第6章
如何求已知轨道上物体的运动

命题30　问题22

求在任意给定时刻，运动物体在抛物线轨道上所处的位置。（如图6-1）

设S点为抛物线的焦点，A为顶点，设4AS×M等于被截下的部分抛物线面积APS，其中，APS既可是以半径SP在物体离开顶点后所划过的面积，也可是物体到达那里（顶点）之前划过的部分。现在，我们知道这块截取的面积的量与它的时间成正比。G为AS中点，作垂线GH等于3M，再以点H为圆心、HS为半径作一圆，这个圆与抛物线的交点P即为所求质量。作PO垂直于横轴，再作PH，则：

AG2＋GH2＝HP2＝（AO-AG）2＋（PO-GH）2＝AO2＋PO2-2AO×AG-2GH×PO＋AG2＋GH2，所以，2GH×PO＝AO2＋PO2-2AO×AG＝AO2＋PO2用代替AO2，再将等式除以3PO、乘以2AS，可得到：GH×AS＝AO×PO＋AS×PO＝×PO＝×PO＝面积APO-面积SPO＝面积APS。由于GH＝3M，因此，GH×AS＝4AS×M。所以，被切割的面积APS与给定面积4AS×M相等。

证明完毕。

推论1　因此，GH与AS的比，等于物体划过弧AP所需时间与物体由顶点A到焦点S处主轴垂线所截的一段弧所需时间之比。

推论2　假设一圆周ASP连续穿过运动物体P，且物体在点H处的速度与在顶点A的速度之比为3∶8，那么，直线GH与物体在相同时间以在顶点A的速度由A运动到P所画直线之比也为3∶8。

推论3　用以下方法可求出物体经过任意给定弧AP所需的时间。连接AP，在它的中点上作一垂线，然后在点H与直线GH相交。

引理28

通常用任意多有限的项和元的方程，不能求出以任意直线切割的卵形面积。

假如在卵形内任意给定一点，一直线以这点作为极点，绕它做连续、匀速的旋转运动；在该直线上，有一可动点从极点不断向外移动，移动速度等于卵形中直线长的平方。在运动过程中，该点的运动轨迹是旋转数无穷的螺旋线。如果由上述直线所切割的卵形面积可由有限方程求出，那么，与该面积成正比的从动点到极点的距离也可由相同的方程求出，则螺旋线上的所有点都可由有限方程求出，而给定位置的直线与螺旋线的交点也同样可由有限方程求出。但是，每一条无限延伸的直线与螺旋线都相交于无限数量的点，而两线的交点都可由方程解出，即方程有多少个根就有多少个交点，有多少个交点也就应该有相应多的次数。因为，两个圆周相交于两个点，用一个二次方程可以求出一个交点，用这个方程也能求出另一个交点。两个圆锥曲线可以有四个交点，任意一个交点通常只能由四次方程求出，而用四次方程可以求出所有的交点。如果分别去找每一个交点，由于定律和条件都一样，因此，不管在什么情形下，其计算结果也完全一样，这意味着，它必定同时表达了所有的交点。圆锥曲线与三次曲线的交点最多有六个，必须用六次方程才能求出。而当两条三次曲线相交，其交点最多有九个，必须用九元方程才能求出。若非如此，所有的立体问题均可简化为平面问题，包括那些维数高于立体的问题也可简化为立体问题。但是，我在这里所讨论的曲线幂次却不能降低，因为方程幂次是用来表达曲线的，一旦降低，曲线就不是一个完整曲线，而是由两条或者更多条曲线组合而成，它们的交点则可由不同的计算分别求出。同理，直线与圆锥曲线的两个交点也需用二次方程求出，而直线与三次曲线的三个交点则需用三次方程求出，直线与四次曲线的四个交点需用四次方程求出，这样可以推广到无限。由于螺旋线是简单的曲线，不能简化分为更多的曲线，因此直线与螺旋线的无数个交点，就需要用次数和根都是无限多的方程来表达，因为所有的定律和条件都是相同的。如果由极点作相交直线的垂线，且垂线与相交直线均绕极点转动，那么螺旋线的交点会相互转变，在第一次旋转之后，第一个或最近的一个交点将变为第二个，在第二次旋转之后则会变为第三个，以此类推。当螺旋线的交点在进行转变时，方程不会发生任何改变，但它对交点直线位置量的大小及其变化起着决定作用。因此在每一次的转动之后，由于这些量都变为它们初始时的大小，则方程也会变为其最初的形式，而同一个方程可表达出所有的交点，并能表示交点的无数个根。简而言之，有限方程不能求出直线与螺旋线的交点，即由直线任意切割的卵形的面积，不能用有限方程来表示。

