第7章
物体的直线上升或下落

命题32　问题24

假设向心力与从中心到处所距离的平方成反比，求出在给定时间内物体沿直线下落所通过的距离。

情形1　假如物体不是垂直下落，那么，根据命题13的推论1，物体将以焦点在力中心上的圆锥曲线为运动路径。（如图7-1）设该圆锥曲线为ARPB，其焦点为S。如果物体的运动轨迹表现为一个椭圆，在长轴AB上作出半圆ADB，使直线DPC穿过下落的物体，并与主轴形成直角。作DS、PS，使面积ASD与面积ASP成正比，并与时间成正比。将轴AB保持不变，使椭圆的宽度不断减小，则面积ASD也与时间成正比。如果宽度无限减小，轨道APB则将与轴AB重合，焦点S与轴的极点B重合，物体将沿直线AC下落，而面积ABD将与时间成正比。因此，如果面积ABD与时间成正比，并且过点D的直线DC与直线AB垂直，那么，物体在给定时间内，从处所A垂直下落所经过的距离可以求出。

证明完毕。

情形2　如果图形（如图7-2）RPB为双曲线，在同一主轴AB上作出直角双曲线BED，由于面积CSP、CBfD、SPfB与面积CSD、CBED、SDEB的比均为给定值，面积SPfB与物体P过弧PfB所需时间成正比，因此，面积SDEB也与时间成正比。将双曲线RPB的通径无限减小，而横轴保持不变，那么，弧PB将与直线CB重合，焦点S与顶点B重合，直线SD与直线BD重合。而面积BDEB则与物体C沿直线CB垂直下落所需的时间成正比。

证明完毕。

情形3　根据相同的原理，如果图形（如图7-3）RPB为抛物线，用同一顶点B作另一抛物线BED。与此同时，物体P沿前一抛物线的边界运动，随着前一抛物线的通径逐渐缩小最后变成零，物体P最终将与直线CB重合，而抛物线截面BDEB则与物体P或C下落至中心S或B所用的时间成正比。

证明完毕。

命题33　定理9

根据前面的假设，下落物体在任意处所C的速度与物体围绕以B为中心、BC为半径的圆周运动速度的比，等于物体到圆周或直角双曲线上较远顶点A的距离，与图形主半径AB比值的平方根。（如图7-4）

以AB作为两个图形RPB、DEB的公共直径，并在O点等分。作直线PT在点P与图形RPB相切，并与公共直径AB在点T相交。作SY与该直线垂直，BQ与直径AB垂直，假设图形RPB的通径为L。根据命题16推论9可知，物体由中心S沿曲线RPB运动在任意处所P的速度，与物体围绕同一点中心、半径为SP的圆周运动速度的比，等于L×SP与SY2的比值的平方根。因为，根据圆锥曲线的性质，AC×CB与CP2的比等于2AO比L，即＝L。就是说，这些速度相互之间的比等于与SY2比的平方根。另外，根据圆锥曲线的性质，CO∶BO＝BO∶TO，由合比或分比，也等于CB∶BT。且AC∶AO＝CP∶BQ＝TC∶BT，因此，＝。现在，假设图形RPB的宽CP无限减小，以至点P与点C重合，点S与点B重合，直线SP与直线BC重合，SY与BQ重合。那么，此时物体沿直线CB垂直下落的速度与物体绕以B为圆心、BC为半径的圆周运动速度的比，等于与SY2比的平方根，如果约掉相等比值、，则等于AC比AO或AB的平方根。

证明完毕。

推论1　当点B和点S重合时，TC∶TS＝AC∶AO。

推论2　物体用给定距离围绕中心作圆周旋转，如果运动方向变为垂直向上，物体则将上升到距离中心2倍的高度。

命题34　定理10

如果图形BED为抛物线，那么，下落的物体在任意处所C的速度，等于物体围绕以点B为圆心、BC的一半为半径的圆做匀速运动的速度。（如图7-5）

根据命题16的推论7，物体在任意处所P沿着以S为中心的抛物线RPB运动的速度，等于物体围绕以点S为圆心、SP的一半为半径的圆做匀速运动的速度。将抛物线的宽CP无限减小，使抛物线的弧PfB与直线CB重合，中心S与顶点B重合，SP与BC重合，命题成立。

