第二节 货币的时间价值

货币的时间价值是现代公司财务的基础观念之一，因其非常重要并且涉及所有理财活动，有人称之为理财的“第一原则”。公司在投资于某项目时，至少要取得社会平均的利润率，否则不如投资于另外的项目或另外的行业。因此，货币的时间价值成为财务估价最基本的原则。

一、货币时间价值的概念

货币时间价值是指在没有风险的前提下货币经过一段时期的有效使用增加的价值，也称资金的时间价值。西方经济学家对货币时间价值的理解往往是和消费心理因素联系在一起的。他们认为，投资者进行投资就必须推迟消费，对投资者推迟消费的耐心应该给予回报，这种回报的量与推迟的时间成正比，即推迟的时间越长，回报就越多，单位时间的这种回报与投资的百分比，就是时间价值。

要深入理解货币时间价值的概念，必须考察货币时间价值形成的条件、形成的来源以及它的假设前提。

1．货币时间价值形成的条件

货币要具有时间价值必须具有一定的条件，这就是要把货币有目的地进行投资，即作为资金投入生产经营过程才能形成时间价值。货币时间价值是在生产经营中产生的，正如马克思指出“作为资本的货币的流通本身就是有目的，因为只有在这个不断更新的运动中才有价值增值”。“如果把它从流通中取出来，那它就凝固为贮藏货币，即使藏到世界末日，也不会增加分毫。”从货币时间价值形成的条件可以看到增强投资的目的性、有效使用资金、加速资金周转是提高资金时间价值的重要途径。

2．货币时间价值形成的来源

货币时间价值真正的来源是什么呢？是纯粹时间的恩赐？是延迟消费的赋予？都不是。它实质上是工人创造的剩余价值的一部分。在发达的商品经济条件下，资本流通的基本性质规定了以价值增值为特征的资本运动是永无止境的，因此准确的资本流通公式是G—W—G′，其中G′=G+△G，即原来预付的货币额G加上一个增值的货币额△G。马克思把这个增值的货币额△G叫作剩余价值。价值的增值过程就是剩余价值的生产过程，即超过“一定点”而延长了的价值形成过程。所以，货币时间价值形成的真实来源是劳动创造的剩余价值的一部分。

3．货币时间价值概念的假设前提

货币时间价值有两种表现形式：一种是绝对数，即时间价值额；另一种是相对数，即时间价值率。时间价值率与银行存款利率、各种债券利率以及股票的股利率虽然都属于投资报酬率的不同表现形式，但它们之间是有区别的，只有在不考虑通货膨胀和没有风险的条件下，它们才会相等。因此，货币时间价值概念是以没有通货膨胀、没有风险作为其假设前提的。

二、货币时间价值的计算

（一）复利终值和现值

复利是计算利息的一种方法。按照这种方法，每经过一个计息期，要将所生利息加入本金再计利息，逐期滚算，俗称“利滚利”。这里所说的计息期，是指相邻两次计息的时间间隔，如年、月、日等。除非特别指明，本书计息期为1年。

1．复利终值

例2-1 某人将10000元投资于一项事业，年报酬率为10%，经过1年时间的到期终值金额为：

S =P·（1+i）=10000×（1+10%）=11000（元）

上式中：S指终值，包括本金与利息；P指初始投资，即本金或现值；i指利率。

第n年的期终金额为：

S=P（1+i）n

上式是计算复利终值的一般公式，其中的（1+i）n被称为复利终值系数或1元的复利终值，用符号（S/P, i, n）表示。例如，（S/P,10%,5）表示利率为10%的5期复利终值的系数。为了便于计算，可编制“复利终值系数表”（见本书附表一）备用。该表的第一行是利率i，第一列是计息期数n，相应的（1+i）n值在其纵横相交处。通过该表可查出，（S/P,10%,5）为1.6105，在时间价值为10%的情况下，现在的1元和5年后的1.6105元在经济上是等效的，根据这个系数可以把现值换算成终值。

