第三章 方程

一、一元一次方程的解法

只含有一个未知数，且未知数的最高次数为一次的方程，称为一元一次方程．其一般形式为

ax=b（a≠0）

方程的解为x=

例1 甲仓库存粮30吨，乙仓库存粮40吨，再往甲仓和乙仓共运去粮食80吨，使甲仓粮食是乙仓粮食数量的1.5倍，则应运往乙仓的粮食是

A.15吨

B.20吨

C.25吨

D.30吨

E.35吨

解 设应运往甲仓的粮食为x吨，则运往乙仓的粮食为（80-x）吨．根据题意，有

30+x=1.5×[40+（80-x）]

化简得2.5x=150，所以x=60，故应运往乙仓的粮食为80-x=20（吨）.

本题应选B.

例2 所得税是工资加奖金总和的30%，如果一个人的所得税为6810元，奖金为3200元，则他的工资为

A.12000元

B.15900元

C.19500元

D.25900元

E.62000元

解 设工资为x元，则有

（x+3200）×30%=6810

解得x=19500．故本题应选C.

二、二元一次方程组的解法

（1）只含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数为一次的方程，称为二元一次方程．由若干个二元一次方程组成的方程组，称为二元一次方程组．我们通常讨论的是由两个二元一次方程组成的方程组，其一般形式为

（2）二元一次方程组的解有三种情形：

1）方程组有唯一解．

2）方程组无解．

3）方程组有无穷多解．

（3）二元一次方程组的解法为消元法，即通过代入或加减消元法消去两个未知数中的一个，转化为一元一次方程来求解．

例3 一个钱袋中都是5分或1角的硬币，共5元，如果将相当于5分硬币数目一半的1角硬币取出，钱袋中剩下3元，则原来口袋中5分、1角的硬币数目分别为

A.20,40

B.30,35

C.40,30

D.50,25

E.50,20

解 如果设原来钱袋中5分硬币和1角的硬币的数目分别为x和y，则可得二元一次方程组

解得x=40, y=30，故本题应选C.

例4（条件充分性判断）a2+b2=13.

（1）a, b满足|a-b-1|+（2a-3b）2=0

（2）a,b满足=0

解 由条件（1），有

解得a=3, b=2．于是a2+b2=13．条件（1）充分．

由条件（2），有

解得a=2, b=3．于是a2+b2=13．条件（2）充分．故本题应选D.

三、一元一次方程、二元一次方程组的应用举例

例5 甲、乙两人在400m的跑道上参加长跑比赛，甲、乙同时出发，甲跑3圈后第一次遇到乙，如果甲的平均速度比乙的平均速度快3m/s，则乙的平均速度为

A.5m/s

B.6m/s

C.7m/s

D.8m/s

E.9m/s

解 如果设乙的平均速度为xm/s，则得一元一次方程

解得x=6（m/s）．故本题应选B.

例5一般称为行程问题：解题的关键是灵活应用“距离=速度×时间”这一基本公式．

例6 甲、乙两个工程队需铺设一段地下管道，如果甲单独干10天，将正好完成铺设任务的一半；如果两队合作从两端同向施工，将共用12天完成任务．若甲已完成一半任务后，再由甲、乙合作完成剩余任务，共需天数是

A.14

B.15

C.16

D.17

E.18

解 设乙队单独完成剩余任务，需x天，乙完成任务量为1，则可得一元一次方程

解得x=15，知甲、乙的工作效率分别为,，因此，完成这项任务共需

故本题应选C.

例7 一个工人在规定的天数内制造一定数量的同型零件．若他每天多做10个，可提前天完成，若他每天少做5个，则要误期3天，则该工人需要做的零件数为

A.1230

B.1260

C.1290

D.1320

E.1350

解 设该工人每天需做零件数为x，规定天数为y天，依题意可得方程

化简得

解得x=50, y=27，从而知该工人需做零件x·y=1350（个）．故本题应选E.

