引理 IX

如果直线AE和曲线ABC的位置给定，它们相互截于一给定的角A，且以另一给定角向那条直线引作为纵标线的BD，CE，它们交曲线于B，C，然后点B和C同时向点A靠近：我说三角形ABD，ACE的面积最终彼此按照边的二次比。

确实当点B，C靠近点A时，总认为AD延长到在远处的点d和e，使得Ad，Ae与AD，AE成比例，并竖立与纵标线DB，EC平行的纵标线db，ec交延长的AB，AC于b和c。引认为与ABC相似的曲线Abc，并引直线Ag，它与两曲线在A相切，并截纵标线DB，EC，db，ec于F，G，f，g。一方面保持Ae的长度，另外点B，C与点A会合，且角cAg消失，曲线形Abd，Ace与直线形Afd，Age的面积重合；因此（由引理V）将按照边Ad，Ae的二次比。但是面积ABD，ACE总与这些面积成比例，且边AD，AE总与这些边成比例。所以面积ABD，ACE最终按照边AD，AE的二次比。此即所证。