3.15　关于太阳视运动不均匀性的初步论证

如果地球以太阳为中心旋转，而太阳又位于宇宙的中心，那么，关于太阳不均匀运动的阐述，我们就需要更进一步的证实。正如我前面假设的：地球与太阳的距离在整个浩瀚无边的宇宙中显得微不足道，那么，相对于地球上任何一点，太阳的运动都可以视为是均匀的。我们就从这里着手，开始证明（见图3.11）。

令：是位于黄道上宇宙的一段弧。

太阳位于中心点C，线CD是地球到太阳的距离。宇宙的宽幅非常大。以CD为半径，作黄道同一平面内表示地心周年运动的圆圈DE。

此时，将出现上面我设定的情况：对于圆AB上任何一点，太阳看起来都在做均匀运动。接下来，我们令地球望见太阳的位置为A，地球所在的位置为D，我们画出ACD。

假设地球沿着任一圆弧运动，E为地球运动的终点，连接AE和BE。

此时，从E点看去，太阳正位于B点。AC比CD、CE要大很多，AE也会大于CE。在AC上取任意点F，并连接EF。同时，从两端点C和E分别向A引直线，两条直线都落在三角形EFC外。

根据欧几里得《几何原本》中的逆定理，∠FAE＜∠EFC。当两条直线无限延伸时，它们最终形成的∠CAE是一个非常小的锐角，几乎可以忽略不计。∠CAE是∠BCA超过∠AEC的差额。由于这一差额非常小，因此这两角近似相等，AC和AE两条线近似平行。

对于恒星天体上任一点来说，太阳似乎都在作均匀运动，就像绕中心E在作匀速运转。

然而，地心在周年运转中并不是严格地以太阳为正中心在运行，可见太阳的运动并不是均匀的。这可用两种方法加以证明：用一个中心与太阳中心不重合的偏心圆，或者用一个同心圆上的本轮[26]。

如果利用的是偏心圆，我们可证明如下：

作黄道面上的一个偏心圆ABCD，设它的中心E与太阳中心F有一段不可忽略的距离。偏心圆的直径AEFD正好穿过这两个中心（见图3.12）。

令：A为远心点[27]，即地球离宇宙中心最远的位置；D为近心点[28]，即地球距宇宙中心最近的位置。

地球在圆周ABCD上绕中心E做均匀运动时，从F点望去，它的运动就不是均匀的。取＝，作直线BE、CE、BF和CF。∠AEB＝∠CED，它们绕中心E截出了相等的圆弧。

∠CFD是一个大于∠CED的外角，同样，也大于与∠CED相等的∠AEB。而∠AEB也是一个外角，同样大于内角∠AFB。但∠CFD比∠AFB大得多。因为＝，∠CFD和∠AEB又是在相同时间内形成的，因此，绕E点的均匀运动必定也同时成为绕F点的非均匀运动。

用更简单的方法同样可以得到这个结果：距F点比距F点的距离远一些，按欧几里得《几何原本》的原理，与这些弧相截的直线AF和BF就会相应比CF和DF长一些。根据光学的知识，同样大小的物体在近处比远处看起来更大一些。因此，上述命题同样可以获证。

如果是利用同心圆上的本轮，我们同样可以证明（见图3.13）。

令：太阳所在的宇宙中心E同时也是同心圆ABCD的圆心，A为在同一平面上的本轮FG的中心。

通过中心E和中心A画直线CEAF，F是本轮的远心点，I为近心点。那么，很明显，此时A处出现的是均匀运动，而本轮FG上的运动则很不均匀。

假设：A沿着黄道十二宫的顺序向B运动，而地心从远心点沿相反方向运动。

那么，从近心点I观测，E的运动更快一些（因为A和I是同向运动）。相反，在远心点F看来，E的运动会慢一些，因为这个运动是由两个反方向运动超出的部分形成的。当地球位于G处时，它会超过均匀运动的范畴；而当它位于K处时，它达不到或者说无法构成均匀运动。这两种情况的差额可用或来表示。

由于这个差额的存在，太阳的运动看来是很不均匀的。

由于行星在本轮上运行时，它在同一面内描出的同心圆和偏心圆是相等的。因此，本轮的一切功能同样也可以由偏心圆来完成。偏心圆中心与同心圆中心的距离等于本轮的半径。这种情况很容易证明。

