其性质。利用平移、旋转进行简单的作图。利用平移、旋转和轴对称进行图案设计、证明。逆命题、反例。反证法。三角形内角和定理及推论。角平分线定理逆定理及内心。垂直平分线定理逆定理及外心。三角形中位线定理。