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第一章函数、极限与连续

第一节集合与函数

［课前导读］

在中学数学中，我们学习了集合和函数的概念．本节在此基础上进一步介绍函数的定义域、表达式、分类及其性质，同时给出初等函数的概念．

集合：具有某种确定性质的对象的全体称为集合（简称集），组成集合的个别对象称为集合的元素．习惯上，用大写英文字母A，B，C，…表示集合，用小写英文字母a，b，c，…表示集合的元素．a∈A表示a是集A的元素（读作a属于A），a∉A表示a不是集A的元素（读作a不属于A）．集合按照元素的个数分为有限集和无限集，不含任何元素的集合称为空集，记为Ø．

函数：设x和y是两个变量，D是一个非空数集．如果按照某个法则f，对每个数x∈D，变量y总有唯一确定的值与之对应，则称此对应法则f为定义在D上的函数，与x对应的值y称为f在x处的函数值，记作f（x），即y=f（x）．变量x称为自变量，y称为因变量．数集D称为定义域，W={y|y=f（x），x∈D}称为函数的值域．

一、集合的概念

设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素（见图1-1），则称A是B的子集，记作A⊂B（或B⊂A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）；若A⊂B且B⊃A，则称A与B相等，记作A=B；对于任何集合A，规定Ø⊂A．

图1-1

在本书中，我们把自然数的全体组成的集合称为自然数集，记作N．由整数的全体构成的集合称为整数集，记为Z．用Q表示全体有理数构成的有理数集，R表示全体实数构成的实数集．显然有N⊂Z⊂Q⊂R．

一般地，如果是正整数集，则记为Z+，负整数集记为Z-，以此类推．

注　在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集．

1. 集合及其运算

集合的基本运算有四种：交、并、差、补．

设A，B是两个集合．

由同时包含于A与B的元素构成的集合（见图1-2），称为A与B的交集（简称交），记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}；

图1-2

由包含于A或包含于B的所有元素构成的集合（见图1-3），称为A与B的并集（简称并），记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}；

图1-3

由包含于A但不包含于B的元素构成的集合（见图1-4），称为A与B的差集（简称差），记作A＼B，即A＼B={x|x∈A且x∉B}；

图1-4

特别地，若我们所讨论的问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为U）中进行，集合A是U的子集（见图1-5），此时称U＼A为A的余集（或补集），记作CUA或AC．

图1-5

关于集合的余集，我们有如下性质．

性质1（对偶性质）　设U是一个基本集，A，B是它的两个子集，则

（1）（A∪B）C=AC∩BC；

（2）（A∩B）C=AC∪BC．

除了集合的四种基本运算，我们还可以定义两个集合的乘积．

设A，B是两个非空的集合，则由有序数对（x，y）组成的集合

A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}

称为A与B的直积．

例如，设A={x｜0≤x≤1}，B={y｜0≤y≤2}，则A×B={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤2}，如图1-6所示．

图1-6

R×R={（x，y）|x，y∈R}即为xOy面上全体点的集合，R×R常记作R2

2. 区间

区间是高等数学课程中用得较多的一类数集．设a和b都是实数，且a<b，数集{x|a<x<b}称为开区间，记作（a，b）（见图1-7），即

（a，b）={x|a<x<b}．

a和b称为开区间（a，b）的端点，其中a为左端点，b为右端点，且a∉（a，b），b∉（a，b）．

图1-7

类似地，数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作［a，b］（见图1-8），即

［a，b］={x|a≤x≤b}．

图1-8

a和b也称为闭区间［a，b］的端点，且a∈［a，b］，b∈［a，b］．

数集{x|a≤x<b}及{x|a<x≤b}称为半开区间，分别记作［a，b）和（a，b］（见图1-9和图1-10）．

图1-9

图1-10

以上这些区间都称为有限区间，数b-a称为这些区间的长度．从数轴上看，这些区间是长度为有限的线段．

此外，对于这样的集合：{x|x≥a}，{x|x>a}，{x|x≤b}，{x|x<b}，我们引进记号+∞（读作正无穷大）及-∞（读作负无穷大），则可用类似于有限区间的记号来表示无限的半开区间或开区间：

