第二节 数列极限的定义与计算

［课前导读］

极限的概念是为求某些实际问题的精确解答而产生的．有许多实际问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出的，而需要考察一个无限变化过程，由此产生了极限的理论与方法．这一节介绍数列极限的定义，怎样用定义来证明极限，以及数列极限的计算方法．在正式介绍极限的定义之前，需要回顾一下数列的相关知识．

数列{xn}：x1，x2，x3，…，xn，…，我们把这无穷多个数排成的序列称为数列，其中x1称为数列的首项，xn称为数列的第n项，或称为数列的一般项（通项）．

等差数列{xn}：公差d=xn-xn-1∈R，通项公式为xn=x1+（n-1）d，

前n项求和公式为．

等比数列{xn}：公比，通项公式为xn=x1·qn-1，

前n项求和公式为．

一、数列极限的概念

1. 数列极限的引入

一尺之棰，日取其半，万世不竭．

——《庄子·天下篇》

一尺长的木棍，每天截掉一半，每天截取的长度按照天数可排成一个数列：

数列的通项为．当n无限增大（记作n→∞，读作n趋于无穷大）时，无限接近一个确定的数0.在数学上称这个确定的数0是数列当n→∞时的极限．

解决实际问题时，经常用到极限方法．极限方法作为高等数学中的一种基本方法，很有必要做进一步详细的讨论．先看下面的4个数列．

（1）；

（2）1，3，32，…，3n-1，…；

（3）1，-1，1，…，（-1）n-1，…；

（4），

它们的一般项依次为

在几何上，数列{xn}可看作数轴上的一个动点，如图1-35所示，它依次取数轴上的点x1，x2，x3，…，xn，…．

按函数的定义，数列{xn}可看作自变量为正整数n的函数，即

xn=f（n），

它的定义域是全体正整数．当自变量n依次取1，2，3，…时，对应的函数值就排列成数列{xn}．

现在我们所关心的问题是：

（1）给定一个数列后，该数列的变化趋势如何？随着n的无限增大，xn能否无限接近某个常数？

（2）如果能无限接近某个确定的数，则该常数是多少？

可以看出，在前面所列的4个数列中，当n→∞时，数列（1）的一般项将无限接近于常数0.数列（4）的一般项将无限接近于常数1.而数列（2）的一般项xn=3n-1却在无限增大，它不接近于任何确定的数值．数列（3）的一般项xn=（-1）n-1始终交替地取值为1和-1，不接近于任何确定的数值．据此，我们可以认为，数列（1）和（4）是“有极限”的，而数列（2）和（3）是“无极限”的．

从上述各例观察可以看到，数列的一般项变化趋势有两种情况：无限接近于某个确定的常数和不接近于任何确定的常数．这样就可以得到数列的描述性定义．

如果当数列{xn}的项数n无限增大时，它的一般项xn无限接近于一个确定的常数a，则称a为数列{xn}的极限．此时也称数列{xn}收敛于a，记作，或xn→a（n→∞）．例如，.

如果当数列{xn}的项数n无限增大时，它的一般项xn不接近于任何确定的常数，则称数列{xn}没有极限，或称数列{xn}发散，习惯上记作不存在．例如，不存在．

当数列{xn}的项数n无限增大时，如果｜xn｜也无限增大，则数列{xn}没有极限．此时，习惯上也称数列{xn}的极限是无穷大，记作．例如，．

2. 数列极限的定义

在上述极限的描述性定义中，我们都是用“无限增大”和“无限接近”来描述极限概念的．为了给极限一个精确的定义，关键是要给予“无限增大”和“无限接近”以定量的刻画．

一般来说，两个数a、b的接近程度可用｜b-a｜来度量．

我们以数列{xn}：为例．

考虑，显然，n越大，xn就越“接近”1.只要n足够大，|xn-1|就可以小于任何给定的正数．如果要求，即，只要n>100，这时x101，x102，…均能使不等式成立．同样，如果要求，只要n>10 000，这时x10 001，x10 002，…均能使不等式成立．