该表的作用不仅在于已知i和n时查找1元的复利终值，而且可在已知1元复利终值和n时查找i，或已知1元复利终值和i时查找n。

例2-2 某人有1000元，拟投入报酬率为10%的投资机会，经过多少年才可使现有货币增加5倍？

（1+10%）n=5

（S/P,10%, n）=5

查“复利终值系数表”，在i=10%的项下寻找5，最接近的值为：

（S/P,10%,16）=4.5950

（S/P,10%,17）=5.0545

根据相似三角形的几何原理用插值法可得：

（5-4.5950）/（5.0545-4.5950）=（n-16）/（17-16）

n=16.88年

即16.88年后可使现有货币增加5倍。

2．复利现值

复利现值是复利终值的对称概念，指未来一定时间的特定资金按复利计算的现在价值，或者说是为取得将来一定本利和而现在所需要的本金。

复利现值计算，是指已知S、i、n时，求P。

通过复利终值计算已知：S=P·（1+i）n

所以：P=S·（1+i）-n

上式中的（1+i）-n是把终值折算为现值的系数，称复利现值系数，或称1元的复利现值，用符号（P/S, i, n）来表示，例如，（P/S,10%,5）表示利率为10%时5期的复利现值系数。为了便于计算，可编制“复利现值系数表”（见本书附表二）。该表的使用方法与“复利终值系数表”相同。

例2-3 某人拟在5年后获得本利和100000元，假设投资报酬率为10%，他现在应投入多少元？

P =S·（P/S, i, n）=100000×（P/S,10%,5）=100000×0.621=62100（元）

答案是某人应投入62100元。

3．复利息

本金P的n期复利息：

I=S-P

例2-4 本金10000元，投资5年，利率8%，每年复利一次，其本利和与复利息是：

S =10000×（1+8%）5=10000×1.469=14690（元）

I=14690-10000=4690（元）

4．名义利率与实际利率

复利的计算期不一定总是1年，有可能是季度、月或日。当利息在1年内要复利几次时，给出的年利率叫作名义利率。当利息在1年内要复利而且只复利1次时，给出的年利率叫作实际利率。

例2-5 本金10000元，投资5年，年利率8%，每季度复利一次，则：

每季度利率=8%÷4=2%

复利次数=5×4=20

S =10000×（1+2%）20=10000×1.486=14860（元）

i=14860-10000=4860（元）

当1年内复利几次时，实际的利息要比名义利率计算的利息高。例2-5的利息比前例要多170元（4860-4690）。例2-5的实际利率高于8%，可用下述方法计算：

（1+i）5=1.486

（S/P, i,5）=1.486

查表得：

（S/P,8%,5）=1.469

（S/P,9%,5）=1.538

用插值法求得实际年利率：

i=8.24%

实际利率和名义利率之间的关系是：

式中：r指名义利率；M指每年复利次数；i指实际利率。

将例2-5数据代入：

S =10000×（1+8.24%）5=10000×1.486=14860（元）

（二）普通年金终值和现值

年金是指等额、定期的系列收支。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金收付形式。年金的形式有普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种。

普通年金又称后付年金，是指各期期末收付的年金。普通的收付形式见图2-1。横线代表时间的延续，用数字标出各期的序号；竖线的位置表示支付的时刻，竖线下端数字表示支付的金额。

i=10%, n=3

普通年金终值是指其最后一次支付时的本利和，它是n次支付的复利终值之和。例如，按图2-1的数据，其第三期末的普通年金终值可计算见图2-2。

在第一期末的100元，应赚得2期的利息，因此，到第三期末其值为121元；在第二期末的100元，应赚得1期的利息，因此，到第三期末其值为110元；第三期末的100元，没有计息，其价值是100元，整个年金终值331元。

