五、“追赶上前”的话
“讲第三段的时候，我曾经说过，倘若你有了一张图，坐在屋里，看看表，又看看图，随时就可知道你出了门的弟弟离开你已有多远。这次我就来讲关于走路这一类的问题。”马先生今天这样开场。
例一：赵阿毛上午八点由家中动身到城里去，每小时走三里。上午十一点，他的儿子赵小毛发现他忘了带应当带到城里去的东西，拿着从后面追去，每小时走五里，什么时候可以追上？
这题只需用第二段讲演中的最后一个作基础便可得出来。用横线表示路程，每一小段一里；用纵线表示时间，每两小段一小时——纵横线用作单位1的长度，无妨各异，只要表示得明白。
图18
因为赵阿毛是上午八点由家中动身的，所以时间就用上午八点作起点，赵阿毛每小时走三里，他走的行程和时间是“定倍数”的关系，画出来就是AB线。
赵小毛是上午十一点动身的，他走的行程和时间对于交在C点的纵横线来说，也只是“定倍数”的关系，画出来就是CD线。
AB和CD交于E，就是赵阿毛和赵小毛父子俩在这儿碰上了。
从E点横看，得下午三点半，这就是解答。
“你们仔细看这个，比上次的有趣味。”趣味！今天马先生从走进课堂直到现在，都是板着面孔的，我还以为他有什么不高兴的事，或是身体不适呢！听到这两个字，知道他将要说什么趣话了，精神不禁为之一振。但是仔细看一看图，依然和上次的各个例题一样，只有两条直线和一个交点，真不知道马先生说的趣味在哪里。别人大概也和我一样，没有看出什么特别的趣味，所以整个课堂上，只有静默。打破这静默的，自然只有马先生：“看不出吗？嗐！不是真正的趣味‘横’生吗？”
“横”字说得特别响，同时右手拿着粉笔朝着黑板上的图横着一画。虽是这样，但我们还是猜不透这个谜。
“大家横着看！看两条直线间的距离！”因为马先生这么一提示，果然，大家都看那两条线间的距离。
“看出了什么？”马先生静了一下问。
“越来越短，最后变成了零。”周学敏回答。
“不错！但这表示什么意思？”
“两人越走越近，到后来便碰在一起了。”王有道回答。
“对的，那么，赵小毛动身的时候，两人相隔几里？”
“九里。”
“走了一小时呢？”
“七里。”
“再走一小时呢？”
“五里。”
“每走一小时，赵小毛赶上赵阿毛几里？”
“二里。”这几次差不多都是齐声回答，课堂里显得格外热闹。
“这二里从哪里来的？”
“赵小毛每小时走五里，赵阿毛每小时只走三里，五里减去三里，便是二里。”我抢着回答。
“好！两人先隔开九里，赵小毛每小时能够追上二里，那么几小时可以追上？用什么算法计算？”马先生这次向着我问。
“用二去除九得四点五。”我答。
马先生又问：“最初相隔的九里怎样来的呢？”
“赵阿毛每小时走三里，上午八点动身，走到上午十一点，一共走了三小时，三三得九。”另一个同学这么回答。
在这以后，马先生就写出了下面的算式：
3里×3÷（5里－3里）＝9里÷2里＝4.5小时——赵小毛走的时间
11时＋4.5时－12时＝3.5时——即下午三点半
“从这次起，公式不写了，让你们去如法炮制吧。从图上还可以看出来，赵阿毛和赵小毛碰到的地方，距家是二十二里半。若是将AE、CE延长，两线间的距离又越来越长，但AE翻到了CE的上面。这就表示，若他们父子碰到以后，仍继续各自前进，赵小毛便走在了赵阿毛前面，越离越远。”
试将这个题改成“甲每时行三里，乙每时行五里，甲动身后三小时，乙去追他，几时能追上？”这就更一般了，画出图来，当然和前面的一样。不过表示时间的数字需换成0、1、2、3……
例二：甲每小时行三里，动身后三小时，乙去追他，四小时半追上，乙每小时行几里？
图19
对于这个题，表示甲走的行程和时间的线，自然谁都会画了。就是表示乙走的行程和时间的线，经过了马先生的指示，以及共同的讨论，知道：因为乙是在甲动身后三小时才动身，而得C点。又因为乙追了四小时半赶上甲，这时甲正走到E，而得E点，连结CE，就得所求的线。再看每过一小时，横线对应增加5，所以知道乙每小时行五里。这真是马先生说的趣味横生了。
