0.1 从一个例子说起

为了具体说明什么是分岔现象，先举一个比较简单的例子。

如图0.1.1所示，考虑一个半径为a的光滑圆环，绕它的一根铅垂直径以等角速度ω旋转。在圆环上有一个质量为m的光滑小环。现在求小环在大环上的位置。

设小环处于大环上与铅垂线成θ角的位置。小环受大环的约束力R必然是垂直于大环的方向，作用在小环上的惯性力是水平方向，重力是铅垂方向。作用在小环上的这三个力应当保持平衡，所以有

即

由这个式子可以计算出θ和ω的关系，将二者的关系曲线画在图上，得到图0.1.2所示的两条线：一条是θ=0，另一条是

后一条曲线是从点

分出来的，即ω=ω∗= ±,θ不再是0，而逐渐随ω增加。当θ趋近π/2时，转速ω趋于无穷。点P就称为分岔点。整个问题的解在分岔点处分为两支，称为分岔现象。

这个例子是一个典型的、简单的分岔问题。在这个例子中，θ是表征系统状态的量。此外，在系统中还包含一个参量ω。显然系统的状态是依赖于参量ω的。当ω<ω∗时，系统只有唯一的解，即小环处于θ=0的平衡位置。这时，平衡是稳定的。当ω>ω∗时，θ=0的平衡解是不稳定的，即出现了另外一支解，小环处于

的状态，随大环以角速度ω旋转。也就是说，在系统的分岔点处，原来的平衡状态成为不稳定的，即出现了另外一个稳定的状态分支。

从这个例子中，可以看出一个具有分岔现象的系统要有以下几个条件：

(1) 要求有一组描述系统状态的量。在上面的例子中，θ就是这样的量。在一个复杂的系统中，描述系统状态的量可以是很复杂的，它们可以是由许多数组成的向量或矩阵，也可以是描述过程的时间和空间的函数，还可以是由许多函数组成的函数向量或矩阵。由于使用了复杂的描述状态的数量系统，人们可以描述自然界中十分复杂的现象和过程。例如，刚体绕固定点运动，如导航控制中的陀螺的运动就需要3个角度来确定它的状态；飞机的飞行姿态则需要6个参数来确定；梁和杆的变形需要用一个定义在长度上的函数来确定它的挠度；确定大气流动情况需要在空间的每一点上都给定3个速度分量，它们是空间和时间的3个函数；等等。总而言之，只要引进了适当的描述状态的参量系统，自然界中的现象，不论是天上的白云、海里的波浪、反应罐中的化学反应过程，还是股票市场的涨落，都可以描述。

(2) 要求有一组表征过程的参量。在上面的例子中，这个参量就是表征旋转角速度的ω。在实际问题中，为了使问题不过分复杂，这种参量只取一个，也称为系统的分岔参数。不过这个参量的实际意义可以是各式各样的，它可以是转动角速度，还可以是速度、加速度、长度、角度、温度、电磁场强度、时间、质量、密度、黏性系数等。于是本书所讨论的问题就不仅是关于系统的一个状态，而是在参量变化时考虑系统的状态依赖参量变化的过程。上例所讨论的是系统的状态θ依赖旋转角速度ω变化的过程。在实际的复杂系统中，就是要研究这些复杂系统的状态随所选定的参量的变化过程。

(3) 要有一组控制系统状态的方程，即描述系统状态的量所必须满足的方程。在上面的例子中，平衡方程就是这样的方程。这组方程通常是根据系统的状态所遵从的物理化学规律得到的，它的复杂程度和描述系统状态的量的复杂程度是相关的。在上面这个简单的例子中，一个方程就够了，在状态由多个量描述的系统中，一般来说，有多少个量，就要有多少个方程。进一步，如果系统的状态是由函数描述的，则这种方程还需要是常微分方程 (状态量是单自变量函数的情形) 或偏微分方程 (状态量是多自变量函数的情形)。对于分岔现象来说，方程必须是非线性的，即在方程中，问题的未知量，包括系统的分岔参数，它们不能只以一次项的形式出现。

关于非线性，还需要略作介绍。设描述系统的n个状态量为x1,x2, …,xn，如果系统的n个控制方程是

ai1x1+ai2x2+…+ainxn=bi(i=1, 2, …,n)，

其中，aij(i,j=1, 2, …,n) 都是常数。这种形式的方程称为线性方程。研究表明，由线性方程控制的系统是不可能有分岔现象的。不过也不是所有的由非线性方程所控制的系统都会产生分岔现象。例如，在平面上画一条弯曲的光滑曲线，它不是直线，所以是非线性的。但是这条曲线上并没有分岔点。而本书所举的例子中解曲线是由在分岔点处相交的两条光滑曲线组成的，所以分岔问题是非线性问题，但是它比一般的非线性问题更为复杂，因此分岔问题也称为实质的非线性问题。这是因为，对于一般没有分岔的非线性问题，可以逐段用线性问题来逼近，如同平面曲线可以用逐段的直线去逼近。对于分岔问题，在分岔点附近，是不可能用线性问题去逼近的，就像在上面的例子中，过图0.1.2中的P点作直线，只能逼近解的一支而不能对两支都逼近。