2.7　梁的剪力方程与弯矩方程

一般受力情形下，梁内剪力和弯矩将随横截面位置的改变而发生变化。描述梁的剪力和弯矩沿长度方向变化的代数方程，分别称为剪力方程（equation of shearing force）和弯矩方程（equation of bending moment）。

为了建立剪力方程和弯矩方程，首先必须建立Oxy坐标系，其中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁的左端，x坐标轴的正方向自左向右，y坐标轴铅垂向上。

建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外力（包括载荷和约束力）作用状况，确定控制面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪力方程和弯矩方程。

确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假设这一横截面的坐标为x；然后从这一横截面处将梁截开，并假设所截开的横截面上的剪力FQ（x）和弯矩M（x）都是正方向；最后分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ（x）和弯矩M（x）的表达式，这就是所要求的剪力方程和弯矩方程。

这一方法和过程实际上与前面所介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的，所不同的是，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。

注：需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量，而FQ（x）和M（x）则是x的函数。

【例题2-3】　图2-11（a）所示为一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称为简支梁（simple supported beam）。梁上承受集度为q的均布载荷作用，梁的长度为2l。试写出该梁的剪力方程和弯矩方程。

解：1.确定约束力

因为只有铅垂方向的外力，所以支座A的水平约束力等于零。又因为梁的结构及受力都是对称的，故支座A与支座B处铅垂方向的约束力相同。于是，根据平衡条件不难求得

FA=FB=ql

2.确定控制面和分段

因为梁上只作用有连续分布载荷（载荷集度没有突变），没有集中力和集中力偶的作用，所以，从A到B梁的横截面上的剪力和弯矩可以分别用一个方程描述，因而无须分段建立剪力方程和弯矩方程。

3.建立Axy坐标系

以梁的左端A为坐标原点，建立Axy坐标系，如图2-11（a）所示。

4.确定剪力方程和弯矩方程

以A、B之间坐标为x的任意截面为假想截面，将梁截开，取左段为研究对象，在截开的截面上标出剪力FQ（x）和弯矩M（x）的正方向，如图2-11（b）所示。由左段梁的平衡条件可得

∑Fy=0，FRA-qx-FQ（x）=0

据此，得到梁的剪力方程和弯矩方程分别为

FQ（x）=FRA-qx=ql-qx　（0<x<2l）

这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的二次函数。

5.本例讨论

通过本例的分析可以看出，简支梁的全梁上作用有集度相同的载荷，亦即载荷左右对称。这种情形下，左右支承处具有相同的约束力，根据这种直观判断，可以直接确定约束力，而无须通过平衡分析。在以后的分析中，还会直接根据直观判断确定约束力的情形。对于这种情形，可以将判断结果直接标在梁的受力图上。

【例题2-4】　悬臂梁在B、C二处分别承受集中力FP和集中力偶M=2FPl作用，如图2-12（a）所示。梁的全长为2l。试写出梁的剪力方程和弯矩方程。

解：1.确定控制面与分段

由于梁在固定端A处作用有约束力、自由端B处作用有集中力、中点C处作用有集中力偶，所以，截面A、B、C均为控制面。因此，需要分为AC和CB两段建立剪力和弯矩方程。

2.建立Axy坐标系

以梁的左端A为坐标原点，建立Axy坐标系，如图2-12（a）所示。

3.建立剪力方程和弯矩方程

在AC和CB两段分别以坐标为x1和x2的横截面将梁截开，并在截开的横截面上，假设剪力FQ（x1）、FQ（x2）和弯矩M（x1）、M（x2）都是正方向，然后考察截开的右边部分梁的平衡，由平衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。

AC段：由平衡方程

∑Fy=0　　FQ（x1）-FP=0

∑M=0　　-M（x1）+M-FP×（2l-x1）=0

解得

FQ（x1）=FP　　（0<x1≤l）

M（x1）=M-FP（2l-x1）=2FPl-FP（2l-x1）=FPx1　　（0≤x1<l）

CB段：由平衡方程

∑Fy=0　　FQ（x2）-FP=0

∑M=0　　-M（x2）-FP×（2l-x2）=0

得到

FQ（x2）=FP　　（l≤x2<2l）

M（x2）=-FP（2l-x2）　（l<x2≤2l）

上述结果表明，AC段和CB段的剪力方程是相同的；弯矩方程则不同，但都是x的线性函数。

此外，需要指出的是，本例中，因为所考察的是截开后右边部分梁的平衡，与固定端A处的约束力无关，所以无须先确定约束力。