山脉

登上一座山能让你看到更高的山

你是否有过这种体验——登上一座山的顶峰，发现的却是比它更高的所有其他山峰？数学也是如此，它越发展，可供研究的对象就越多。此事的发生一般伴随着两种过程。

第一种是“抽象化”：我们用逻辑梳理清楚了本来没有逻辑存在的领域。打个比方，可能你原本只用电饭煲煮米饭，而有一天，你发现你也可以用它来烤蛋糕，而且用电饭煲烤出来的蛋糕和用传统烤箱烤出来的蛋糕只有一点点不同。换句话说，我们借助一种新的视角来看待原本不是数学的事物，从而将其变为数学。这就是x和y会出现在数学领域的原因——我们原先的目的是研究数字，但后来我们发现此种处理数字的方法也可以应用到其他领域。

第二种是“广义化”：我们明白了如何用我们已经理解的事物来建构更复杂的事物。这就好像你用搅拌机做了一个蛋糕，又用搅拌机做了酥皮，然后把两者堆叠起来，创造出一种新的甜点。在数学领域，这就等同于用比较简单的数字、三角形和日常生活中的事物来建构多项式、矩阵、四维空间等。

我会在接下来的几章探讨抽象化和广义化这两种过程，但首先我想请读者看一看数学是如何奇妙又怪异地实现这两个过程的。