不但如此，图上明明白白地指示出来：甲七小时半走的路程是二十二里半，乙四小时半走的也正是这么多，所以很容易使我们想出这题的算法。
3里×（3＋4.5）÷4.5＝22.5里÷4.5＝5里——乙每小时走的
但是马先生的主要目的不在讨论这题的算法上，当我们得到了答案和算法后，他又写出下面的例题。
例三：甲每小时行三里，动身后三小时，乙去追他，追到二十二里半的地方追上，求乙的速度。
跟着例二来解这个问题，真是十分轻松，不必费心思索，就知道应当这样算：
22.5里÷（7.5－3）＝22.5里÷4.5＝5里——乙每小时走的
原来，图是大家都懂得画了，而且一连这三个例题的图，简直就是一个，只是画的方法或说明不同。甲走了七小时半而比乙多走三小时，乙走了四小时半，而路程是二十二里半，上面的计算法，由图上看来，真是“了如指掌”呵！我今天才深深地感到对算学有这么浓厚的兴趣！
马先生在大家算完这题以后发表他的议论：“由这三个例子来看，一个图可以表示几个不同的题，只是着眼点和说明不同。这不是活鲜鲜的，很有趣味吗？原来例二、例三都是从例一转化来的，虽然面孔不同，根源的关系却没有两样。这类问题的骨干只是距离、时间、速度的关系，你们当然已经明白：速度×时间＝距离。由此演化出来，便得：速度＝距离÷时间，时间＝距离÷速度。”
我们说：“赵阿毛的儿子是赵小毛，老婆是赵大嫂子。赵大嫂子的老公是赵阿毛，儿子是赵小毛。赵小毛的妈妈是赵大嫂子，爸爸是赵阿毛。”
这三句话，表面上看起来自然不一样，立足点也不同，从文学上说，所给我们的意味、语感也不同，但表出的根本关系只有一个，画个图便是：
照这种情形，将例一先分析一下，我们可以得出下面各元素以及元素间的关系：
1.甲每小时行三里。
2.甲先走三小时。
3.甲共走七小时半。
4.甲、乙都共走二十二里半。
5.乙每小时行五里。
6.乙共走四小时半。
7.甲每小时所行的里数（速度）乘以所走的时间，得甲走的距离。
8.乙每小时所行的里数（速度）乘以所走的时间，得乙走的距离。
9.甲、乙所走的总距离相等。
10.甲、乙每小时所行的里数相差二。
11.甲、乙所走的小时数相差三。
1到6是这题所含的六个元素。一般地说，只要知道其中三个，便可将其余的三个求出来。如例一，知道的是1、5、2，而求得的是6，但由2、6便可得3，由5、6就可得4。例二，知道的是1、2、6，而求得5，由2、6当然可得3，由6、5便得4。例三，知道的是1、2、4，而求得5，由1、4可得3，由5、4可得6。
不过也有例外，如1、3、4，因为4可以由1、3得出来，所以不能成为一个题。2、3、6只有时间，而且由2、3就可得6，也不能成题。再看4、5、6，由4、5可得6，一样不能成题。
从六个元素中取出三个来做题目，照理可成二十个。除了上面所说的不能成题的三个，以及前面已举出的三个，还有十四个。这十四个的算法，当然很容易推知，画出图来和前三个例子完全一样。为了便于比较、研究，逐一写在后面。
例四：甲每小时行三里1，走了三小时乙才动身2，他共走了七小时半3被乙赶上，求乙的速度。
3里×7.5÷（7.5－3）＝5里——乙每小时所行的里数
例五：甲每小时行三里1，先动身，乙每小时行五里5，从后追他，只知甲共走了七小时半3，被乙追上，求甲先动身几小时？
7.5－3里×7.5÷5里＝3小时——甲先动身三小时
例六：甲每小时行三里1，先动身，乙从后面追他，四小时半6追上，而甲共走了七小时半3，求乙的速度。
3里×7.5÷4.5＝5里——乙每小时所行的里数
例七：甲每小时行三里1，先动身，乙每小时行五里5，从后面追他，走了二十二里半4追上，求甲先走的时间。