［a，+∞）={x|x≥a}，

（a，+∞）={x|x>a}，

（-∞，b］={x|x≤b}，

（-∞，b）={x|x<b}．

这些区间在数轴上表示长度无限的半直线，如图1-11～图1-14所示．

图1-11

图1-12

图1-13

图1-14

全体实数的集合R也记作（-∞，+∞），它也是无限的开区间．

以后如果不需要辩明所讨论的区间是开区间还是闭区间，是有限区间还是无限区间，我们就简单地称其为区间，用 “I”代表各种类型的区间．

3. 邻域

设a与δ为两个实数，且δ>0，数集{x｜|x-a|<δ}称为点a的δ邻域，记作U（a，δ），即

U（a，δ）={x｜|x-a|<δ}，

其中a称作U（a，δ）的中心，δ称作U（a，δ）的半径．

在数轴上，|x-a|表示点x与点a的距离，因此点a的δ邻域U（a，δ）={x｜|x-a|<δ}在数轴上就表示与点a的距离小于δ的点x的全体．由于|x-a|<δ等价于-δ<x-a<δ，即a-δ<x<a+δ，所以

U（a，δ）={x|a-δ<x<a+δ}．

因此，U（a，δ）也就是开区间（a-δ，a+δ）（见图1-15）．显然，这个开区间以点a为中心，长度为2δ．

图1-15

有时用到的邻域需要将邻域中心去掉（见图1-16），点a的δ邻域去掉中心a后，称为点a的去心δ邻域，记作，即

图1-16

这里，0<|x-a|就表示x≠a．

为了方便，有时将开区间（a-δ，a）称为a的左邻域，而将开区间（a，a+δ）称为a的右邻域．

如果不强调半径，以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U（a）．

二、常用函数

1. 基本初等函数

中学时我们已经学过的许多函数，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等，统称为基本初等函数．这些函数在高等数学课程中也将大量出现，我们在这里复习一下中学学过的相关知识，便于我们开始高等数学的学习．

（1）幂函数：y=xα（α是常数）

当α∈Z+时，y=xα的定义域是R；当α∈Z-时，y=xα的定义域是R＼{0}（见图1-17）．

图1-17

当的定义域是［0，+∞）；当的定义域是（0，+∞）．幂函数的最小定义域是（0，+∞）．

（2）指数函数：y=ax（a>0，a≠1）

如图1-18、图1-19所示，由于对任意x，ax>0，且a0=1，故指数函数的图像在x轴的上方，且通过点（0，1）．

当a>1时，y=ax是单调增加函数；当0<a<1时，y=ax是单调减少函数．

以e=2.718 281 8…为底的指数函数记为y=ex，在工程技术上经常用到这个指数函数．

图1-18

图1-19

（3）对数函数：y=logax（a>0，a≠1）

对数函数y=logax（a>0，a≠1）的定义域是（0，+∞），其图像位于y轴的右方且通过点（1，0）．当a>1时，y=logax是单调增加函数（见图1-20）；当0<a<1时，y=logax是单调减少函数（见图1-21）．当a=e时的对数函数记为y=lnx，称为自然对数函数．

图1-20

图1-21

对数具有以下运算性质：对任意的x，y∈R+，a>0，a≠1，b∈R，

（ⅰ）logax+logay=logaxy；

（ⅱ）；

（ⅲ）logaxb=blogax．

y=logax和y=ax互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称，且有．进一步，我们在以后的计算中经常会用到

（4）三角函数

正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx，正切函数y=tanx，余切函数y=cotx，正割函数y=secx和余割函数y=cscx统称为三角函数．

y=sinx的定义域是R，值域是［-1，1］，最小正周期是2π，它是奇函数（见图1-22）；

图1-22

y=cosx的定义域是R，值域是［-1，1］，最小正周期是2π，它是偶函数（见图1-23）；

图1-23

y=tanx的定义域是，值域是（-∞，+∞），最小正周期是π，在定义域上是奇函数（见图1-24）；

图1-24

y=cotx的定义域是{x|x≠kπ，k=0，±1，±2，…}，值域是（-∞，+∞），最小正周期是π，它是奇函数（见图1-25）；

正割、余割函数与余弦、正弦函数的关系式为

图1-25

（5）反三角函数

定义1　在区间上的正弦函数y=sinx的反函数记作y=arcsinx，定义域为［-1，1］，值域为，称为反正弦函数（见图1-26）；

图1-26

定义2　在区间［0，π］上的余弦函数y=cosx的反函数记作y=arccosx，定义域为［-1，1］，值域为［0，π］，称为反余弦函数（见图1-27）；

图1-27

定义3　在区间上的正切函数y=tanx的反函数记作y=arctanx，定义域是（-∞，+∞），值域为，称为反正切函数，在整个定义域上是单调递增函数（见图1-28）；定义在区间（0，π）上的余切函数y=cotx的反函数为y=arccotx，定义域是（-∞，+∞），值域为（0，π），称为反余切函数，在整个定义域上是单调递减函数（见图1-29）．