例6、例7为效率问题或工程问题，对同一项任务，甲、乙单独完成的效率不同．讨论甲、乙单独完成与甲、乙合作完成同一项任务之间的关系，其中有两种特殊关系：

（1）如果对同一项任务，甲的效率为A，乙的效率为B，则甲、乙同时完成这项任务的效率为A+B.

（2）如果对同一项任务，甲单独完成所需时间为T1，乙单独完成所需时间为T2，则甲、乙同时完成任务所需时间为.

例8 溶液A为一种油箱冷却剂，现散热箱中有4升浓度为20%的A溶液，汽车在行驶中水蒸发了2升，要想使溶液A的浓度恢复到20%，则需要加入浓度为10%的A溶液（假设散热箱容积足够大）

A.4升

B.5升

C.6升

D.7升

E.18升

解 设需要加入x升浓度为10%的A溶液，则由题意可得

整理得一元一次方程

80+10x=40+20x

解得x=4．故本题应选A.

例9 甲瓶中装有纯酒精15千克，乙瓶中装有纯水30千克．现分别从甲、乙两瓶中各取出等量千克数的液体倒入对方瓶中，然后再从甲、乙两瓶中取出同第一次取出的等量的溶液倒入对方瓶中，这时甲、乙两瓶中酒精的浓度相等．若规定每次取出液体时，瓶中液体不能取尽，则每次从各瓶中取出的液体数量为

A.4千克

B.6千克

C.8千克

D.10千克

E.12千克

解 设每次从各瓶取出液体数为x千克，则

第一次互倒后，甲瓶中酒精浓度为，乙瓶中酒精浓度为，

第二次互倒后，甲瓶倒出纯酒精x·（千克），倒入纯酒精x· （千克），故甲瓶中共有纯酒精为

可知，这时甲瓶中酒精浓度为

类似分析可知，在第二次互倒后，乙瓶中酒精浓度为

由题意，可得方程

整理得

x2-25x+150=0

解得x=10或x=15（舍去）．故本题应选D.

例8、例9为浓度问题．一定量的溶液，当溶质、溶剂或溶液量发生变化时，讨论溶液浓度变化等问题，一般地，

例10 在一次慈善捐款活动中，某单位共有100人参加捐款．经统计，捐款总额为19000元，个人捐款数额有100元、500元和2000元三种，则该单位捐款500元的人数为

A.13

B.18

C.25

D.30

E.38

解 设该单位捐款100元的有x人，捐款500元的有y人，捐款2000元的有z人，则x, y, z均为非负整数，且满足

化简得

两方程相减得4y+19z=90，故y=（90-19z）．因y≥0, z≥0且均为整数，可看出z可取0,1,2,3,4中的某一值．显然，仅当z=2时，y可取13，即x=85, y=13, z=2．本题应选A.

例11 有若干学生上体育课，内容是学习篮、排、足球．规定每2人合用一只排球，每3人合用一个足球，每4人合用一只篮球，共用了26只球，则共有学生

A.24人

B.28人

C.32人

D.36人

E.48人

解 设有x个学生，则用排球个，足球个，篮球个，从而有

得x=24（人）．故本题应选A.

例10、例11为组合问题，通常指若干量在不同组合下有不同的结果，可以将每一个条件设一个方程，最终是n元一次线性方程组的求解问题．在相关问题中，还可能涉及数的整除概念和最小公倍数的计算，应注意．

例12 一个水池，上部装有若干同样粗细的进水管，底部装有1个常开的排水管，当打开4个进水管时，需要4个小时才能注满水池；当打开3个进水管时，需要8个小时才能注满水池．现需要用2个小时注满水池，至少要打开进水管

A.9个

B.8个

C.7个

D.6个

E.5个

解 设每小时进水管进水量为x，每小时排水管排水量为y，水池容量为1，则有

解得x=, y=，若设要有n个进水管进水，有

得n=6（个）．故本题应选D.

例13 有一满池水，池底有泉，总能均匀地往上涌流，已知用24部A型抽水机6天可抽干池水，若用21部A型抽水机8天也可抽干池水．设每部抽水机单位时间内抽水量相同，要使这池水抽不干，至多只能用A型抽水机

A.14部

B.13部

C.12部

D.11部

E.10部

解 设池子容量为V0，每天涌出水量为a，抽水机为n部，则有

解得V0=6a或a=，从而知每部抽水机每天抽水量为，若要池水不干，应有不等式

得n≤12，故本题应选C.

