第二章 管理会计方法基础

第一节 货币时间价值

一、货币时间价值概述

（一）货币时间价值的含义

货币时间价值是指一定量的资金在不同时点上价值量的差额。货币时间价值来源于资金在运动过程中，经过一定时间的投资与再投资后产生的增值。

货币时间价值在商品经济中是十分普遍的。例如，在不存在风险和通货膨胀的情况下，某人将1元存进银行，假设年利率为10%，则在一年后此人从银行能够取得本息1.1元。这就说明1年前的1元经过投资（存入银行）产生了增值（增值了0.1元），这部分的增值额便是货币时间价值。

货币时间价值有两种表达形式：相对数和绝对数。相对数，即时间价值率，是指没有风险和通货膨胀条件下的社会平均资金利润率，通常可以用国库券利率来代替。例如，上述例子中的存款利率10%。绝对数，即时间价值额，是资金在生产过程中带来的绝对增值额。例如，上述例子中的年利息0.1元。

（二）货币时间价值的相关概念

1．现值和终值

现值又称为本金，是指未来某一时点上的一定量的资金折合为现在资金的价值。

终值又称为本息和，是指现在一定量的资金折合为未来某一时点上的价值。

2．复利和单利

复利是指不仅本金计算利息，还对利息计算利息的一种计算利息的方式，即俗称的“利滚利”。单利是指按照固定的本金计算利息的一种计息方式。按照单利的计算方法，只有本金在贷款期间中获得的利息，不管时间长短，产生利息均不得加入本金重复计算利息。

3．年金

年金是指在一定时期内每间隔相同时期等额收付的系列款项。根据发生时点的不同，年金分为普通年金、预付年金、递延年金、永续年金四种。在提及年金概念的时候，我们需要注意两个问题：一是每期的金额和间隔时间是相等的；二是期数必须两期（包括两期）以上。

在现代管理会计中，财务估价一般都按照复利计息方式计算资金的时间价值。在本书中，如果题目没有特别强调，则需要采用复利方式进行计算。为了计算方便，在本书中相关符号的含义如下：F表示终值，P表示现值，I表示利息，i表示利息率（折现率）, n表示计算利息的期数，A表示年金。

二、单利终值和现值

（一）单利终值

在单利计息方式下，终值与现值的关系如下：

第1年年末的终值 =P+P×i=P（1 +i）

第2年年末的终值 =P+P×i+P×i=P（1 + 2i）

第3年年末的终值 =P+P×i+P×i+P×i=P（1 + 3i）

……

因此，单利终值的一般计算公式如下：

【例2-1】小张于今年1月1日将1元存入银行，年利率为10%，从第1年到第3年，各年年末的终值计算如下：

第1年年末的终值=1×（1+1×10%）=1.1（元）

第2年年末的终值=1×（1+2×10%）=1.2（元）

第3年年末的终值=1×（1+3×10%）=1.3（元）

（二）单利现值

由于单利现值和单利终值互为逆运算，因此单利现值的计算公式如下：

【例2-2】小张打算于第3年年末从银行取得1000元的收入，年利率为10%，则第1年年初应存入多少元？

三、复利终值和现值

（一）复利终值

复利终值是指若干时期后包括本金和利息在内的未来价值，即本利和。

复利终值的计算公式推导如下：

1年后的终值 =F=P+P×i=P（1 +i）

2年后的终值 =F=[P（1 +i）]×（1 +i）=P×（1 +i）2

3年后的终值 =F=[P（1 +i）2]×（1 +i）=P×（1 +i）3

同理可推，第n年后的终值：

式2-3是复利终值的一般计算公式，其中（1+i）n称为复利终值系数或1元的复利终值，用符号（F/P, i, n）表示。例如，（F/P,10%,3）表示利率为10%、期数为3的复利终值系数。为了方便计算，复利终值系数可查复利终值系数表获得。

【例2-3】张先生把闲置的100000元存入银行，若银行利率为10%,5年后张先生可以一次性从银行取得多少钱？

F=P×（1 +i）n=P×（F/P, i, n）

=100000 ×（F/P,10%,5）=100000 × 1.6105 =161050（元）

（二）复利现值

复利现值是指未来某一时点的特定资金按照复利计算方法，折算到现在的价值，或者说是为了取得将来一定本利和，现在所需要的本金。

复利现值的计算公式可以由复利终值的计算公式推导得出：

式2-4中，（1 +i）-n称为复利现值系数或1元复利现值，用符号（P/F, i, n）表示。例如，（P/F,10%,3）表示利率为10%、期数为3的复利现值系数。为了方便计算，复利现值系数可查复利现值系数表获得。