如果年金的期数很多，用上述方法计算终值显然相当繁琐，由于每年支付额相等，折算终值的系数又是有规律的，所以，可找出简单的计算方法。

设每次的支付金额为A，利率为i，期数为n，则按复利计算的普通年金终值S为：

等式两边同乘（1+i）：

（1+i）S=A（1+i）+A（1+i）2+A（1+i）3+…+A（1+i）n

上述两式相减：

（1+i）S-S=A（1+i）n-A

是普通年金为1元、利率为i、经过n期的年金终值，记作（S/A, i, n）。可据此编制“年金终值系数表”（见本书附表三），以供查阅。

2．偿债基金

偿债基金是指为使年金终值达到既定金额每年应支付的金额。

例2-6 拟在5年后还清100000元债务，从现在起每年等额投资一笔款项，假设投资报酬率10%，每年需要投入多少元？

由于有复利因素，不必每年投入20000元（100000÷5），只要投入较少的金额，5年后本利和即达到100000元，可用以清偿债务。

可知：

式中的是普通年金终值系数的倒数，称偿债基金系数，记作（A/S, i, n）。它可以把普通年金终值折算为每年需要支付的金额。偿债基金系数可根据普通年金终值系数求倒数确定。

将例2-6有关数据代入上式：

有一种折旧方法，称为偿债基金法，其理论依据是“折旧的目的是保持简单再生产”。为在若干年后购置设备，并不需要每年提存设备的原值与使用年限计算的算术平均数，由于利息不断增加，每年只需提存较少的数额即按偿债基金提取折旧，即可在使用期满时得到设备原值。偿债基金法的年折旧额就是偿债基金系数乘以固定资产原值。

3．普通年金现值

普通年金现值，是指为在每期期末取得相等金额的款项，现在需要投入的金额。

例2-7 某人出国3年，请你代付房租，每年年末付租金10000元，设市场利率10%，他应当现在给你在银行存入多少钱？

这个问题可以表述为：请计算i=10%, n=3, A=10000元之年终付款的现在等效值是多少？

设年金现值为P，则：

P =10000×（1+10%）-1+10000×（1+10%）-2+10000×（1+10%）-3=100000×0.9091+10000×0.8264+10000×0.7513-10000×（0.909+0.8264+0.7513）=10000×2.4868=24868（元）

计算普通年金现值的一般公式：

等式两边同乘（1+i）：

P（1+i）=A+A（1+i）-1+A（1+i）-2+…+A（1+i）-（n-1）

后式减前式：

P（1+i）-P=A-A（1+i）-n

是普通年金为1元，利率为i，经过n期的年金现值，记作（P/A, i, n），可据此编制“年金现值系数表”（见本书附表四），以供查阅。

根据例2-7数据计算：

P=A·（P/A, i, n）=10000×（P/A,10%,3）

查表：（P/A,10%,3）=2.487

P=10000×2.487=24870（元）

例2-8 假设以10%的利率借款200000元，投资于某个寿命为10年的项目，每年至少要收回多少现金才是有利的？

据普通年金现值的计算公式可知：

因此，每年至少要收回现金32540元，才能还清货款本利。

上述计算过程中的是普通年金现值系数的倒数，它可以把普通年金现值折算为年金，称投资回收系数。

（三）预付年金终值和现值

预付年金是指每期期初支付的年金，又称即付年金或先付年金。预付年金支付形式见图2-3。

1．预付年金终值的计算

预付年金终值的计算公式为：

式中各项为等比数列，首项为A（1+i），公比为（1+i），根据等比数列的求和公式：

式中的是预付年金终值系数，或称1元的预付年金终值。它和普通年终值系数相比，期数加1，而系数减1，可记作[（s/a, i, n+1）-1]，并可利用“年金终值系数表”查得（n+1）期的值，减去1得出1元预付年金终值。

例2-9 A=2000元，i=8%, n=6的预付年金终值是多少？

S=A·[（S/A, i, n+1）-1]=2000×[（S/A,8%,6+1）-1]