22.5里÷3里－22.5里÷5里＝7.5－4.5＝3小时——甲先走三小时
例八：甲每小时行三里1，先动身，乙追四小时半6，共走二十二里半4追上，求甲先走的时间。
22.5里÷3－4.5＝7.5－4.5＝3小时——甲先走三小时
例九：甲每小时行三里1，先动身，乙从后面追他，每小时行五里5，四小时半6追上，甲共走了几小时？
5里×4.5÷3里＝22.5里÷3里＝7.5小时——甲共走七小时半
例十：甲先走三小时2，乙从后面追他，在距出发地二十二里半4的地方追上，而甲共走了七小时半3，求乙的速度。
22.5里÷（7.5－3）＝22.5里÷4.5＝5里——乙每小时所行的里数
例十一：甲先走三小时2，乙从后面追他，每小时行五里5，到甲共走七小时半3时追上，求甲的速度。
5里×（7.5－3）÷7.5＝22.5里÷7.5＝3里——甲每小时所行的里数
例十二：乙每小时行五里5，在甲走了三小时的时候2动身追甲，乙共走二十二里半4追上，求甲的速度。
22.5里÷（22.5里÷5里＋3）＝22.5里÷7.5＝3里——甲每小时所行的里数
例十三：甲先动身三小时2，乙用四小时半6，走二十二里半路4，追上甲，求甲的速度。
22.5里÷（3＋4.5）＝22.5里÷7.5＝3里——甲每小时所行的里数
例十四：甲先动身三小时2，乙每小时行五里5，从后面追他，走四小时半6追上，求甲的速度。
5里×4.5÷（3＋4.5）＝22.5里÷7.5＝3里——甲每小时所行的里数
例十五：甲七小时半3走二十二里半4，乙每小时行五里5，在甲动身若干小时后动身，正追上甲，求甲先走的时间。
7.5－22.5里÷5＝7.5－4.5＝3小时——甲先走三小时
例十六：甲动身后若干时，乙动身追甲，甲共走七小时半3，乙共走四小时半6，所走的距离为二十二里半4，求各人的速度。
22.5里÷7.5＝3里——甲每小时所行的
22.5里÷4.5＝5里——乙每小时所行的
例十七：乙每小时行五里5，在甲动身若干时后追他，到追上时，甲共走了七小时半3，乙只走四小时半6，求甲的速度。
5里×4.5÷7.5＝22.5里÷7.5＝3里——甲每小时所行的
在这十七个题中，第十六题只是应有的文章，严格地说，已不成一个题了。将这些题对照图来看，比较它们的算法，可以知道：将一个题中的已知元素和所求元素对调而组成一个新题，这两题的计算法的更改，正有一定法则。大体说来，总是这样，新题的算法，对于被调的元素来说，正是原题算法的还原，加减互变，乘除也互变。
前面每一题都只求一个元素，若将各未知的三元素作一题，实际就成了四十八个。还有，甲每时行三里，先走三小时，就是先走九里，这也可用来代替第二元素，而和其他二元素组成若干题，这样地推究多么活泼、有趣！而且对于研究学问实在是一种很好的训练。
本来无论什么题，都可以下这么一番功夫探究的，但前几次的例子比较简单，变化也就少一些，所以不曾说到。而举一反三，正好是一个练习的机会，所以以后也不再这么不怕麻烦地讲了。
把题目这样推究，学会了一个题的计算法，便可悟到许多关系相同、形式各样的题的算法，实不只“举一反三”，简直要“闻一以知十”，使我觉得无比快乐！我现在才感到算学不是枯燥的。
马先生花费许多精力，教给我们探索题目的方法，时间已过去不少，但他还不辞辛苦地继续讲下去。
例十八：甲、乙两人在东西相隔十四里的两地，同时相向动身，甲每小时行二里，乙每小时行一里半，两人几时在途中相遇？
图20
这差不多算是我们自己做出来的，马先生只告诉了我们，应当注意两点：第一，甲和乙走的方向相反，所以甲从C向D，乙就从A向B，AC相隔十四里；第二，因为题上所给的数都不大，图上的单位应取大一些——都用二小段当一——图才好看，做算学也需兼顾好看！
由E点横看得4，自然就是4小时两人在途中相遇了。
