鸟类
鸟类不等于鸟类研究
假设你是一个研究鸟类的专家。你研究鸟类的行为、饮食、求偶方式、育幼方式以及它们怎样消化食物，等等。然而，你永远不可能用更简单的鸟类来创造一种新的鸟类——鸟类不是这样创造出来的。在这件事上，你不能使用广义化，至少不能使用数学的广义化。
另一件你无法做到的事情是把不是鸟类的东西变成鸟类。鸟也不是这样创造出来的。所以你也没有办法使用抽象化。有时，我们也会发现自己犯了分类的错误，需要对此进行修正，比如把雷龙“变为”一种迷惑龙，但那只是因为我们意识到了雷龙是迷惑龙属的一种，而不是真的把前者变成了后者。我们不是魔术师，不能把一件东西变成另一件东西。但在数学里，我们可以这样做，因为数学研究的是关于事物的想法，而不是真实事物本身。因此，我们只需要改变自己头脑中的想法，就可以改变我们的研究对象。通常，这意味着改变我们对某种事物的看法，改变我们的视角，或是改变我们描述的方式。
一个数学上的例子是绳结，如下图所示。
在18世纪和19世纪，范德蒙、高斯和其他一些数学家想出了如何用数学的方式来看待绳结，这样他们就可以用逻辑规则来研究绳结了。
这个方式就是，想象把一根绳子的两端粘在一起，使其成为一个封闭的环。虽然这样一来，绳结没有胶水就做不成了，但这也让数学家能更方便地研究它。每一个绳结都可以用三维空间里的一个环来表示。在拓扑学里，研究这种问题的方法有很多，对此我们稍后会加以讨论。总之，这样一来，我们不但可以对真正存在的绳结进行种种推断，还可以研究那些在宏观世界中不成立，但在微观世界的分子结构中真实存在的“结”。
关于将“真实”世界中的事物转化为“数学”世界中的事物，几何图形是另一个更为古老的例子。
数学的发展可以说经历了以下几个阶段：
1. 它起源于对数字的研究。
2. 人们想出了一些方法来研究这些数字。
3. 人们意识到，这些方法也可以用来研究其他事物。
4. 人们四处寻找其他可以用这些方法来研究的事物。
其实还有一个步骤0，位于数字诞生以前：有人发明了数字这个概念。数字可以说是数学中可以研究的最基本的东西，但数字并不是一开始就有的。也许，数字的发明就是最早的抽象化过程。
接下来我要讲的故事是关于抽象的数学的。我想说的是，它的力量和美丽并非体现在它所提供的答案和它所解决的问题上，而在于它对人的启蒙，它带来的照亮世界的一束光。正是这束光让人看得更加清楚，而由此，我们便迈出了认识周围世界的第一步。