查“年金终值系数表”：

（S/A,8%,7）=8.923

S=2000×（8.923-1）=15846（元）

2．预付年金现值的计算

预付年金现值的计算公式：

式中各项为等比数列，首项是A，公比是（1+i）-1，根据等比数列求和公式：

式中的是预付年金现值系数，或称1元的预付年金现值。它和普通年金现值系数相比，期数要减1，而系数要加1，可记作[（P/A, i, n-1）+1]。可利用“年金现值系数表”查行（n-1）期的值，然后加1，得出1元的预付年金现值。

例2-10 6年分期付款购物，每年初付20000元，设银行利率为10%，该项分期付款相当于一次现金支付的购价是多少？

P =A·[（P/A, i, n-1）+1]=20000×[（P/A,10%,5）+1]=20000×（3.791+1）=95820（元）

（四）递延年金

递延年金是指第一次支付发生在第二期或第二期以后的年金。递延年金的支付形式见图2-4。从图中可以看出，前三期没有发生支付。一般用m表示递延期数，本例的m=3。第一次支付在第四期期末，连续支付4次，即n=4。

递延年金终值的计算方法和普通年金终值类似：

S =A·（S/A, i, n）=1000×（S/A,10%,4）=1000×4.641=4641（元）

递延年金的现值计算方法有两种：

第一种方法，是把递延年金视为n期普通年金，求出递延期末的现值，然后再将现值调整到第一期初（图2-4中的0的位置）。

P3=A·（P/A, i, n）=1000×（P/A,10%,4）=1000×3.170=3170（元）

P0=P3·（1+i）-m=3170×（1+10%）-3=3170×0.7513=2381.6（元）

第二种方法，是假设递延期中也进行支付，先求出m+n期的年金现值，然后，扣除实际并未支付的递延期m的年金现值，即可得出最终结果。

P（m+n）=1000×（P/A, i, m+n）=1000×（P/A,10%,3+4）=1000×4.868=4868（元）

P（m）=1000×（P/A, i, m）=1000×（P/A,10%,3）=1000×2.487=2487（元）

P（A）=P（m+n）-P（m）=4868-2487=2381（元）

（五）永续年金

无限期定额支付的年金称为永续年金。例如现实中的存本取息。永续年金没有终止时间，也就没有终值。永续年金的现值可以通过普通年金的计算公式导出：

当n→∞时，（1+i）-n的极限为零，故上式可写成：

例2-11 拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发10000元奖金。若利率为10%，现在应存入多少钱？

三、货币时间价值计算工具

由于按照前面介绍的货币时间价值计算方法手工计算，工作量较大且准确率不高，在实际操作中，人们通常采用货币时间价值系数表、财务计算器和Excel财务函数等工具来完成货币时间价值的计算工作。

常用的货币时间价值系数表包括复利终值系数表、复利现值系数表、年金终值系数表和年金现值系数表，对应不同的年限和利率有不同的系数，方便查阅。但是该方法只是一个近似的计算，特别是对于表中未包含的利率，通常采用内插法计算，使计算的准确度降低。

财务计算器的出现，取代了烦琐的复利和现值公式的计算，且目前开发出的财务计算器的种类越来越多，目前使用较多的财务计算器型号有HP-12C Platinum、HP 10BII和HP 17BII+。

Excel作为专业的电子表格处理软件，具有一定的复杂性。要在财务管理中熟练地应用其各种分析方法和分析工具，要求使用者必须具备相当的计算机知识和财会专业知识。其强大的数据处理和数据分析功能，可以很好地满足现代财务管理的要求，相比起以上两种方法，通过不同的财务函数的应用，Excel的功能更强大，扩展性更好，学习和应用起来也更加系统。接下来介绍几种资金的时间价值函数来说明如何利用Excel计算货币的时间价值。