【例2 -4】张先生想在5年后存够100000元购买汽车，若银行年利率为10%，问张先生现在应一次性存入多少钱？

P=F×（1 +i）-n=F×（P/F, i, n）

=100000 ×（P/F,10%,5）=100000 × 0.6209 =62090（元）

四、年金终值和现值

（一）普通年金终值和现值

1．普通年金终值

普通年金也称为后付年金，每期的金额均发生在每期期末。普通年金终值简称年金终值，是指年金系列中每一笔金额在第n年年末的复利终值之和。

假设每年年末支付的相等金额A，利率为i，期数为n。其计算原理如图2-1所示。

根据复利终值的计算原理，年金终值的计算公式推导如下：

①等式两边同时乘于（1 +i），可得：

① -②，可得：i×F=A（1 +i）n-A

经过整理可得：

式2-5中，称为年金终值系数，记为（F/A, i, n），其含义是在已知A, i和n的条件下求F所用的系数。因此，年金终值公式又可以表示为：

【例2-5】小张是位热心公益事业的人，他自2010年年末起，每年都向一位家庭困难的大学生捐款，每次捐款的金额均为4000元，以帮助受捐助大学生完成4年的大学教育。假定每年定期存款利率为10%，则小王4年所捐助的款项相当于2013年年底的本息和为多少？

2．偿债基金

偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔到期债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。同时需要注意的是存款的准备金均在每期期末存入。由于每次存入的金额相同，而且在每期期末存入，可以将其看成年金A；每次准备的存款是在未来偿还的，可以将其看成年金终值F。由此可见，年偿债基金与年金终值互为逆运算。偿债基金的公式为：

式2-7中，称为偿债基金系数，记作（A/F, i, n），其表示的含义是，在已知F, i和n的条件下计算A的系数。由于年偿债基金系数和年金终值系数互为倒数。因此，偿债基金的计算公式又可以表示为：

【例2-6】小张准备在5年后购买一辆20万元的汽车，她计划从现在起每年年末存入一笔款项。假设年利率为10%，那么她每次应存入多少钱才可以实现她的购车计划？

3．普通年金现值

普通年金现值是指将在一定时期内按照相同时间间隔在每期期末收入或支付的相等金额折算到第一期期初的现值之和。其计算原理如图2-2所示。

根据复利现值的方法计算普通年金现值的公式如下：

①式两边同时乘以（1 +i），可得：

② -①，可得：P·i=A[1 -（1 +i）-n]

整理可得：

式2-9中，称为普通年金现值系数，记为（P/A, i, n），其含义是在已知A, i和n的条件下求P所用的系数。因此，年金现值公式又可以表示为：

【例2-7】华太公司拟进行一项投资，项目于2018年年初动工，假设项目当年投产，从投产之日起每年年末可得收益50000元。假设年利率为8%，计算10年收益的现值。

4．年资本回收额

年资本回收额是指在约定年限内等额回收初始投资额或清偿所欠债务的金额。由于每次回收或偿还的金额相同，而且是在每期期末发生的，可以将其视同年金A；回收的是初始投资额或债务，可以将其视同年金终值P。由此可见，年资本回收额与年金现值互为逆运算。年资本回收额的公式为：

式2-11中，称为年资本回收额系数，记为（A/P, i, n），其表示的含义是在已知P, i和n的条件下计算A。由于年资本回收额系数和年金现值系数互为倒数，因此年资本回收额的计算公式又可以表示为：

【例2-8】华太公司拟投资2000万元的项目，假设投资报酬率为10%，华太公司要求在10年内回本，则该企业在10年内每年年末收回多少万元才能收回全部的投资额？

（二）预付年金终值和现值

预付年金又称为先付年金，是指在一定的时期内，每期期初等额的系列收付款项。

1．预付年金终值

预付年金终值是指一定时期内每期期初等额收付的系列款项的终值。其计算原理如图2-3所示。

从图2-3中可以看到，预付年金终值和普通年金终值相比，计算的期数增加了1期，即原来普通年金每期的A均需要再计算多一期的利息。因此，预付年金终值的计算公式可以在普通年金终值的计算公式的基础上乘以（1+i）。其公式如下：

【例2-9】陈先生为了供女儿上大学而准备资金，连续10年于每年年初存入银行5000元。若银行的存款利率为5%，则陈先生在第10年年末一次性能够取出多少本利和？

F=A（F/A, i, n）（1 +i）=5000 ×（F/A,5%,10）×（1 + 5%）

=5000 × 12.5779 × 1.05 =66033.98（元）

或者：

F=A[（F/A, i, n+ 1）- 1]=5000 ×[（F/A,5%,10 + 1）- 1]