假设：同心圆上的本轮和本轮上的行星运行的方向相反，但所做的运转是相等的。

那么，行星的运动描出的就是一个固定的偏心圆，其远心点与近心点的位置相对不变。令：ABC为同心圆，D为宇宙中心，ADC为直径。

当本轮位于A处时，行星就位于本轮的远心点上。令此点为G，本轮的半径正好落在直线DAG上（见图3.14）。

取为同心圆的一段弧。以B为中心，AG为半径，画出本轮EF、直线DB和EB。取与相似，但方向相反。把行星或地球置于F处，并连接BF。

取AD上等于BF的线段DK。∠EBF＝∠BDA，因此，BF与DK是平行且相等的。按照欧几里得《几何原本》的论述，与平行且相等的直线连接的直线，也是平行和相等的。

∵DK＝AG，而AK是两条线段共享的附加线段，即GAK＝AKD＝KF。

∴以K为中心，KAG为半径的圆应经过F点。

由于AB与EF的共同运动，F点描出的偏心圆与同心圆相等，并且也应是固定的，因为∠EBF＝∠BDK，BF∥AD。因此，当本轮在做与同心圆相等的运转时，它所描出的偏心圆的拱点就应该保持相对不变的位置。

如果本轮中心与本轮圆周的运转并不相等，那么，行星运行时所描出的轨迹将不再是一个固定的偏心圆。而现在我们看到的是，偏心圆的中心和拱点都沿着与黄道十二宫相同或相反的方向移动，这视行星运动比其本轮中心快或慢而定（见图3.15、图3.16）。

设：∠EBF＞∠BDA，然后作∠BDM＝∠EBF。

如果在直线DM上取DL＝BF，那么，以L为中心，LMN（等于AD）为半径所作的圆就会通过行星所在的F点。

这样，行星的合成运动就会在偏心圆上描出一段弧，我们将这段弧设为。同时，偏心圆的远心点从G点开始沿与黄道十二宫相反的方向在上运动。

如果行星在本轮上的运动比本轮中心的运动慢，那么，当本轮中心运动时，偏心圆中心就会朝相反的方向，即沿黄道十二宫的方向移动。换句话说，如果∠EBF＝∠BDM，且小于∠BDA，这种情况就会出现。

可见，不管是用同心圆的本轮，还是用与同心圆相等的偏心圆，得出的结论都是太阳在做不均匀运动。只要上述的两个中心之间的距离与本轮的半径相等，这个结论就必然成立。

但也正因如此，我们反而不容易确定天体上存在的是哪一种情况。托勒密显然更倾向于偏心圆的说法。他在《天文学大成》中说：利用偏心圆论证太阳的运动存在着某种普遍的偏差，并且拱点的位置固定不变，这正是太阳的真实情况。

托勒密对月亮和其他五颗行星同样采用了这种方法，证明它们存在双重或多重不均匀运动。这种方法可以很容易得出均匀行度和视行度的差值在什么时候变得最大。当然，这只是在行星位于高、低拱点之间时出现的情况，当行星与均轮接触时，显然本轮的论证法更为适用。这也是托勒密在《天文学大成》中多次提及的。

关于偏心圆，我们还可以如下证明（见图3.17）。

令：偏心圆为ABCD，中心为E，而AEC为穿过太阳的直径。F是位于非中心位置的任意一点，过F点作BFD⊥AEC，并连接BE和ED。

又令：A为远日点，C为近日点，B和D是它们的视中点。

显然，△BEF的外角∠AEB代表均匀运动，内角∠EFB代表视运动。它们的差为∠EBF。而从圆周上任意一点与直线EF构成的角不可能大于∠EBF或∠EDF。在B点前后各取一点G和H，然后连接GD、GE、GF、HE、HF和HD。

距中心较近的FG比DF更长，∠GDF比∠DGF更大，但∠EDG＝∠EGD。因此，∠EDF＝∠EBF，且大于∠EGF。

同理可以证明，DF比FH更长，∠FHD比∠FDH更大。但因为EH＝ED，∠EHD＝∠EDH，因此，∠EDF＝∠EBF，且大于∠EHF。

那么，从任何一点引向直线EF所成的角都不大于从B、D两点与之所形成的角。因此，均匀运动与视运动的最大差值必然出现在远日点与近日点之间的视中点。