根据相同理由，如果螺旋线极点与动点的间距与被切割卵形的边长成正比，由此说明，该边长一般不能用有限方程表示。但是，我在这里所说的卵形并不与向外无限延伸的共轭图形相切。

推论　从焦点到运动物体的半径画出的椭圆面积，不能由给定时间的有限次方程求出，也不能通过几何上的有理曲线来描绘。在这里，我之所以称这些曲线在几何上是有理的，是指上面所有的点均可由长度的方程求出，也可以说是由长度的复合比值确定。其他的曲线如螺旋线、割圆曲线、摆线等，我将它们称做几何上是无理的。它们的长度有的是整数与整数的比，有的则不是（根据欧几里得《几何原本》第十卷），在算术上称为“有理”或“无理”。因此，在接下来的方法中，我将用几何上的无理曲线分割法来对椭圆面积作分割，所分割的面积与时间成正比。

命题31　问题23

找出物体在指定时间、给定的椭圆轨道上运动所处的位置。（如图6-2）

作一椭圆APB，设A为椭圆APB的主顶点，S为焦点，O为中心，以点P作为所要求的物体的处所。延长OA至点G，使OG∶OA＝OA∶OS。作长轴的垂线GH，再以O为圆心、OG为半径作圆GEF。以直线GH为底边，设圆轮GEF绕其轴向前转动，同时，由点A作摆线ALI，完成之后，再以GK与圆轮周长GEFG的比，等于物体由A点前进划出弧AP所需的时间与绕椭圆旋转一周的时间之比。作垂线KL，交摆线于点L，再作LP平行于KG，交椭圆于点P，P点即为所要求的物体所处的位置。

证明：以点O为圆心，OA为半径作出半圆AQB，使LP延长之后交弧AQ于点Q，连接SQ、OQ。将OQ交弧EFG于点F，作OQ上的垂线SR。则面积APS与面积AQS成正比，即与扇形OQA和三角形OQS的差成正比，或与OQ×AQ和OQ×SR的差成正比，由于OQ已给定，因此，与弧AQ与直线SR的差也成正比。又因为SR与弧AQ的矢之比，OS与OA之比，OA与OG之比，AQ与GF之比，以及AQ-SR与GF-弧AQ的矢之比都相等，所以面积APS与GF和弧AQ的矢之差成正比。

证明完毕。

附注

由于要作出这条曲线比较困难，因此，在此最好采用近似求解法。（如图6-3）首先，选择一个定角B，使其与半径的对应角57.29578˚角的比，等于焦距SH与椭圆直径AB的比。再找出一个长度L，使其与半径的反比也为该比值。然后，用下列分析方法来解答这个问题：

