第8章
如何确定物体受任意类型向心力作用运动的轨道

命题40　定理13

如果某一物体在任意向心力的作用下，用一种任意的方式进行运动，同时，另一物体沿直线上升或下落，那么，当它们处在一个相同的高度时，它们的速度相等，并且，在所有的相等高度上，它们的速度都相等。（如图8-1）

将一物体从点A下落，穿过点D和点E到达中心C，而另一物体从点V沿曲线VIKR运动。以点C为中心，任意半径作同心圆DI、EK，且与直线AC相交于点D和E，与曲线VIK相交于点I和点K，作IC在点N与KE相交，再作IK的垂线NT。将这两个圆之间的间隔DE和IN设为无限小，再设物体在点D和I的速度相等，由于距离CD和CI相等，那么，在点D和I的向心力也相等。这些向心力可用相等的线段DE和IN来表示，根据运动定律的推论2，可将力IN分解为NT和IT两部分，而作用在直线NT方向的力NT则垂直于物体的路径ITK，在该路径上，这个力不会对物体的速度产生任何影响或改变，但会使物体脱离直线路径并不断偏离轨道切线，从而进入曲线轨道ITKR，就是说，这个力只产生这样一种作用。而另一个力IT的作用则发生在物体的运动方向上，它将对物体的运动进行加速，在极短的时间内，由此产生的加速度与时间成正比。因此，在相等的时间里，物体在点D和I产生的加速度与线段DE、IT成正比，在不相等的时间里，则与线段DE、IT和时间的乘积成正比。但是，由于物体在点D和点I的速度相等，且经过直线DE和IK的时间与距离DE和IK成正比，因此，物体经过线段DE和IK的加速度之比等于DEI、IT和DEIIT的乘积，即等于DE的平方与IT×IK的乘积的比。由于IT×IK等于IN的平方，也就等于DE的平方，因此，物体从点D、I到E、K所产生的加速度也相等，在E和K的速度也同样相等。同理可知，之后，只要距离相等，它们的速度也总是相等。

证明完毕。

同理可知，与中心距离相等且速度相等的物体，在向相等的距离上升时，其减速的速度也相等。

推论1　物体无论是悬挂在绳上摆动，还是被迫沿光洁、平滑的表面做曲线运动，另一物体则将沿直线上升或下落，只要在某一相同高度它们的速度相等，那么，在其他所有相同高度上，它们的速度都相等。因为，物体在悬挂物体的垂线上或在完全平滑的器皿上运动时，其横向力NT也会产生相同的影响，但物体的运动不会因为它而产生加速或减速，只是使其偏离直线轨道。

推论2　设量P为物体由中心所能上升到的最大距离，即无论是因为摆动还是环绕轨道的运动，在曲线轨道上任何一个地方以该点的速度向上最终运动至此距离；如果将量A作为物体由中心到轨道上任意点的距离，再使量A的（n-1）次即An-1幂与向心力始终成正比，其中指数n-1为任意数n减去1，那么，物体在任意高度A的速度将与成正比，而它们的比值也将给定，因为根据命题39，物体沿直线上升或下落的速度即等于该值。

命题41　问题28

设向心力的类型和曲线的面积均给定，求出物体运动的轨道及在轨道上的运动时间。（如图8-2）

将任意向心力指向中心C，求出曲线轨道VIKk。已知一给定圆VR的圆心为C、任意半径为CV。再由同一圆心作出另外两个任意圆ID和KE，并在点I和点K与曲线轨道相交，在点D和点E与直线CV相交。再作直线CNIX，在点N和点X与圆周KE、VR相交，作直线CKY，与圆VR在点Y相交。将点I向点K无限靠近，并使物体运动由点V通过I和K到点k。再设点A为另一物体所要由此下落的处所，并使其在处所D的速度与第一个物体在处所I的速度相等。下面，采用命题39的方法求证：在极短时间内，物体所经过的线段IK将与速度成正比，因此也与平方等于面积ABFD的一直线短成正比，所以与时间成正比的三角形ICK可以给定，那么，当任意量Q已给定，高度IC等于A时，线段KN将与高度IC成反比，而与成正比。如果用Z代替量，并设Q的大小在某种情形下使∶Z＝IK∶KN，那么，在任何情况下都有∶Z＝IK∶KN，而ABFD∶ZZ＝IK2∶KN2，由分比得：（ABFD-ZZ）∶ZZ＝IN2∶KN2，因此，比Z或，等于IN比KN；A×KN＝。又由，XY×XC＝。

