7 什么是“幻方”？

幻方也叫纵横图，是中国古代的一种数学游戏，要求在N乘N的正方形格子中填上从1到N2共N2个连续自然数，使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等。

最简单同时也是最古老的幻方是三阶幻方，也就是有3乘3共9个格子，也叫作九宫图。西汉末年的一些占卜书中出现的三阶幻方，是现存最早的幻方实物。

关于三阶幻方还有一个著名的传说。伏羲时，黄河中跃出一匹龙马，马背上驮着一幅图；后来大禹治水时，又从洛水中浮出一只神龟，龟背上也有一张图。这两幅图被称为“河图”与“洛书”。但对于它们具体是什么一直语焉不详，直到宋代人们将其明确为三阶幻方。

河图

洛书

张潮修正后的十阶幻方

最早从数学角度对幻方加以研究的是南宋数学家杨辉。他在《续古摘奇算法》一书中给出了三至十阶幻方，其中四至八阶幻方都给出了阴、阳两种构造，还对四阶幻方的构造方法做了详细说明。除了标准幻方，杨辉还给出了一些变形幻方，不一定要求每行每列与对角线之和全部相等，也不一定是正方形。杨辉将八阶幻方称作“易数图”，这应该是因为8×8=64，与64卦相吻合。他将十阶幻方称作“百子图”，有趣的是，他在书中给出的十阶幻方是错误的，每行每列之和都是505，而两个对角线之和分别为470和540。清初的张潮发现了这一错误，并给出了正确的构造。