10 刘徽为什么要设计“牟合方盖”？

“牟合方盖”是魏晋时期的数学家刘徽设计的一个形状奇特的几何体。方法是在一个立方体内分别作纵横两个内接圆柱体，二者相交的部分即为牟合方盖。这里的“牟”表示相等，“盖”表示伞，这个几何体的外形好像是把两个方口圆顶的伞上下拼合在一起，故取此名。刘徽设计牟合方盖的目的，是想通过它计算出球的体积。

如今我们知道，球体积的计算公式为V=4/3πr³，这个公式的推导是古代数学的难点之一。西汉时期的《九章算术》认为，球体积为球直径立方的9/16。这个计算方法可能来源于实物测量或几何估算。这样算出来的值要比实际值大1/6左右，误差相当大。此后东汉的张衡将其修正为球直径立方的5/8，可是它比《九章算术》的值差得更多。

牟合方盖

刘徽在为《九章算术》作注的时候，发现以上两个计算公式都不准确。一个原因可能是二者所用的π值都不精确，《九章算术》中取π值为3，张衡则取，而刘徽运用割圆术得出π值约为3.14。

为此，刘徽设计了牟合方盖，并计算出球与牟合方盖的体积比为π：4，这样，只要算出牟合方盖的体积，便可得到正确的球积公式。实际上牟合方盖又可以分为八个形状相同的小几何体，所以问题的关键便是如何计算这八个小几何体的体积。

遗憾的是，牟合方盖的形状太过奇特，刘徽最终没能推导出其体积的计算公式。他在为《九章算术》所写的注释中坦率地承认了这一点，并表示这个问题只能留待后人去解决了。