=5000 ×（14.2068 - 1）=66034（元）

2．预付年金现值

预付年金现值是指一定时期内每期期初等额收付的系列款项的现值。其计算原理如图2-4所示。

从图2-4中可以看到，预付年金现值和普通年金现值相比，计算的期数减少了1期，即原来普通年金每期的A均需要少算一期的利息。因此，预付年金现值的计算公式可以在普通年金现值的计算公式的基础上乘以（1 +i）。其公式如下：

【例2-10】陈先生选择分期付款方式购车，付款期限为5年，每年年初付款50000元。假设银行利率为4%，该项分期付款相当于现在一次性付款的买价是多少？

P=A（P/A, i, n）×（1 +i）=50000 ×（P/A,4%,5）×（1 + 4%）

=50000 × 4.4518 × 1.04 =231493.6（元）

或者P=A[（P/A, i, n - 1）+ 1]=50000 ×[（P/A,4%,5 - 1）+ 1]

=50000 ×（3.6299 + 1）=231495（元）

（三）递延年金终值和现值

递延年金又称为延期年金，是指在最初的若干期没有收付款项的情况下，后面若干期每期期末有等额的系列收付款项。递延年金是后付年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的后付年金都是递延年金。其中，没有收付款项的期间称为递延期。

假设最初的m期没有收付款项，后面的n期有等额收付款项，则递延年金如图2-5所示。

1．递延年金终值

由图2-5可知，递延年金的终值与普通年金的终值计算方法是一样的。其公式如下：

注意：式中的n表示A的个数，与递延期无关。

【例2-11】华太服装公司计划入驻B商场，租赁期为5年，前两年免租金，从第3年开始每年年末付租金10万元，年利率为10%。请问第5年年末总租金的终值是多少？

F=A（F/A, i, n）=100000 ×（F/A,10%,3）=100000 × 3.3100 =331000（元）

2．递延年金现值

递延年金现值是指间隔一定时期后每期期末或期初收入或付出的系列等额款项，按照复利计息方式折算的现时价值，即间隔一定时期后每期期末或期初等额收付资金的复利现值之和。递延年金现值的计算方法有以下三种：

第一种方法：假设递延期也有年金收付，先求出（m+n）期的年金现值，再减去递延期m的年金现值。其公式如下：

第二种方法：先把n期期初（即m期期末）视为第0期（即最开始）计算出现值，实际上这里的现值就是第m期的终值，再把终值进行贴现。其公式如下：

第三种方法：先把n期期初（即m期期末）视为第0期（即最开始）算出终值（即第n期），实际上这里的终值就是第（m+n）期的终值，再把终值进行贴现。其公式如下：

【例2-12】华太公司准备购置一处房产，付款条件是：从第7年开始，每年年初支付15万元，连续支付10次，共计150万元。假设该公司的资金成本率为10%，则相当于该公司在第1年年初一次付款的金额为多少万元？（要求：用上述的三种方法进行解题）

第一种方法：P=A（P/A, i, m+n）-A（P/A, i, m）

=15 ×[（P/A,10%,15）-（P/A,10%,5）]

=15 ×（7.6061 - 3.7908）=57.23（万元）

第二种方法：P=（P/A, i, n）×（P/F, i, m）

=15 ×（P/A,10%,10）×（P/F,10%,5）

=15 × 6.1446 × 0.6209 =57.23（万元）

第三种方法：P=A（F/A, i, n）×（P/F, i, m+n）

=15 ×（F/A,10%,10）×（P/F,10%,15）

=15 × 15.9374 × 0.2394 =57.23（万元）

（四）永续年金现值

永续年金是指一种无期限发生的等额收付特种年金，只有起始点而没有终结点。永续年金是普通年金在期限趋于无穷条件下的特殊形式。

由于永续年金没有终结点，因此没有终值的计算，只有现值的计算。由于永续年金是普通年金的特殊形式，因此其现值的公式可以根据普通年金现值的公式推导出来。其公式如下：

【例2-13】陈先生是一位海外华侨，他欲在某高校建立一项永久性的奖励基金，每年年末颁发20000元奖金给品学兼优的学生。假设目前银行的存款利率为10%，则陈先生现在应存入多少款项才可以使该基金正常运转？