“趣味横生”，横向看去，甲、乙两人每走一小时将近三里半，就是甲、乙速度的和，所以算法也就得出来了：
14里÷（2里＋1.5里）＝14里÷3.5里＝4小时——所求的小时数
这算法，没有一个人不对，算学真是人人能领受的啊！
马先生高兴地提出下面的问题，要我们回答算法，当然，这更不是什么难事！
1.两人相遇的地方，距东西各几里？
2里×4＝8里——距东的
1.5里×4＝6里——距西的
2.甲到了西地，乙还距东地几里？
14里－1.5里×（14÷2里）＝14里－10.5里＝3.5里——乙距东的
下面的推究，是我和王有道、周学敏依照马先生的前例做的。
例十九：甲、乙两人在东西相隔十四里的两地，同时相向动身，甲每小时行二里，走了四小时，两人在途中相遇，求乙的速度。
（14里－2里×4）÷4＝6里÷4＝1.5里——乙每小时行的
例二十：甲、乙两人在东西相隔十四里的两地，同时相向动身，乙每小时行一里半，走了四小时，两人在途中相遇，求甲的速度。
（14里－1.5里×4）÷4＝8里÷4＝2里——甲每小时行的
例二十一：甲、乙两人在东西两地，同时相向动身，甲每小时行二里，乙每小时行一里半，走了四小时，两人在途中相遇，两地相隔几里？
（2里＋1.5里）×4＝3.5里×4＝14里——两地相隔的
这个例题所含的元素只有四个，所以只能组成四个形式不同的题，自然比马先生所讲的前一个例子简单得多。不过，我们能够这样穷追不舍，心中确实感到无比愉快！
下面又是马先生所提示的例子。
例二十二：从宋庄到毛镇有二十里，何畏四小时走到，苏绍武五小时走到，两人同时从宋庄动身，走了三时半，相隔几里？走了多长时间，相隔三里？
马先生说，这个题目的要点，在于正确地指明解法所在。他将表示甲和乙所走的行程、时间的关系的线画出以后，这样问：“走了三时半，相隔的里数，怎样表示出来？”
“从三时半的那一点画条横线和两直线相交于FH，FH间的距离，三里半，就是所求的。”
“那么，几时相隔三里呢？"
图21
由图上，很清晰地可以看出来：走了三小时，就相隔三里。但怎样由画法求出来，倒使我们呆住了。
马先生见没人回答，便说：“你们难道没有留意过斜方形吗？”随即在黑板上画了一个ABCD斜方形，接着说：“你们看图（图22）上AD、BC是平行的，而AB、DC以及AD、BC间的横线都是平行的，不但平行而且还一样长。应用这个道理，（图21）过距O三里的一点，画一条线和OB平行，它与OA交于E。在E这点两线间的距离正好指示三里，而横向看去，却是三小时，这便是解答。”
图22
至于这题的算法，不用说，很简单，马先生大概因此不曾提起，我补在下面：
（20里÷4－20里÷5）×3.5＝3.5里——走了三时半相隔的
3里÷（20里÷4－20里÷5）＝3小时——相隔三里所需走的时间
跟着，马先生所提出的例题更曲折、有趣了。
例二十三：甲每十分钟走一里，乙每十分钟走一里半。甲动身五十分钟时，乙从甲出发的地点动身去追甲。乙走到六里的地方，想起忘带东西了，马上回到出发处寻找。花费五十分钟找到了东西，加快了速度，每十分钟走二里去追甲。若甲在乙动身转回时，休息过三十分钟，乙在什么地方追上甲？
“先来讨论表示乙所走的行程和时间的线的画法。”马先生说，“这有五点：1.出发的时间比甲迟五十分钟；2.出发后每十分钟行一里半；3.走到六里便回头，速度没有变；4.在出发地停了五十分钟才第二次动身；5.第二次的速度，每十分钟行二里。
“依第一点，就时间说，应从五十分钟的地方画起，因而得A。从A起依照第二点，每一单位时间——十分钟——一里半的定倍数，画直线到6里的地方，得AB。依第三点，从B折回，照同样的定倍数画线，正好到一百三十分钟的C，得BC。依第四点，虽然时间一分一分地过去，乙却没有离开一步，即五十分钟都停着不动，所以得CD。依第五点，从D起，每单位时间，以二里的定倍数，画直线DF。
