11 什么是“祖暅原理”？

“祖暅原理”即截面原理，在西方被称为“卡瓦列利原理”，其内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

祖暅是南北朝时期的数学家，是祖冲之的儿子。在祖暅之前，刘徽已经在各种体积公式的证明中反复使用过截面原理，但并未给出明确的表述，而祖暅是第一个用精确的文字表述此原理的人，因此它便被后人称作“祖暅原理”。

内棋与外棋

祖暅运用祖暅原理的一大成就是解决了刘徽所遗留的球积公式推导问题。对于刘徽没能算出的牟合方盖体积，祖暅巧妙地改用了另一种方法：并不直接计算牟合方盖的体积，而是计算从立方体中去掉牟合方盖后剩余部分的体积。

祖暅将立方体分为八份，去掉牟合方盖后的剩余部分被两个圆柱体切割为三块，其中方盖的部分取名“内棋”，其余三部分取名“外棋”。再以这个小立方体的顶面为底，作一个顶点在小立方体底面上的倒立四棱锥（阳马）。用平行于底面的平面在任意高度横截三个外棋和这个四棱锥，应用勾股定理，祖暅计算出三个外棋的截面面积之和与四棱锥的截面面积总是相等的。于是，根据祖暅原理可知这个四棱锥的体积即为三个外棋体积之和，这样就可以依次算出三个外棋、牟合方盖和球的体积了。