证明完毕。

命题35　定理11

根据相同假设，由不确定的半径SD所画出的图形DES的面积，等于物体在相同时间内围绕以S为圆心、以图形DES通径一半为半径的圆做匀速运动所划出的面积。

假设物体C在极短的时间内，下落到一无限小的直线Cc上，同时，另一物体K围绕以S为圆心的圆周OKk做匀速运动，划出弧Kk。作垂线CD、cd，交图形DES于点D、d。连接SD、Sd、SK、Sk，并作Dd交轴AS于点T，再作Dd的垂线SY。

情形1　如果图形（如图7-6）DES为圆周或直角双曲线，以点O平分它的横向直径AS，SO则为其通径的一半。由于TC∶TD＝Cc∶Dd，TD∶TS＝CD∶SY，因此，TC∶TS＝（CD×Cc）∶（SY×Dd）。根据命题33的推论1，TC∶TS＝AC∶AO，如果点D与点d合并，取其直线的最终比值，即AC∶AO（或SK）＝（CD×Cc）∶（SY×Dd）。此外，根据命题33，落体在C点的速度，与物体围绕以S为圆心、SC为半径的圆运动的速度之比，等于AC与AO或SK的平方根比。根据命题4的推论6，落体的速度与物体沿圆周OKk运动的速度之比，等于SK与SC的平方根比，因此，第一个速度与最后一个速度之比，即小线段Cc与弧Kk的比，等于AC与SC的平方根比，也就是。所以，CD×Cc＝AC×Kk，AC∶SK＝（AC×Kk）∶（SY×Dd），并且，SK×Kk＝SY×Dd，SK×Kk＝SY×Dd，即面积KSk等于面积SDd。因此，在每一个时间的间隙中，都将产生两个相等的面积KSk和SDd，如果它们的大小无限减小而数目无限增多，那么，它们同时产生的整个面积将相等。

证明完毕。

情形2　由上述可知，如果图形（如图7-7）DES为抛物线，则（CD×Cc）∶（SY×Dd）＝TC∶TS，即等于2∶1。因此，CD×Cc＝2SY×Dd。但是，根据命题34，落体在C点的速度等于它绕半径为SC的圆周做匀速旋转运动的速度，而该速度与半径为SK的圆周的运动速度之比，则等于小线段Cc与弧Kk的比，SK与比值的平方根，即等于SK与CD的比。由于2SK×Kk＝CD×Cc，也等于2SY×Dd，因此，面积KSk与面积SDd相等。

证明完毕。

命题36　问题25

求物体从给定处所A下落所需的时间。（如图7-8）

在直径AS上作半圆ADS，再以S为圆心作相同的半圆OKH。根据物体的任意处所C作出纵标线CD，连接SD，使扇形OSK与面积ASD相等。很显然，根据命题35，该物体下落时将划过距离AC，而另一物体在相同时间内将围绕中心S匀速旋转，并划过弧OK。

证明完毕。

命题37　问题26

求从给定处所向上或向下抛出的物体上升或下落所需要的时间。（如图7-9、图7-10、图7-11）

假设物体离开给定处所G，以任意速度沿直线GS下落，设该速度与物体沿圆周匀速运动的速度（该圆以S为圆心、以给定间隔SG为半径）之比的平方为GA∶AS。如果该比值为2∶1，那么，点A则在无限远。在此情形下，可按命题34的要求，画出一抛物线，其顶点为S，轴为SG。如果该比值小于或大于2∶1，那么，根据命题33，则需在直径SA上，分别画出圆周或直角双曲线。然后，以S为圆心，以通径的一半为半径作出圆周HkK。随后，在物体起初上升或下落的处所G和任意处所C，作垂线GI、CD，交圆锥曲线或圆周于点I和D。连接SI、SD，使扇形HSK、HSk与弓形SEIS、SEDS相等，那么，根据命题35，物体G划过距离GC，与此同时，物体K则划过弧Kk。

证明完毕。

命题38　定理12

假设向心力与由中心到处所的高度或距离成正比，那么，物体下落的时间、速度以及下落所经过的距离，分别与弧、弧的正弦和正矢成正比。（如图7-12）

假设物体从任意处所A沿直线AS下落，并以力的中心S为圆心，以AS为半径，画出一个四分之一的圆AES。以CD为任意弧AD的正弦，物体A则将在时间AD内下落并经过距离AC，同时，在处所C将产生速度CD。

