2.3 通用旋转变换

我们已经在前面研究了绕x、y和z轴旋转的旋转坐标变换。下面来研究最一般的情况，即研究某个绕着从原点出发的任一向量（轴）旋转角度θ时的旋转坐标变换。

2.3.1 通用旋转变换公式

设f为坐标系{C}的z轴上的单位向量，即：

绕向量f旋转等价于绕坐标系{C}的z轴旋转，即：

如果已知以参考坐标系表示的坐标系{T}，那么能够求得以坐标系{C}表示的另一坐标系{S}，因为

式中，S表示坐标系{T}相对于坐标系{C}的位置。对S求解得：

T 绕f旋转等价于S绕坐标系{C}的z轴旋转，即：

Rot(f,θ)T=CRot(z,θ)S

Rot(f,θ)T=CRot(z,θ)C^-1T

于是可得：

因为f为坐标系{C}的z轴上的单位向量，所以对式（2-34）加以扩展可以发现，Rot（z，θ）C^-1仅仅是f的函数，因为

根据正交向量点乘、向量自乘、单位向量和相似矩阵特征值等性质，并令versinθ=1-cosθ，f_x=a_x，f_y=a_y，f_z=a_z，f=f_xi+f_yj+f_zk，对式（2-35）进行化简，可得：

这是一个重要的结果。从上述通用旋转变换公式能够求得各个基本旋转变换。例如，当f_x=1、f_y=0和f_z=0时，Rot(f,θ)=Rot(x,θ)。若把这些数值代入式（2-36），可得：

这与式（2-24）一致。

2.3.2 等效转角与转轴

对于任一旋转变换，均能够由式（2-36）求得进行等效转角的转轴。已知旋转变换：

令R=Rot(f, θ)，即：

把式（2-37）右边除元素1以外的对角线项分别相加并进行化简，可得：

以及

把式（2-37）中的非对角线项成对相减，可得：

将式（2-40）各行平方相加后，可得：

(o_x-a_y)²+(a_x-n_z) ²+(n_y-o_x) ²=4sin²θ

以及

把旋转规定为绕向量f的正向旋转，使得0≤θ≤180°^[16]。这时，式（2-41）中的符号取正号。于是，角度θ被唯一地确定为：

向量f的各分量可由式（2-40）求得，即：