一般地，不论给定的正数ε多么小，总存在一个正整数N，使得对于n>N时的一切n，不等式|xn-1|<ε均成立，这就是数列当n→∞时无限“接近”于1的精确刻画，这个数1就是xn的极限．

定义　设{xn}为一数列，如果存在一个常数a∈R，对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得对于n>N时的一切n，不等式|xn-a|<ε均成立，则称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记作

，或xn→a（n→∞）．

如果这样的常数a不存在，就称数列没有极限，或称数列发散．

我们用“∀”表示“任意的”，用“∃”表示“存在”，就可以用更简洁的语言来描述数列的极限．

如果∀ε>0，∃N∈Z+，当n>N时，恒有|xn-a|<ε，则．

注　（1）定义中，ε刻画了xn和a的接近程度，ε的“任意”性极其重要．只有这样，|xn-a|<ε才能体现xn和a的“无限接近”；

（2）正整数N与任意给定的正数ε有关．对于给定的ε，相应的N不是唯一的，即只要其存在，并没有要求其达到最小；

（3）由定义也可看出，{xn}的极限是否存在仅与它的发展趋势有关．只要从某项N开始，|xn-a|<ε即可，与前有限项的变化无关．

下面给出“数列{xn}的极限为a”的几何解释．

若在数轴上标出x1，x2，…，xn，…及a，再作a的ε邻域（a-ε，a+ε）（见图1-36），就会发现，当n>N时，点xn均落在（a-ε，a+ε）内，至多有有限个（N个）落在（a-ε，a+ε）外．

必须指出，数列的定义可用于验证a是数列{xn}的极限，但却无法用于求极限．

例1　已知，证明.

证明　∀ε>0，要使

即，取，则当n>N时，恒有|xn-0|<ε，故数列的极限为0，即

例2　已知，证明.

证明　∀ε>0，（不妨设ε<1，想想为什么可以这样假设．）要使

即，等式两端同时取对数，，从而，取，则当n>N时，恒有|xn-0|<ε，故数列的极限为0，即

由例2的证明可以发现，对于任意的0<|q|<1，都有.请感兴趣的读者自行证明．

二、数列极限的计算

极限的定义只能用来验证极限，而不能计算数列的极限，所以下面给出数列极限的运算法则．

定理（数列极限的运算法则）　若，则

（1）；（加减法则）

（2）；（乘法法则）

（3）；（交换法则）

（4）．（除法法则）

定理的证明见第一章第四节．

例3　求下列函数的极限：

解（1）将分子、分母同时除以n2，则有

（2）利用等差数列求和公式，可得

（3）利用数列的交换法则，可得

（4）由，可知

（5）先将分子有理化，再利用数列极限的运算法则，可得

（6）利用等比数列求和公式，可得

习题1-2

1. 下列各题中的数列{xn}，哪些收敛？哪些发散？对于收敛数列，通过观察得出数列的极限：

（1）；

（2）

（3）xn=（-1）nn；

（4）；

2. 计算下列极限：

3. 已知，求k的值．

*4. 下列说法作为a是数列{xn}的极限，哪些是对的？哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例．

（1）对于无穷多个ε>0，存在N∈Z+，当n>N时，使得不等式|xn-a|<ε成立；

（2）对于任给的ε>0，任给N∈Z+，存在n>N，使得不等式|xn-a|<ε成立；

（3）对于任给的ε>0，存在N∈Z+，当n≥N时，使得不等式|xn-a|<ε成立；

（4）对于任给的ε>0，存在N∈Z+，当n>N时，使得不等式|xn-a|<kε，k∈R+成立；

（5）对于任给的m∈Z+，存在N∈Z+，当n>N时，使得不等式成立．

*5. 下列结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，请举出反例．

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若不存在，不存在，则必不存在；

（4）若不存在，存在，则必不存在；

（5）若存在，不存在，则必不存在；

（6）若，则.