1．年金终值函数FV

在Excel中，可以用FV函数计算年金终值。语法结构为FV（rate, nper, pmt, pv, type）。其中各项的含义为：rate为各期利率，是一个固定值。nper为总投资（或贷款）期，即该项投资（或贷款）的付款期总数。pmt为各期所应付给（或得到）的金额，其数值在整个年金期间（或投资期内）保持不变，通常pmt包括本金和利息，但不包括其他费用及税款。如果忽略pmt，则必须包括pv函数。pv为现值，即从该项投资（或贷款）开始计算时已经入账的款项，或一系列未来付款当前值的累积和，也称为本金。如果省略pv，则假设其值为零，并且必须包括pmt参数。type为数字0或1，用以制定各期的付款时间是在期初还是期末。0表示在期末，1表示在期初。如果省略type，则假设其值为零。

在所有参数中，现金流出的款项表示为负数，现金流入的款项表示为正数。

例2-12 某项投资的投资期为10年，每年投资500万元，年投资回报率为10%，每年年末支付。使用Excel函数计算该项目终值。

在Excel工作表中输入各项目名称及相应的数据，选定F2单元格，在其中输入公式“FV=（A2, B2, C2, D2, E2）”，按回车键后，结果显示如图2-5所示。

2．年金现值函数PV

在Excel中，可以用PV函数计算年金现值。语法结构为PV（rate, nper, pmt, fv, type）。其中，rate、nper、pmt、fv、type等各参数含义及要求同上。

例2-13 某项投资的投资期为10年，每年投资500万元，年投资回报率为10%，每期年末支付。使用Excel函数计算该项目现值。

在Excel工作表中输入各项目名称及相应的数据，选定F2单元格，在其中输入公式“PV=（A2, B2, C2, D2, E2）”，按回车键后，结果显示如图2-6所示。

3．年金中的利息函数IPMT

在已知期数、利率及现值或终值的条件下，可以用Excel中的IPMT函数计算返回年金处理的每期固定付款每期所含的利息。语法结构为IPMT（rate, per, nper, pmt, pv，fv）, rate、nper、fv、type等各参数含义及要求同上。per用于计算器利息数额的期次，必须在1～nper之间。pv为现值，即从该项投资（或贷款）开始计算时已经入账的款项，或一系列未来付款当前值的累积和，也称为本金。

例2-14 某项投资的投资期为10年，每年投资500万元，投资项目的现值为3072.28万元，年投资回报率为10%，每期年末支付。使用Excel函数计算该项目第一年的利息额。

在Excel工作表中输入各项目名称及相应的数据，选定F2单元格，在其中输入公式“IPMT=（A2,1, B2, E2）”，按回车键后，结果显示如图2-7所示。

4．年金中的本金函数PPMT

在已知期数、利率及现值或终值的条件下，应用Excel中的PPMT函数可以求得返回年金处理的每期固定付款所含的本金。语法结构为PPMT（rate, per, nper, pv, fv, type）。语法结构中各参数的要求同上。

例2-15 某项投资的投资期为10年，投资项目现值为3072.28万元，年投资回报率为10%，每期年末支付。使用Excel函数计算该项目第一年支付的本金。

在Excel工作表中输入各项目名称及相应的数据，选定F2单元格，在其中输入公式“PPMT=（A2,1, B2, E2）”，按回车键后，结果显示如图2-8所示。

5．利率函数RATE

在已知期数、期付款金额和现值的情况下，可以用Excel中的利率函数RATE（）计算返回年金的每期利率。利率函数的语法结构为RATE（nper, pmt, pv, fv, type, guess），语法结构中的nper、pmt、pv、fv、type等各参数含义及要求同上。guess为预期利率（估计值）。如果省略预期利率，则假设该值为10%。

例2-16 某投资项目现值为3072.28，总投资期为10年，每期年末支付，每年支付款项为500万元。使用Excel函数计算该项目的年利率。

在Excel工作表中输入各项目名称及相应的数据，选定A2单元格，在其中输入公式“RATE=（B2, C2, F2, E2）”，按回车键后，结果显示如图2-9所示。