导论

为什么要学习数学

数学与人类文明一样古老，有文明就一定有数学．数学在其发展的早期就与人类的生活及社会活动有着密切的关系，解决着各种各样的问题：食物、牲畜、工具以及其他生活用品的分配与交换，房屋、仓库的建造，丈量土地，兴修水利，编制历法等．随着数学的发展和人类文明的进步，数学的应用逐渐扩展到更一般的技术和科学领域．从古希腊开始，数学就与哲学建立了密切的联系．近代以来，数学又进入了人文科学领域，并使人文科学的数学化成为一种强大的趋势．

当今社会，数学的发展，计算机技术的广泛应用，可以说数学的足迹已经遍及人类知识体系的全部领域．从卫星到核电站，高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点，无不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的控制来实现的．产品、工程的设计与制造，产品的质量控制，经济和科技中的预测和管理，信息处理，资源开发和环境保护，经济决策等，无不需要数学的应用．数学在现代社会中有许多出人意料的应用．在许多场合，它已经不再单纯是一种辅助性的工具，而是已成为许多重大问题的关键性的思想与方法．由此产生的许多成果，又悄悄地遍布在我们身边，改变着我们的生活方式．可以说，数学对现代社会已产生了深远的影响，我们生活在数学的时代．数学对社会发展的影响，一方面说明了数学在社会发展中的地位和作用，另一方面也反映出在未来社会中，社会的主体——人在数学方面所应具备的素养和素质．

如何学好数学

无论是柴米油盐，还是乘车旅游、建房造楼，抑或是神十上天，生活中处处充满着数学．一个人从呱呱坠地开始，数学就伴随他的一生，有哪一刻能够离开数学呢？数学如此重要，可也有人一提数学脑袋都疼．那么，怎样才能学好数学呢？

1. 充分认识学习数学的重要性和必要性

当今世界，数学已成为最重要的工具．从幼儿园到小学，从初中到高中、到大学，无论是升学考试，还是工作求职，三百六十行，数学都是必考科目，也是每个人必须掌握的一门基础课和技能工具．不学好数学能行吗？

2. 兴趣是最好的老师

要想学好数学，首先要把学习数学当成一件快乐的事，对数学感兴趣，对数学老师有好感．古人云，“亲其师，然后信其道”．试想：一个学生对他的老师没有好感，甚至对数学老师很反感，他怎么能够学好数学，他的数学水平如何能够提高？可是，对数学老师没有好感怎么办？从容忍数学老师的缺点开始培养好感吧！比如，老师讲话声音不动听，有时很生硬，我们就想想：老师在我上课昏昏欲睡的时候总是和蔼地提醒我集中注意力，让我认真听讲．当作业本发下来时总是发现老师在我的作业本上打了很多错号和问号，同学们会笑话我学习不好，让我很难堪，这时可以这样想想：如果老师改作业时对我的错误视而不见，甚至还给我打上对号，那我不是在错误的路上越走越远吗？良药苦口利于病，忠言逆耳利于行．老师对我多好啊，我一定要好好学习，报答老师！

3. 坚定信心，相信自己能学好数学

伟大的发明家爱迪生曾说过：“天才是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感．”做任何一件事，都必须付出努力．没有什么事是一帆风顺的，数学是科学．学习的过程中免不了要遇到这样或那样的困难，只要迎难而上，找到问题的症结，就能克服困难，勇往直前．世上无难事，只要肯登攀！

4. 认真是学好数学的基础

如果你欺骗了别人，最终会被别人所骗．无论是学习新课还是复习旧课，无论是单元测试还是试卷讲评，都要认真对待，上好每一节课和每一个晚自习；按照老师的要求认真做好每一道题，即使做错了，经过自己痛苦思考得到的教训和经验也会更加宝贵．

5. 独立思考，使自己的大脑更灵活

有一句名言：“数学是思维的体操”．做题时养成独立思考的好习惯，而不是一遇到问题就去找别人．学习数学是一件非常快乐的事，经过自己深思熟虑之后得到问题的答案，会比任何奖赏都好，也会体验到学习数学的无穷乐趣．

