二、关于数学

正确理解数学、数学的价值，以及数学课程的教育功能，对于把握《课程标准（2011年版）》至关重要。《课程标准（2011年版）》对数学的表述是：

数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。

虽然近代数学的研究包罗万象，但在本质上，只是研究那些与数量或者图形有关的东西。为了研究的需要，人们把这些东西抽象成概念，并且用符号表达。比如，抽象出自然数，并且用10个数字和进位法则进行表达；抽象出点、线、面，并且用适当的字母进行表达。但数学的目的不是研究这些概念本身，而是研究概念之间的关系，如数之间的大小关系，点、线、面之间的位置关系。这些关系是从“数量关系”和“空间形式”中抽象出来的。比如，把现实生活中“数量之间多与少的关系”抽象成为数学中“数之间大与小的关系”；从现实生活中三维物体的存在形式出发，抽象出“两点确定一条直线”“三点确定一个平面”这样的关系。因此，《课程标准（2011年版）》关于数学的表述中，强调的是“数量关系”和“空间形式”。

这样，人们就把日常生活和生产实践中所遇到的数量和数量关系、图形和图形关系抽象出来，形成概念表述和符号表达，形成数学的研究对象。在这个意义上，数学研究的不是具体的存在，而是抽象的存在。比如，我们看到足球，看到苹果，在头脑中形成圆的概念；离开了足球，离开了苹果，头脑中圆的概念依然存在；借助头脑中的这种存在，我们可以画出圆、定义圆、分析圆的性质；进一步，还可以从这些定义和性质出发，研究其他的圆形的东西。这样，数学就具有了一般性。

数学学科内部的发展，依赖的是逻辑推理。数学的所有命题都是可以进行“是否”判断的话语，所谓的推理，就是从一个命题的“是否”判断到另一个命题的“是否”判断之间的思维过程。所谓一个思维过程是有逻辑的，是指推理所涉及的命题内涵之间具有传递性，也就是说存在一条主线，能够把这些命题连接起来。比如，“凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死”这样的思维过程就是有逻辑的；“苹果是酸的，酸是一种味道，所以苹果是一种味道”这样的思维过程就是没有逻辑的。

推理主要有两种形式：归纳推理（含类比）和演绎推理（含计算）。归纳推理是一种命题内涵由小到大的推理，从经验过的东西推断未曾经验过的东西。比如，哥德巴赫猜想：从若干“偶数可以表示为两个素数之和”这样的经验了的事实出发，推断“任意偶数可以表示为两个素数之和”这个更为一般的未曾经验的结论。因此，归纳推理是从特殊到一般的推理，通过这种推理得到的结论或然成立。与此相反，演绎推理是一种命题内涵由大到小的推理，是从一般到特殊的推理，通过这种推理得到的结论必然成立。比如，根据“等量的等量还是等量，这个一般命题，可以证明：如果A＝B，并且B＝C，则A＝C。欧几里得就是用这样的方法，在《几何原本》中证明了第一个命题：对于任意给定的线段，可以作一个边长为这条线段长的等边三角形。这样，数学就在已经形成了的概念和符号的基础上，从条件出发，通过归纳推理推断结论，通过演绎推理验证通过推断得到的结论。因为这样的论证形式是有逻辑的，因此这种推理形式决定了数学的严谨性。

数学的一般性和严谨性决定了数学广泛的应用性。数学与人们的日常生活、学习、工作息息相关。原则上，凡是与数量和图形有关的东西都可以成为数学研究的对象。特别是在今天，随着信息科学技术的飞速发展，人们几乎可以把任何信息数字化，包括文字信息、行为信息、情感信息和图像信息，如网络查询、电视图像、手机信息、心理测量、身体扫描等。正是因为这些变化，使得数学的应用领域越来越宽泛。与此同时，因为数学的介入，相关领域的研究也变得越来越科学、越来越深入，正如许多学者说过的那样，一个学科一旦使用了数学，这个学科就逐渐成熟起来。

除了直接应用之外，数学还是其他学科的语言和工具，不仅包括自然学科和科学技术，也涉及社会学科和人文学科。这是因为，任何领域的研究最终都希望形成概念，都希望探寻并且描述那些规律性的东西，而用数学的语言表述概念、描述规律既简洁又准确，这就是人们通常所说的数学模型。数学模型是沟通数学与现实世界的桥梁。虽然一个规律性的东西是否存在的最终验证是实践，是通过观测、试验或者实验，但其中数学的作用是不言而喻的。比如，牛顿第二定律可以表示为F＝ma，其中F是力，m是质量，a是加速度。这是一个非常简单的乘法算式，在数学上无足轻重，但作为一个数学模型表述物理现象就非常重要了。这是人类第一次刻画出了什么是力，表明运动物体受力只与物体的质量和加速度有关。牛顿力学第一定律表明：一个物体受力的充分必要条件是改变运动状态。这样，牛顿力学第二定律就进一步表明：这个力以加速度的形式出现，力的大小和加速度成正比；在改变运动状态的过程中，物体的质量越大则需要的力越大，力与质量成正比。今天的许多学科，用数学作为语言和工具表述概念、描述规律已经成为一种常识。