第3章 有效数字及数据处理方法

§1 有效数字

实验中总要记录很多数值，并进行计算，但是记录时应取几位，运算后应留几位，这是实验数据处理的重要问题。实验时处理的数值应是能反映出被测量实际大小的数值，即记录与运算后保留的数字应为能传递出被测量实际大小信息的全部数字，我们称这样的数字为有效数字。所谓有效数字，是指把测量结果中可靠的几位数加上可疑的一位（有时取两位）。

一、测量仪器的读数和记录

一般来讲，仪器上显示的数字均为有效数字，包括最后一位估读均应读出并记录。例如，用一最小分度为毫米的尺测得一物体的长度为7.62cm，其中“7”和“6”是准确读出的，最后一位数字“2”是估计的，并且仪器本身也将在这一位出现误差，所以它存在一定的可疑成分，即实际上这一位可能不是2，虽然2这个数字不十分准确，但是近似地反映出这一位大小的信息，因此应算作有效数字。

仪器上显示的最后一位是“0”时，“0”也是有效数字，也要读出并记录。例如，用一毫米分度尺测得一物体的长度为3.60cm，它表示物体的末端是和分度线“6”刚好对齐，下一位是0，此时若写成3.6cm则不恰当，因为“6”是准确的，“0”这位是可疑位，应算有效数字，必须记录。对于分度式仪表，读数要读到最小分度的十分之一。例如，最小分度是毫米的尺，测量时一定要估测到十分之一毫米那一位；最小分度是0.1 A的安培计，测量时一定要估测到百分之一安培那一位。但有的指针式仪表，它的分度较窄，而指针较宽（大于最小分度的五分之一），这时要读到最小分度的十分之一有困难，可以读到最小分度的五分之一甚至二分之一。

关于一次测量结果的有效数字的记录可概括为以下几点：

（1）一个测量结果的有效数字的多与少反映了该测量的准确程度，有效数字与小数点的位置无关，也与单位选择无关。

（2）对于每个直接测量量的有效数字，其最后那位应该是最小分度值的估读数字。（3）任何测量结果都只写出有效数字，数量级用10的幂次方表示。

（4）可疑数字只取一位，但有时取两位。运算中可多留一位有效数字。

二、有效数字的运算

（1）实验后计算不确定度时，测量结果的有效数字按以下规则确定：

①加减运算后的有效数字应当和参加运算各数中最先出现的可疑位一致。

例：

结果为132.2（数字上方有横线的为可疑数字）。

②乘除运算后的有效数字可估计为与参加运算各数中有效数字位数最少的相同。

例：

结果为42.2。

③函数的有效数字。先对函数求微分，由此求出函数的合成不确定度公式，再将自变量的不确定度取为该自变量的最后那位的1个单位（因至少有1个单位大小的不确定度）代入公式中的不确定度，由不确定度决定函数值的有效数字位数。

因为dN=-sinxdx

例：N=cos x, x=9° 24′，取ux=1′=0.00029 rad。

所以uN=sinx·ux=0.15×0.00029=4×10-5

所以N=cosx=cos 9° 24′=0.98657

（2）多次测量及间接测量的有效数字。

实验后多次测量的最佳值或间接测量量的结果的有效数字的最后一位与该量的不确定度的最后一位对齐，即不确定度决定有效数字。

例1：已知y=x1+x2-x3+x4，其中x1=（6.262±0.002）m, x2=（71.3±0.5）m, x3=（0.753±0.001）m, x4=（271±1）m。

解：首先求合成不确定度。

结果：

例2：g=，其中，l=（101.15±0.02）cm, T=（2.017±0.003）s。写出重力加速度的有效数字表示。

解：通过传递公式求合成不确定度。

（3）乘方与开方的有效数字与其底的有效数字位数相同。

（4）一般来说，函数运算的位数应根据误差分析来确定。在物理实验中，为了简便和统一起见，对常用的对数函数、指数函数和三角函数作如下规定：对数函数运算后的有效数字的位数与真数的位数相同；指数函数运算后的有效数字的位数可与指数的小数点后的位数相同（包括紧接小数点后的零）；三角函数的取位随角度的有效数字而定。

（5）在运算过程中，可能会碰到一种特定的数，它们叫作正确数。例如将半径化为直径d=2r时出现的倍数2，它不是由测量得来的。还有实验测量次数n，它总是正整数，没有可疑部分。正确数不适用有效数字的运算规则，需由其他测量值的有效数字的多少来决定运算结果的有效数字。

（6）在运算过程中，还可能碰到一些常数，如π、g之类，一般取这些常数与测量的有效数字的位数相同。例如，圆周长l=2πR，当R=2.356mm时，此时π应取3.142。

三、有效数字的取舍原则

运算后的数值只保留有效数字，其他数字应舍去，要舍弃的数字的第一位应按如下规则处理：余部大于5则入，余部小于5则舍，余部等于5则凑偶。

例

四、使用有效数字运算规则时应注意的问题

（1）物理公式中有些数值不是实验测量值，确定有效数字时不必考虑。，这时的4π2的位数不予考虑。例如

（2）对数运算时，首数不算有效数字。

（3）在乘除运算中计算有效数字位数时，当首位是8或9时可多留一位。

例：9.81×16.24=159.3。

9.81按三位有效数字看待，结果应取159，但因为9.81首位是9，可将9.81算作4位有效数字，所以结果取159.3。

（4）有多个数值参加运算时，在运算中应比按有效数字运算规则规定的多留一位，以防止由于多次取舍而引入计算误差，但运算最后仍应舍去。

（5）注意有效数字中的“0”。数字前的“0”不是有效数字，数字中间或末尾的“0”是有效数字。

0.0135m是三位有效数字；1.0350m是五位有效数字；1.035m是四位有效数字；1.0350m≠1.035m。

五、不确定度的有效数字

（1）确定最后结果的有效数字位数的一般原则：由不确定度决定。

（2）不确定度的有效数字一般只取一位。

（3）结果的最后一位要与不确定度的最后一位对齐。