6. 科学的学习方法是学好数学的保证

学生的学习大部分是在学校进行的，要学好数学，除了坚定信心，培养兴趣外，还必须有一套科学的学习方法．

（1）课前充分准备，带着问题上课．做好课前预习，对不懂的问题做出笔记或标记，上课前准备好本节课需要用到的资料和学具（课本、笔记本、练习本、草稿本、试卷、铅笔、红蓝钢笔和作图工具等），认真听老师讲本节课的重点和自己的难点，紧跟老师的思路，重难点问题简要做好笔记，这样会收到事半功倍的效果．

（2）课后整理笔记．应重点整理上节课老师主要讲了什么、我的问题是怎么解决的、学到了哪些好的方法．不清楚的问题，课后及时找老师或学习好的同学讨论解决．

（3）完成作业要及时、认真．作业是老师检验一节课的教学效果的重要手段，通过作业反馈的信息，老师可以随时调整教学计划．通过写作业可以对当天所学知识及时加以强化和巩固，如果总是拖拉作业，不但自己的学习效果差，还会影响老师对下节课的教学安排．

（4）梳理知识、形成网络．数学的逻辑性很强，一个单元学习完成后，要及时梳理所学知识，使之形成网络，而课本上的章节目录就是很好的参考．

（5）考后反思很重要，用好纠错本．对于自己在作业和考试中成功的经验要及时总结，做出笔记，便于今后学习查阅；对于失败和错误的解题方法要认真加以分析，找出出错的具体原因（比如，是符号的笔误，还是规则用错；是知识盲点，还是步骤省略太多……），写出避免再犯类似错误的解决方案并加以纠正．

（6）不断总结好的解题方法，提高解题技巧．一个好的解题方法，可以在做题时举一反三，触类旁通，提高解题效率．因此，在学习中发现了好的解题方法，可以利用记忆卡及时记下来，便于今后分类整理和学习．

不管学习什么科目、使用什么方法和技巧，最关键的还是“认真”二字．

数学思想方法

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上，两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题．两者通常混称为“数学思想方法”．常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合．

1. 函数与方程

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．

笛卡儿的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界充斥着等式和不等式．哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的；不等式问题也与方程是近亲，密切相关．列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的．

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，进行研究．它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点．一般地，函数思想是构造函数，从而利用函数的性质解题，经常利用的性质有f（x）的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等．要求学生熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性．在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键．对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型．另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题．

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性上都有一定的要求．应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决．

2. 等价转化

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题．历年高考中，等价转化思想无处不见．不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧．转化有等价转化与非等价转化．等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才能保证转化后的结果仍为原问题的结果．非等价转化，其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口．在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确．

著名的数学家、莫斯科大学教授C. A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表题为《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解的题转化为已经解过的题”．数学的解题过程，就是从未知到已知、从复杂到简单的化归转换过程．

等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性．在应用等价转化的思想方法解决数学问题时，没有一个统一的模式．它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；也可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；还可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形．消去法、换元法、数形结合法、求值、求范围问题等，都体现了等价转化思想．我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化．可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变．由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免生搬硬套题型．

在数学操作中实施等价转化时，要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把遇到的问题通过转化，变成比较熟悉的问题来处理；或者将较为烦琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等；或者将比较难以解决、抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化．按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟．经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力．

3. 分类讨论

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略．它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置．

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面．

①问题所涉及的数学概念是分类进行定义的．如｜a｜的定义分a＞0、a=0、a＜0三种情况．这种分类讨论题型可以称为概念型．

②问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的．如等比数列的前n项和的公式，分q=1和q≠1两种情况．这种分类讨论题型可以称为性质型．

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论．如解不等式ax＞2时，分a＞0、a=0和a＜0三种情况讨论．这称为含参型．

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性．

进行分类讨论时要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学划分，分清主次，不越级讨论．其中最重要的一条是“不漏不重”．

解答分类讨论问题的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；然后对所分的类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论．

4. 数形结合

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学．”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一．华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化．它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：一是彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论，既分析其几何意义，又分析其代数意义；二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；三是正确确定参数的取值范围．

数学中的知识，有的本身就可以看作数形的结合．比如，锐角三角函数的定义是借助直角三角形来定义的，任意角的三角函数是借助直角坐标系或单位圆来定义的．