数学探秘 简便的短除法

下午自习时间，大虎愁眉苦脸地嘟囔着：“今天学习最大公因数，我觉得找最大公因数好麻烦啊！找半天才能找出来，黄花菜都凉了。”

小芳安慰道：“是有些麻烦，但这样才能体现‘最大公因数’中‘最大’‘公’和‘因数’这3个词的意义呢。”

“其实，求最大公因数我有秘密武器哦！”小阳探过头来神秘地说道，“用短除法求最大公因数超简单。”

“我在书上的‘你知道吗’版块中看到这种方法了，可是没看懂，你快给我讲讲吧！”大虎央求道。

“好吧，以求12和18的最大公因数为例给你讲。先把12和18并排写，画上‘短除号’；然后将12和18公有的质因数2作除数去除这两个数，得到的商是6和9；再用6和9公有的质因数3去除6和9，得到的商是2和3，这时2和3只有公因数1了，再除下去结果还是 2和3，这没有意义，所以短除到此为止。”

“哎，等等！”大虎说道：“只能用质因数去除吗？12和18用乘法口诀知道，它们都有因数6，可以直接用6作除数吗？”

“当然也可以，直接用6去除，一步就能找到12和18的最大公因数，只不过这样的数不容易发现。我们可以根据2、3的倍数的特征，找到两个数的最大公因数，这样做虽然步骤多了一些，但是比较容易计算。你有没有发现，12和18这两个数的最大公因数6与质因数2和3的关系？”

“咦，你一说好像还真有关系啊，2×3=6，是不是所有的短除法中质因数和最大公因数之间都有这样的关系呢？如果这个关系成立，那么找两个数的最大公因数可就简单了。”

“关系到底成不成立，我们再找两个数来试试。”小芳提议。

大虎挠了挠头说：“我们各说一个数，我说一个大一点的数45。”

“我也说一个大一点的数60，我们一起试一试，看看上面的发现是否成立。”小芳补充。

“3×5=15，15是不是45和60的最大公因数呢？我们可以用前面最基本的方法来检验一下。”

“等等，在你用短除法计算的时候，我也悄悄地用原来的方法在算呢，马上就算完，稍等一下。”大虎说道。

“啊，最大公因数还真是15呢！这个方法好，很快就能算出来了。”大虎兴奋地说，“通过对比，我还有个发现！你快帮我看看对不对。

“12和18的公因数有：1、2、3、6。”

“12和18的最大公因数6的因数有：1、2、3、6。”

“只要找到了两个数的最大公因数，将最大公因数的所有因数写出来，就是这两个数所有的公因数。再看看45和60是不是这样。”

“45和60的公因数有：1、3、5、15。”

“45和60的最大公因数15的因数有：1、3、5、15。”

“还真是这样，不像巧合，为什么呢？”

“我好像明白了，你们看，15是45和60的最大公因数，那么15的所有因数也一定是45和60的公因数。”大虎若有所思地说。

小阳高兴地说：“还真是这样，我们可以用短除法快速地找到两个数的最大公因数，然后就可以找到这两个数的所有公因数啦。”

大虎也笑开了花：“短除法还是挺不错的，我终于也有秘密武器了。”