在垂线DF上取Db、Cc，使其分别等于和，以b和c为曲线ab、ac的焦点，由点V作直线AC上的垂线Va，切割曲线面积VDba和VDca，并作出纵标线Ez和Ex。由于Db×IN或DbzE等于A×KN的一半，或等于三角形ICK；DC×IN或DcxE等于YX×XC的一半或等于三角形XCY。由于面积VDba、VIC的新生极小量DbzE、ICK始终相等的，面积VDca、VCX的新生极小量DcxE和XCY也将始终相等。因此，由此产生的面积VDba也将与面积VIC相等，与时间成正比，而由此产生的面积VDca与产生的扇形面积VCX也相等。如果物体在任意给定的时间内由点V开始运动，那么，面积VDba与时间成正比也同样可以给定，而物体的高度CD或CI也就给定，面积VDca、扇形VCX和其角VCI也都能给定。那么，通过已经给定的角VCI、高度CI，就可求出物体最后所在的处所。

证明完毕。

推论1　曲线轨道的回归点，即物体的最大高度和最小高度很容易求出。因为，当直线IK与NK相等，即面积ABFD与ZZ相等时，由中心所作的直线IC穿过这些回归点，并垂直于轨道VIK。

推论2　通过物体的给定高度IC，很容易就可求出曲线轨道在任意处所与直线IC的夹角KIN，也就是说，使该角的正弦与半径的比为KN比IK，即等于Z与面积ABFD平方根的比。

推论3　如果过中心C和顶点V，作一圆锥曲线VRS，并在曲线上任意一点如R，作切线RT在点T与无限延长的轴CV相交。连接CR，作直线CP，使之与横标线CT相等，使角VCP与扇形VCR成正比。如果指向中心的向心力与从中心到物体处所距离的立方成反比，并在处所V以一定速度沿垂直于直线CV的方向抛出一物体，那么，该物体将一直沿轨道VPQ运动，并总是与点P相切。如果圆锥曲线VRS为双曲线，则物体将会下落至中心处；如果为椭圆，物体则将不断上升，最后升至无限远。与之相反的是，如果物体以任意速度离开处所V，那么，根据它是直接落向中心还是由此倾斜上升，则可确定图形VRS是双曲线还是椭圆，并且还可按给定比值增大或减小角VCP来求出该曲线轨道。如果向心力变为离心力，则物体将偏离轨道VPQ。如果角VCP与椭圆扇形VRC成正比，长度CP等于长度CT，则可求出该轨道。所有这些均可通过确定的曲线面积求出，其计算方法非常简便，为简捷起见在此我就省略了。（如图8-3、图8-4）

命题42　问题29

已知向心力定律，求证在给定处所、用给定速度沿给定直线方向抛出的物体的运动。（如图8-5）

设条件与以上三个命题相同，将物体从处所I抛出并沿小线段IK方向运动。而另一物体在均匀向心力作用下，由处所P向D运动，两个物体的运动速度相等。设该均匀力与物体在处所I受到的作用力的比，等于DR与DF的比。再使物体向k点运动，并以中心C为圆心、Ck为半径作圆周ke，在点e与直线PD相交。作出曲线BFg、abv、acw上的纵标线eg、ev、ew。根据给定矩形PDRQ和向心力定律，曲线BFg可以根据命题27和推论1的作图求出，并且，通过已知角CIK，可求出初生线段IK与KN的比值。同样，由命题28的作图，可求出量Q和曲线abv、acw。因此，在任意时间Dbve结束时，通过求出物体Ce或Ck的高度、与扇形XCy面积相等的Dcwe面积和角ICk，那么，物体所在的处所k也就可以求出。

证明完毕。

在以上命题中，假设向心力可以依照某种规律与中心的间距不断变化，但在由中心引出的相等距离处，向心力则始终相等。

到此为止，我们所讨论的物体运动，全部都是在不动轨道上的运动，下面，我将针对物体在轨道上的运动，该轨道围绕力发热中心转动的问题，补充一些相关内容。