12.4　极限的运算法则

本节重点知识：

1.极限的运算法则.

2.运用极限的运算法则求函数极限.

定理　如果当x→x0时f（x）和g（x）的极限都存在，且，，则

例1　求下列极限：

例2　求（1）；　　（2）.

解　（1）x→3时，分子、分母的极限都是零，所以商的极限的运算法则不能应用，但是

分子、分母有公因式（x-3），在求x→3的极限时，要求x≠3，所以x-3≠0，

（2）这个极限与（1）类似，x→0时，分子、分母的极限都是零，所以商的极限的运算法则不能应用，但是分母有理化之后

分子、分母有公因式x，求x→0的极限时，要求x≠0，从而

例3　求.

解　x→1时，分母的极限为零，分子的极限是-1，商的极限的运算法则不能应用，但其倒数的极限

利用无穷小与无穷大的关系可知 .

想一想

如下写法是否正确？

例4　求下列极限：

解　（1）先用x3去除分子及分母，然后取极限

（2）先用x3去除分子及分母，然后取极限

（3）由（2）可知

讨论：有理函数怎样求极限？能得出那些结果？写出你的结论

例5　求.

解　当x→∞时，分子及分母的极限都不存在，故商的极限的运算法则不能应用，因为，而

利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，得 .

注意

（1）运用极限运算法则时，只有各项极限都存在（除式还要分母不为零）才适用；

（2）如果所求极限呈现 或 等形式，不能直接用极限运算法则，必须先对原式进行恒等变形（约分、通分、有理化、变量代换等），然后再求极限；

（3）利用无穷小的性质以及无穷小与无穷大的关系求极限.

想一想

如下写法是否正确？

例6　求，设函数

解　求x→1的极限时，要求x≠1，所以

例7　如果，求

解　因为当x>4时，，所以；而当x<4时，f（x）=8-2x，所以；左、右极限存在且相等，所以.

例8　求.

解　，，左、右极限不相等，所以不存在.