（1）电气系统的微分方程

电气系统的微分方程根据欧姆定律、基尔霍夫定律、电磁感应定律等物理定律来进行列写，下面通过举例来说明列写方法。

[例2-1]　图2-1所示为一无源RC低通滤波电路，试写出以输出电压u_o（t）和输入电压u_i（t）为变量的微分方程。

[解]　根据基尔霍夫定律，可写出下列电压方程式：

　　（2-1）

消去中间变量i（t）后得到：

　　（2-2）

式（2-2）就是所求系统的微分方程。

[例2-2]　图2-2所示为有源电路，试写出以输出电压u_c（t）和输入电压u_r（t）为变量的微分方程。

[解]　令通过电阻R₁的电流为i₁，通过电阻R₂和电容C的电流为i₂，则

　　（2-3）

　　（2-4）

消去中间变量i₁（t）和i₂（t）后得到

　　（2-5）

式（2-5）就是所求系统的微分方程。

[例2-3]　列写图2-3所示他励直流电动机在电枢控制情况下的微分方程。

[解]　①u_d为给定输入量，ω为输出量，电枢电流为i_a，T_L为负载干扰。

② 建立初始微分方程。电动机电枢回路的方程为

　　（2-6）

当磁通不变时，反电动势e_d与转速ω成正比，即

e_d=k_dω

式中，k_d为反电动势常数。将e_d=k_dω代入式（2-6），有

　　（2-7）

电动机的动力学方程为

　　（2-8）

式中，J为转动部分折合到电动机轴上的总转动惯量。当励磁磁通固定不变时，电动机的电磁力矩T与电枢电流i_a成正比。即

　　（2-9）

式中，k_m为电动机电磁力矩常数。将式（2-9）代入式（2-8）得

　　（2-10）

③ 消除中间变量并标准化微分方程。

联合式（2-7）和式（2-10）消去中间变量i_a，可得

　　（2-11）

令L/R=T_a，RJ/（k_dk_m）=T_m，1/k_d=C_d，T_m/J=C_m，则得到他励直流电动机的微分方程：

　　（2-12）

式（2-12）为二阶常系数线性微分方程，转速ω既由u_d控制，又受干扰T_L影响。

（2）流体过程系统的微分方程

[例2-4]　单储水槽系统如图2-4所示，水经过控制阀不断地流入水槽，又通过节流阀不断流出，工艺上要求水槽的液位保持一定，试列写该系统的微分方程。

[解]　设系统的输入量为Q_i，输出量为液面高度H，则它们之间的微分方程为：

① 设流体是不可压缩的。根据物质守恒定律，可得

　　（2-13）

式中，H为液面高度，m；Q_i为流入体积流量，m³/s；Q_o为流出体积流量，m³/s；S为液罐横截面积，m²。

② 求出中间变量Q_o与其他变量关系。由于通过节流阀的流体是紊流，按流量公式可得

　　（2-14）

式中，α为节流阀的流量系数，m^2.5/s，当液体变化不大时，可近似认为只与节流阀的开度有关。现在设节流阀开度保持一定，则α为常数。

③ 消去中间变量Q_o，就得输入-输出关系式为

　　（2-15）

式（2-15）是一阶非线性微分方程。

（3）机械系统的微分方程

[例2-5]　求图2-5所示弹簧-质量-阻尼器位移系统的微分方程。图中，m为质量块，k为弹簧刚度，f为阻尼系数，F（t）为作用在质量块上的外力，y（t）为质量块的位移。

[解]　由牛顿第二定律有ma（t）=∑F（t），即

整理得

　　（2-16）

式中，m为运动物体质量，kg；y为运动物体位移，m；f为阻尼器黏性阻尼系数，N·s/m；F_f（t）为阻尼器黏滞摩擦阻力，它的大小与物体移动的速度成正比，方向与物体移动的方向相反，F_f（t）=f；k为弹簧刚度，N/m；F_k（t）为弹簧的弹性力，它的大小与物体位移（弹簧拉伸长度）成正比，F_k（t）=ky（t）。

式（2-16）即为此机械位移系统的微分方程。