2.10　应用微分关系直接绘制剪力图与弯矩图

应用微分关系绘制剪力图和弯矩图的过程与应用方程画图的过程基本相似，所不同的是，不是根据剪力方程和弯矩方程画出控制面之间的图形，而是根据梁上有没有分布载荷，判断控制面之间剪力图和弯矩图的大致形状，不写方程直接画出剪力图和弯矩图。下面举例说明。

【例题2-6】　图2-15（a）所示梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外伸梁（overhanding beam）。外伸梁的受力以及各部分的尺寸如图2-15所示。试画出梁的剪力图与弯矩图，并确定剪力和弯矩绝对值的最大值：∣FQ∣max和∣M∣max。

解：1.确定约束力

根据梁的整体平衡，由

∑MA=0，　∑MB=0

可以求得A、B二处的约束力

方向如图2-15（a）中所示。

2.建立坐标系

建立FQ-x和M-x坐标系，分别如图2-15（c）、图2-15（d）所示。

3.确定控制面及控制面上的剪力和弯矩值

由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的C截面，以及集中力qa左侧的D截面，也都是控制面。

应用平衡方法，求得A、B、C、D四个控制面上的FQ、M数值分别为

C截面：FQ=-qa，M=qa2

D截面：FQ=-qa，M=0

将这些值分别标在FQ-x和M-x坐标系中，便得到a、b、c、d各点，如图2-15（c）、图2-15（d）所示。

4.根据微分关系连图线

对于剪力图，在AB段，有分布力作用，根据dFQ（x）/dx=q（x），剪力图为一斜直线，因此，连接A、B两分段点剪力FQ的数值，即得AB段的剪力图；在CD段，无分布力作用，故剪力图为平行于x轴的直线。

对于弯矩图，在AB段，因有分布力作用，根据d2M/dx2=q（x），图形为二次抛物线。又因为q向下为负，所以，d2M/dx2<0，故图形为向上凸的（凸向M坐标的正方向），这样在AB段弯矩图的曲线形状便可大致确定。此外在FQ=0处，有dM（x）/dx=FQ（x）=0，所以此处为抛物线顶点。

因此，根据A、B两截面和剪力为零处的弯矩数值即可画出这一段的弯矩图。而CD段的弯矩图则依然为一条直线。

为求FQ=0处的弯矩值，必须先确定FQ（x）=0处的位置。为此假定该截面到左端的距离为x，则从该截面截开，以左边部分为平衡对象，因为截面上剪力等于零，只有弯矩作用，于是根据平衡方程，有

由此解出

然后，根据平衡方程

∑MA=0

即可求得最大弯矩作用截面上的弯矩，即

于是，从图2-15中可以得到剪力和弯矩绝对值的最大值分别为

5.本例讨论

注意到在右边支座处，由于约束力的作用，该处剪力图有突变（支座两侧截面剪力不等）弯矩图在该处出现折点（弯矩图的曲线段在该处的切线斜率不等于斜直线cd的斜率）。