这可由命题10证明，就像命题32是通过命题11而得以证明一样。

推论1　物体由处所A下落到达中心S所需的时间，与另一物体绕四分之一弧ADE旋转所需的时间相等。

推论2　物体由任意处所下落到达中心所需的时间都是相等的，因为，根据命题4的推论3，所有旋转物体的周期都相等。

命题39　问题27

假设向心力的类型为任意的，而曲线图形的面积已给定，求出物体沿直线上升或下降通过不同处所时的速度，以及它到达任一处所所需的时间。或者反过来，由物体的速度和时间求处所。（如图7-13）

设物体E从任意处所A沿直线ADEC下落，再假设在处所E上有一垂线EG与该点指向中心C的向心力成正比。作一曲线BFG，该曲线为点G的轨迹。如果在运动开始处设EG与垂线AB重合，那么，物体在任意处所E的速度则将是一条直线段，该直线段的平方等于曲线面积ABGE。

证明完毕。

在EG上取EM与一直线段成反比，该直线段的平方等于面积ABGE。使VLM为一曲线，M是该曲线上的一点，AB所在直线为曲线的渐近线，则物体沿直线AE下落的时间将与曲线面积ABTVME成正比。

证明完毕。

在直线AE上取给定长度的小线段DE，设物体在D点时直线EMG所在的处所为DLF，如果向心力使一直线段的平方等于面积ABGE，并与下落物体的速度成正比，那么，该面积将与速度的平方成正比。如果在点D和E的速度分别被V、V＋I代替，那么，面积ABFD将与V2成正比，面积ABGE与V2＋2VI＋I2也成正比。由分比得，面积DFGE将与2VI＋I2成正比，因此，将与也成正比。换句话说，如果取这些量的最初比值，那么，长度DF将与量成正比，同时也与该量的一半成正比。但是，物体下落所经过的极小线段DE的时间与该线段成正比，而与速度V成反比，力则将与速度的增量I成正比，与时间成反比。因此，如果取这些量的最初比值，力则将与成正比，即与长度DF成正比，即与DF或EG成正比的力，将促使物体以与一直线的下落速度成正比的速度下落。

证明完毕。

此外，由于给定长度的极小线段DE与速度成反比。因此，它也与平方等于面积ABFD的一直线成反比。由直线DL可知，初始面积DLME将与相同直线成反比，时间与面积DLME成正比，那么，时间的总和将与所有面积的总和成正比，也就是说，根据引理4的推论，经过直线AE所需的时间将与整个面积ATVME成正比。

证明完毕。

推论1　（如图7-14）以点P作为物体下落的起点，当物体受到任意已知均匀向心力作用而在处所D获得的速度，与另一物体受任意力作用而下落到相同处所获得的速度相等。在垂线DF上截取DR，使其与DF的比，等于均匀力与在处所D同另一个力的比。作矩形PDRQ，并切割面积ABFD，使其与该矩形相等。将点A作为另一物体的处所，那么，物体将从该处所下落。由于作出矩形DRSE后，面积ABFD与面积DFGE的比为V2比2VI，即等于V比I，等于总速度的一半与物体速度增量的比。与此类似的是，面积PQRD与面积DRSE的比等于总速度的一半与物体由均匀力产生的物体速度增量的比。由于这些增量与产生它的力成正比，因此，它与纵标线DF、DR成正比，与面积DFGE、DRSE成正比，整个面积ABFD、PQRD相互间的比值与总速度的一半成正比，由于这些速度相等，它们也相等。

推论2　如果在任意处所D，将任意物体用给定速度向上或向下抛出，那么根据向心力的定律，物体在其他任意处所e的速度可按以下方法求出：

作纵标线eg，并使处所e的速度与物体在处所D的速度等于一直线，该直线的平方等于矩形PQRD。如果处所e低于处所D，则加上曲线面积DFge，如果处所e高于处所D，则再减去曲线面积DFge。

推论3　作纵标线em，使其与PQRD＋或-DFge的平方根成反比，设物体穿过直线De的时间与另一物体受均匀力作用从P点下落到D点的时间之比，等于曲线面积DLme与2PD×DL的比。因为，物体受均匀力作用沿直线PD下落的时间与相同物体穿过直线PE的时间之比，等于PD与PE的平方根比，也等于PD与PD＋DE的比，或2PD与2PD＋DE的比。由分比得，它与物体穿过极小线段DE所用时间的比，等于2PD与DE的比，也等于乘积2PD×DL与面积DLME的比，而这两个物体穿过极小线段DE所用的时间与物体沿直线De做不均匀运动所用的时间之比，等于面积DLME与面积DLme的比。在上述时间中，第一个时间与最后一个时间的比，等于乘积2PD×DL与面积DLme的比。