“至于表示甲所走的行程和时间的线，却比较简单，始终是以一定的速度前进，只有在乙达到6里B——正是九十分钟——甲达到九里时，他休息了三十分钟，停着不动，然后继续前进，因而这条线是GH、IJ。
“两线相交于E点，从E点往下看得三十里，就是乙在距出发点三十里的地点追上甲。”
图23
“从图上观察能够得出算法来吗？”马先生问。
“当然可以的。”没有人回答，他自己说，接着就讲题的计算法。
老实说，这个题从图上看去，就和乙在D所指的时间，用每十分钟二里的速度，从后去追甲一样。但甲这时已走到K，所以乙需追上的里数，就是DK所指示的。
倘若知道了GD所表示的时间，那么除掉甲在HI休息的三十分钟，便是甲从G到K所走的时间，用它去乘甲的速度，得出来的即是DK所表示的距离。
图上GA是甲先走的时间，五十分钟。
AM、MC都是乙以每十分钟行一里半的速度，走了六里所花费的时间，所以都是（6÷1.5）个十分钟。
CD是乙寻找东西花费的时间——五十分钟。
因此，GD所表示的时间，也就是乙第二次动身追甲时，甲已经在路上花费的时间，应当是：
GD＝GA＋AM×2＋CD＝50分＋10分×（6÷1.5）×2＋50分＝180分
但甲在这段时间内，休息过三十分钟，所以，在路上走的时间只是：
180分－30分＝ 150分
而甲的速度是每十分钟一里，因而，DK所表示的距离是：
1里×（150÷10）＝ 15里
乙追上甲从第二次动身所用的时间是：
15里÷（2里－1里）＝15——个10分钟
乙所走的距离是：
2里×15＝30里
这题真是曲折，要不是有图对着看，这个算法，我是很难听懂的。
马先生说：“我再用一个例题来作这一课的收场。”
例二十四：甲、乙两地相隔一万公尺，每隔五分钟同时对开一部电车，电车的速度为每分钟五百公尺。冯立人从甲地乘电车到乙地，在电车中和对面开来的车两次相遇，中间隔几分钟？又从开车至到乙地之间，和对面开来的车相遇几次？
题目写出后，马先生和我们作下面的问答。
“两地相隔一万公尺，电车每分钟行五百公尺，几分钟可走一趟？”
“二十分钟。”
“倘若冯立人所乘的电车是对面刚开到的，那么这部车是几时从乙地开过来的？”
“二十分钟前。”
“这部车从乙地开出，再回到乙地共需多长时间？”
“四十分钟。”
“乙地每五分钟开来一部电车，四十分钟共开来几部？”
“八部。”
自然经过这样一番讨论，马先生将图画了出来，还有什么难懂的呢？
由图24一眼就可得出，冯立人在电车中，和对面开来的电车相遇两次，中间相隔的是两分半钟。
而从开车至到乙地，中间和对面开来的车相遇七次。
算法是这样：
10000公尺÷500公尺＝20分——走一趟的时间
20分×2＝40分——来回一趟的时间
40分÷5分＝8——一部车自己来回一趟，中间乙所开的车数
20分÷8＝2.5分——和对面开来的车相遇两次，中间相隔的时间
8次－1次＝7次——和对面开来的车相遇的次数
图24
“这课到此为止，但我还得拖个尾巴，留个题给你们自己去做。”说完，马先生写出下面的题，匆匆地退出课堂，他额上的汗珠已滚到颊上了。
今天足足在课堂上坐了两个半小时，回到寝室里，觉得很疲倦，但对于马先生出的题，不知为什么，还想继续探究一番，于是决心独自试做。总算“有志者事竟成”，费了二十分钟，居然成功了。但愿经过这次暑假，对于算学能够找到得心应手的方法！
例二十五：甲、乙两地相隔三英里，电车每时行十八英里，从上午五时起，每十五分钟，两地各开车一部。阿土上午5：01从甲地电车站，顺着电车轨道步行，于6：05到乙地车站。阿土在路上碰到往来的电车共几次？第一次是在什么时间和什么地点？
答案：
阿土共碰到往来电车八次。
第一次约在上午五时八分半多。
第一次离甲地百分之三十六英里。
图25