首先，我们假设处所P接近物体真正的处所p。在椭圆的主轴上作纵标线PR，根据椭圆直径的比例，我们可以求出外切圆AQB的纵标线RQ。以AO为半径，与椭圆相交于点P，那么，该纵标线就是角AOQ的正弦。如果这个角只是由数字的近似计算求得，只要能接近于真实就可以了。假设这个角与时间成正比，那么，它与四个直角的比，则等于物体经过弧Ap所需的时间与绕椭圆一周所需时间之比。将该角设为N，另取一个角D，使其与角B的比等于角AOQ的正弦与半径的比。取角E，使其与角N-AOQ＋D之比等于长度L比L与角AOQ余弦之差。下一步，取角F，使其与角B之比等于角AOQ＋E的正弦与半径之比；再取角G，使其与角N-AOQ-E＋F等于长度L比L与角AOQ＋E的余弦之差。第三步，取角H，使其与角B的比等于角AOQ＋E＋G的正弦与半径的比；再取角I，使其与角N-AOQ-E-G＋H之比等于长度L比L与角AOQ＋E＋G的余弦之差。这样一直推广到无限。最后，取角AOq，使其等于角AOQ＋E＋G＋I＋…。由它的余弦Or和纵坐标pr（pr与它的正弦qr的比等于椭圆短轴与长轴的比），可得出物体的准确处所p。当角N-AOQ＋D为负时，那么角E前的“＋”号都应改为“-”号，且“-”号都应改为“＋”号。同样，当角N-AOQ-E＋F和角N-AOQ-E-G＋H为负时，角G和I前的符号也要作相应改变。但是无穷级数AOQ＋E＋G＋I＋…，收敛的速度很快，通常几乎不用计算到第二项E之后。用这个定理进行计算，面积APS等于弧AQ和由焦点S垂直于半径OQ的直线的差。（如图6-4）

用相似的计算方法，也可以解决双曲线中的类似问题。以其中心为O，顶点为A，焦点为S，渐近线为OK。设与时间成正比且被分割的面积的量已知，用A表示，假设直线SP的位置接近于分割面积APS。连接OP，由A和P作到渐近线的直线AI、PK，使它们与另一条渐近线平行。根据对数表，可以确定面积AIKP，并可确定面积OPA与其相等，面积OPA是从三角形OPS切下的面积，剩下的面积为APS。用2APS-2A或2A-2APS，即被分割的面积A与面积APS的差的2倍，除以过焦点S垂直于切线TP的直线SN，则可得到弦PQ的长度。如果被切割的面积APS大于被切下的面积A，弦PQ则内接于点A和P之间，如果是其他情形，则指向点P的相反一侧，而点Q就是物体所在的更准确的处所。不断重复计算，得到的结果就会越来越精确。（如图6-5）

运用上面的计算方法，可以得到解决该问题的一种普遍分析法。但是，接下来的特殊计算更适用于天文学。

设AO、OB、OD为椭圆的半轴，L为直径，D为短半轴OD与L的差，找出一个角Y，使其正弦与半径的比等于差D和AO＋OD的乘积与长轴AB平方的比。然后，找出角Z，使其正弦与半径的比，等于焦距SH和差D乘积的2倍与半长轴AO平方的3倍的比。如果找到这些角，物体的处所也就得以确定。取角T正比于画出弧BP所需的时间，或者与平均运动相等，取角V为平均运动的第一均差，使其与第一最大均差Y的比，等于2倍角T的正弦与半径的比；再取角X为第二差，使其与第二大均差Z的比，等于角T正弦的立方与半径立方的比。然后取角BHP为平均运动，如果角T小于直角，则使其等于角T、V、X的和T＋X＋V；如果角T大于一个直角而小于两个直角，则使其等于角T、V、X的差T＋X-V；如果HP交椭圆于点P，作出SP，则SP分割的面积BSP接近正比于时间。

这个方法非常简单，因为所取的角V和X的角度非常小，通常只需求到它们第一个数字前的两三位就足够了。与此相类似的是，我们还可以用这个方法来解答行星运动的问题。因为，即使是火星在轨道上的运动，其误差很少超过一秒。因此，一旦求出平均运动角BHP之后，真实运动角BSP以及距离SP也较易通过这个方法求出。

在此，我们讨论的全都是有关物体在曲线中的运动。但是，在实际生活中，我们也会遇到运动物体沿直线上升或下落的情况，现在，我接着讨论与这类运动相关的问题。