引理 XI

在切点具有有限曲率的所有曲线中，切角消失时的对边，最终按照弧毗连的对边的二次比。

情形1 设AB为那条弧，其切线为AD，切角的对边BD垂直于切线，弧的对边为AB。竖立垂直于这个对边AB和切线AD的直线AG，BG，它们交于G；然后点D，B，G靠近点d，b，g，再设J为当点D，B最终到达A时直线BG，AG的交点。显然距离GJ能小于任意指派的距离。又（由穿过点ABG，Abg的圆的性质）AB_quad.等于AG×BD，且Ab_quad.等于Ag×bd；由此AB_quad.比Ab_quad.之比由来自AG比Ag与比BD比bd的比复合而成。但因GJ能取得小于任意指派的长度，使得AG比Ag之比能成为与等量之比的差异小于任意给定的差的比，因此，AB_quad.比Ab_quad.之比与BD比bd之比的差异小于任意给定的差。所以，由引理I，AB_quad.比Ab_quad.的最终比与BD比bd的最终比相同。此即所证。

情形2 现在BD以任意给定的角向AD倾斜，则BD比bd的最终比总与前者相同，且因此与AB_quad.比Ab_quad.相同。此即所证。

情形3 任意角D没有被给定，但直线BD往给定的一个点汇聚，或按任意其他的规则确定；毕竟角D，d按相同的规则确定，总倾向于相等且比任意给定的差更加靠近，由此由引理I它们最终相等，所以直线BD，bd的彼此之比与前面一样。此即所证。

系理1 由于切线AD，Ad，弧AB，Ab以及它们的正弦BC，bc最终等于弦AB，Ab；同样它们的平方最终如同［切角的］对边BD，bd。

系理2 它们的平方最终也如同弧的矢^（10）（arcus sagitta），它们平分弦并汇聚于一给定的点。因为那些矢如同［切角的］对边BD，bd。

系理3 且因此，矢按照时间的二次比，在此期间物体以一个给定的速度画出弧。

系理4 直线三角形ADB，Adb最终按照边AD，Ad的三次比，且按照边DB，db的二分之三次比；由于［这些三角形］按照边AD和DB，Ad和db的复合比。所以三角形ABC和Abc最终按照边BC，bc的三次比。我说的二分之三次比是三次比的平方根，即是来自简单比和［它的］二分之一次比的复合。

系理5 因为DB，db最终平行并按照AD，Ad的二次比：最终曲线形ADB，Adb的面积（由抛物线的性质）是直线三角形ADB，ADb面积的三分之二；且弓形AB，Ab是同样的三角形的三分之一。并且这些［曲边形的］面积及这些弓形既按照切线AD，Ad的三次比；又按照弦和弧AB，Ab的三次比。

然而，我们一直假设切角既不无限地大于也不无限地小于包含于圆和它们的切线的切角；这就是，在点A的曲率既不是无穷小又不是无穷大，或者间隔AJ的长短是有限的。因DB可取为如同AD³：在此情形过点A不能画出在切线AD和曲线AB之间的圆，因此切角无限地小于圆的切角。由类似的论证，如果DB相继取得如同AD⁴，AD⁵，AD⁶，AD⁷，等等，得到一个无穷延续的切角序列，其中任意后面的切角无限地小于前面的切角，且如果DB相继取得如同AD²， ， ， ， ，等等，得到另一切角序，其中第一个与圆的切角是同类，第二个较圆的切角无限地大，且任意后面的切角较前面的切角无限地大。而且，在这些角中的任意两个之间能插入位于两者之间的，向两个方向延续以至无穷的切角序列。其中任意后面的切角较前面的切角无限地大或者无限地小。如在AD²和AD³项之间插入序列 ， ， ， ， ， ， ， ， ，等等。又，在此序列的任意两个角之间可插入一个新的位于两者之间的角序列，彼此由无穷多的间隔区分。自然可知这没有限度。

那些关于曲线及关于它们所包围的面的证明，易用于立体曲面及立体的容积。我先期给出这些引理，是为了避免按古代几何学家的方式，用归谬法导出冗长的证明。确实，由不可分方法证明可得以缩短。但因不可分假设过于粗糙，所以那种方法被认为更少几何味；我宁愿此后命题的证明由正消失的量（quantitantum evanescentium）的最终和及最终比以及初生成的量（quantitantum nascentium）的最初和及最初比导出，亦即，由和及比的极限导出；我给出那些极限尽可能简洁的证明，如预先说的。因为由此得到的结果，同样也由不可分法得到，现在那些原理已经得到证明，我们利用它们更为稳妥。因此，在此后每当我考虑由小部分构成的量时，或当我用短曲线代替直线时，我不愿它们被理解为不可分量，而愿它们总被理解为正消失的可分量；不要理解为确定的部分的比以及和，而总理解为和以及比的极限，且此类证明的力量总从属于前面引理的方法。

