1.1.4　平面任意力系

各力作用线在同一平面内且任意分布的力系称为平面任意力系。图1-21的简易起重机，其梁AB所受的力系为平面任意力系。

1.力的平移定理

力的平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动到刚体上的任意一指定点，但必须同时在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩等于原力对指定点之矩。见图1-22，附加力偶的力偶矩为：m=F·d=mB（F）。

2.平面任意力系的简化

设刚体受到平面任意力系作用，见图1-23（a）。将各力依次平移至O点，得到汇交于O点的平面汇交力系F′1、F′2、…F′n，此外还应附加相应的力偶，构成附加力偶系mO1、mO2、…mOn，见图1-23（b）。

所得平面汇交力系可以合成为一个力FR：

主矢FR的大小与方向可用解析法求得。按图1-23（b）所选定的坐标系Oxy，有：

主矢FR的大小和方向由下式确定：

其中α为主矢R′与x轴正向间所夹的锐角。

各附加力偶的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O之矩。

所得附加力偶系可以合成为合力偶，其力偶矩可用符号MO表示，它等于各附加力偶矩mO1、mO2、…m的代数和，即设刚体受到平面任意力系作用，见图1-24（a）。将各力依次平移至O点，得到汇交于O点的平面汇交力系。此外，还应附加相应的力偶，构成附加力偶矩mO1、mO2、…mOn的代数和，即

原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。

由上述分析我们得到如下结论：平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一个力和一个力偶，见图1-23（c）。这个力的作用线过简化中心，其力矢等于原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。

3.平面力系的平衡方程及应用

（1）平面任意力系的平衡方程。平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和主矩同时为零。

即FR=0，MO=0

用解析式表示可得：

上式为平面任意力系的平衡方程。平面任意力系平衡的充分与必要条件可解析地表达为：力系中各力在其作用面内两相交轴上的投影的代数和分别等于零，同时力系中各力对其作用面内任一点之矩的代数和也等于零。

平面任意力系的二矩式平衡方程形式如下：

其中矩心A、B两点的连线不能与x轴垂直。

应用时可根据问题的具体情况，选择适当形式的平衡方程。

（2）平面特殊力系的平衡方程。

1）平面平行力系的平衡方程：

或

其中两个矩心A、B的连线不能与各力作用线平行。

平面平行力系有两个独立的平衡方程，可以求解两个未知量。

2）平面汇交力系的平衡方程：

平面汇交力系平衡的必要与充分条件是其合力等于零，即FR=0。

上式表明，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力在力系所在平面内两个相交轴上投影的代数和同时为零。

3）平面力偶系的平衡方程：