五、名义利率与实际利率

（一）现值或终值已知的利率计算

利率的确定一般分为下面几步：

第一步：根据普通年金终值、普通年金现值的公式推出年金终值系数或年金现值系数。

第二步：根据“年金终值系数表”或“年金现值系数表”查找相应的利率i。

第三步：若在表中能够找到n对应的i，便是要求的利率i。

第四步：若在表中不能够找到n对应的利率i，则在n这一行找到最接近题目系数的两个系数，再根据内插法计算要求的利率i。

【例2-14】华太公司第一年年初投资77.217万元购买一台设备，不需要安装调试，使用期10年。该设备在使用期内每年为企业创造收益10万元，则该设备的投资收益率为多少？

根据年金现值计算公式，可得：

77.217 =10 ×（P/A, i,10）→（P/A, i,10）=7.7217

在年金现值系数表中，在n=10这一行刚好找到系数7.7217，其对应的i=5%便是所要求的投资收益率。

【例2-15】华太公司第一年年初投资100万元购买一台设备，不需要安装调试，使用期5年。该设备在使用期内每年为企业创造收益30万元，则该设备的投资收益率为多少？

根据年金现值计算公式，可得：

100 =30（P/A, i,5）→（P/A, i,5）=3.3333

在年金现值系数表中，在n=5这一行找不到相应的系数，在这一行找到3.3333的两个最接近的系数3.3522和3.2743，得：

（P/A,15%,5）=3.3522

（P/A, i,5）=3.3333

（P/A,16%,5）=3.2743

根据以上可以判断，所求的i介于15%～16%之间。根据内插法可得：

求得：i=15.24%

（二）现值或终值系数未知的利率计算

有时候会出现一个表达式中含有两种系数的情况，在这种情况下，现值或终值系数是未知的，无法通过查表直接确定相邻的利率，需要借助系数表，经过多次测试才能确定相邻的利率。测试时注意：现值系数与利率反向变动，终值系数与利率同向变动。

【例2-16】已知5 ×（P/A, i,10）+ 100 ×（P/F, i,10）=104，求i的数值。

经过测试可知：

i=5%,5×（P/A, i,10）+100×（P/F, i,10）=5×7.7217+100×0.6139=100 i=4%,5×（P/A, i,10）+100×（P/F, i,10）=5×8.1109+100×0.6756=108.11

可以判断，所求的i介于4%～5%之间。根据内插法可得：

解得：i=4.51%

（三）实际利率与名义利率的计算

1．复利周期小于一年的实际利率的计算

在之前的学习过程中，题目给出的利率都是年利率，但是在实际生活中一年计息的次数超过一次是常见到的情况。例如，银行之间的拆借为每天计息一次。由此，产生了实际利率和名义利率。实际利率是指一年复利一次时，给出的利率是实际利率。名义利率是指一年复利的次数超过一次时，给出的年利率是名义利率。把名义利率转换为实际利率公式如下：

式2-20中，i表示实际利率，r表示名义利率，m表示复利的次数。

短于一年的计息期实际上是名义利率和实际利率的换算问题。此时，计算货币时间价值的方法有两种：第一，将名义利率先调整为实际利率，再按照实际利率计算货币时间价值；第二，不计算实际利率，将名义利率调整为期利率r/m，期数调整为n×m期，再按照期利率和调整后的期数计算货币时间价值。

【例2-17】华太公司存在银行的一笔资金10万元，年利率为5%，每季度复利一次，到第5年年末的本利和是多少？

第一种方法：i=（1+5%/4）4-1≈5.09%

F=10×（1+5.09%）5≈12.82（万元）

第二种方法：F=10×（1+5%/4）4×5≈12.82（万元）

2．实际筹资额小于名义筹资额的实际利率的计算

在企业的筹资行为中，由于筹资费、补偿性余额等原因将会导致实际筹资额小于名义筹资额的情况出现。但是，利息的计算并不会因为筹资额减少了而不同。因此，对于企业来说，实际筹资额小于名义筹资额将会提高企业的实际利率。

【例2-18】华太公司按照年利率8%向银行借款10万元，银行要求维持贷款限额15%的补偿性余额，该笔借款的实际利率是多少？

3．考虑通货膨胀的实际利率的计算

名义利率和实际利率可以按照是否包含通货膨胀率进行分类，名义利率是包含通货膨胀因素的利率，实际利率是指排除了通货膨胀因素的利率。将名义利率转化为实际利率的公式如下：

式2-21中，i表示实际利率，r表示名义利率，ir表示通货膨胀率。

【例2-19】华太公司进行对外投资，投资的名义利率为10%，当期的通货膨胀率为3%，该投资的实际利率是多少？