反对意见是，正消失的量不存在最终比，因为在量消失之前，比不是总终的，在已消失之时，比不再存在。但同样的论证适用于［说明］一个物体到达其运动停止时的特定位置时没有最终速度，因为在物体到达这个位置之前，其速度不是最终速度，当物体到达那里时，不再有速度。但［对此的］回答是容易的：物体的最终速度被理解为，它既不是在物体到达运动最终到达并停止的位置之前的，也不是在它到达那个位置之后的，而是正当它到达时的速度；亦即，物体到达最终位置并停止的那个速度。并且类似地，正消失的量的最终比被理解为不是它们消失之前或消失之后的比，而是它们正消失时的比。同样，初生成的量的最初比是它们被生成时的比。且最初和最终的和是它们正当开始和终止（或者增加或者减小）的和。存在一个极限，在运动之终可以达到，但不能超过。这就是最终速度。这对所有刚出现和将要终止的量和比的极限是一样的。又因为这个极限是一定的且有界限，确定它是真正的几何学问题。在确定和证明其他几何学问题时，可以合法地应用［古典］几何学中的一切。

也可能［这样提出］反对，如果正消失的量的最终比给定，它们最终的大小亦被给定，因此所有量由不可分量构成，这与欧几里得在《几何原本》第十卷论不可通约量中证明的真理相反。但这种反对依赖一个错误的假设。那些最终比，随着它们量的消失，实际上不是最终量的比，而是无限减小的量的比持续靠近的极限，它们能比任意给定的差更加接近，但在量被减小以至无穷之前它们既不能超过，也不能达到［此极限］。这种事件用无穷大能被更清楚地理解。如果两个量，它们的差给定并被增加以至无穷，它们的最终比被给定，即为等量之比，但给出此比的最终的量或最大的量并没有被给定。为了使后面的内容易于理解，我所说的极小的量或正消失的量或最终的量，提防被理解为大小确定的量，而总要意识到无限减小的量。

第II部分 论求向心力

命题I 定理I

面积，它由在轨道上运动的物体往不动的力的中心所引的半径画出，停留在不动的平面上，且与时间成比例。

时间被分为相等的段，且在第一个时间段物体由于其固有的力画出直线AB。在第二个时间段，同一物体如果没有阻碍，它将一直前进到c，（由定律I）画出等于AB的线Bc；因此往中心引半径AS，BS，cS，画出的面积ASB，BSc相等。然而当物体到达B时，假设向心力以一次但有力的冲击，致使物体由直线Bc倾斜并在直线BC上前进。引cC与BS平行，交BC于C；则第二个时间段完成时，物体（由诸定律的系理I）在C被发现；它在与三角形ASB相同的平面。连结SC，因SB，Cc平行，三角形SBC等于三角形SBc，因此也等于三角形SAB。由类似的论证，如果向心力相继作用在C，D，E，等等，使物体在各自的时间片段各自画出直线CD，DE，EF，等等，它们全都位于同一个平面；且三角形SCD等于三角形SBC，［三角形］SDE等于［三角形］SCD，［三角形］SEF等于［三角形］SDE。所以在相等的时间，相等的面积在不动的平面上被画出：且通过复合，任意的面积和SADS，SAFS彼此之间，如同画出它们的时间。现在三角形的数目无限增加且其宽度减小以至无穷，且最终它们的周线ADF（由引理三的系理四）为曲线：因此向心力，由它物体持续从这条曲线的切线上被拉回，此作用从不间断；且画出任意的面积SADS，SAFS总与所画的时间成比例，面积在此情形与那些时间成比例。此即所证。

系理1 在没有阻力的空间，被一个不动中心吸引的物体的速度与从那个中心到轨道的切线所落下的垂线成反比。因为在那些位置A，B，C，D，E的速度如同相等的三角形的底AB，BC，CD，DE，EF；且这些底与落在它们之上的垂线成反比。

系理2 如果AB和BC是由同一个物体在无阻力的空间中在相等的时间所画出的两段相继的弧的弦，补足平行四边形ABCV，则这条对角线BV当那些弧减小以至无穷时所处的位置，沿两个方向延伸，通过力的中心。

系理3 如果弦AB，BC和DE，EF是［物体在］无阻力的空间中在相等的时间所画出的弧的弦，并补足平行四边形ABCV和DEFZ；在B和E的力彼此之比，当那些弧减小以至无穷时，按照对角线BV和EZ的最终比。因为物体的运动BC和EF（由诸定律的系理I）由运动Bc，BV和Ef，EZ合成，然而BV和EZ［分别与］Cc和Ff相等。在此命题的证明中它们由向心力在B和E的冲击产生，且因此与这些冲击成比例。

系理4 任意物体在没有阻力的空间中被拉离直线运动并被弯折到曲线轨道的诸力的相互之比，如同在相等的时间内所画出的弧的矢的比。当那些弧减小以至无穷时，弧的矢汇聚于力的中心，并平分弦。由于这些矢是我们在系理三中所提到的对角线的一半。

系理5 所以这些力比重力，如同这些矢比那些垂直于地平线的抛物线的弧的矢，它们［抛物线］由抛射体在相同的时间画出。

系理6 由诸定律的系理V，当平面，物体在其上运动，连同力的中心，它们位于这些平面上，不是静止的而是均匀地一直运动，所有结论同样成立。