例12、例13为动态平衡问题．通常指某个容器或系统，处在有进有出状态，主要根据进出量平衡建立并求解方程．

例14 某工厂生产某种产品，一月份每件产品销售的利润是出厂价的25%（利润-出厂价=成本）．若二月份每件产品的出厂价降低10%，成本不变，销量件数比上月增加80%，那么二月份销售总利润增长

A.6%

B.8%

C.15.5%

D.25%

E．以上结论均不正确

解 设出厂价为a元/件，成本为b元/件，一月份销售量为n件，则一月份每件产品利润为a-b，依题意

二月份出厂价为a（1-10%）=0.9a，销售量为n（1+80%）=1.8n，总利润为

y 2=（0.9a-b）1.8n=0.27an

一月份总利润为

y 1=n（a-b）=0.25an

因此，二月份销售总利润增长率为

故本题应选B.

例15（条件充分性判断）某公司2004年12月份的产值是1月份的a倍．

（1）在2004年，该公司月产值平均增长率为1-1

（2）在2004年，该公司月产值平均增长率为1-1

解 设该公司月产值的平均增长率为x,1月份产值为1，则有

1·（1+x）11=a

因此，x=-1．本题应选B.

例14、例15为比、比例和增长率问题，除了要熟悉有关比和比例相关的概念和性质，还应了解增长和增长率的概念，一般地

y2对于y1的增长率=（用百分数表示）

若设数列yn（n=1,2, …, k）, yn对yn-1（n=2,3, …, k）的平均增长率为x%，则

yk=y1（1+x%）k-1（k=2,3, …, n）

四、一元二次方程及其解

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程称为一元二次方程，其一般形式为

ax2+bx+c=0 （a≠0）

一元二次方程的解有三种情形：

（1）当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不等实根，解的表达式为

（2）当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等实根，解的表达式为

（3）当Δ=b2-4ac＜0时，方程无实根．

通常将Δ=b2-4ac称为一元二次方程的根的判别式．

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：

x1, x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根的充分必要条件是

例16 某公司以500万元资金投入某种新产品的生产．在第一年获得一定的利润．若这500万元资金加上第一年的利润再投资在第二年共得利润52.5万元，而且第二年的利润率比第一年多5%，则第一年的利润率是

A.8%

B.5%

C.12.5%

D.14%

E.15%

解 设第一年的利润率为x，则第一年的本利和为500（1+x）．依题意，在第二年获利润52.5万元，于是

500（1+x）（x+0.05）=52.5

化简得x2+1.05x-0.055=0

所以x1=0.05,x2=-1.1（不合题意，舍去）．即第一年的利润率为5%．故本题应选B.

例17（条件充分性判断）设方程3x2-8x+a=0的两个实根为x1, x2，可求出a=2.

（1）x1和x2的几何平均值为

（2）和2的算术平均值为2

解 由条件（1）, ，即x1x2=．由一元二次方程根与系数的关系，得

所以a=2．故条件（1）充分．

由条件（2），有=2，所以

又x1+x2, x1x2=．代入上式，得a=2，所以条件（2）也充分．故本题应选D.

例18（条件充分性判断）设方程x 2+mx+n=0中m＞0，则m=5.

（1）该方程两根的积比两根的和大5

（2）该方程两根的平方和为25

解 设方程的两根为x1, x2．由条件（1）、（2）分别得到

x1x2-（x1+x2）=n+m=5

=（x1+x2）-2x1x2=m2-2n=25

单独由条件（1）、（2）均不能求出m的值，即两条件单独均不充分．但上面两式联立，可得m2+2m-35=0．解之得m=5或m=-7．又m＞0，知m=5.

故本题应选C.

例19 已知x 1, x 2是方程x 2+ax+b=0的两个实根（a＜0），且x 1 x 2=2,=3，则此二次方程为

A.x2-4x-2=0

B.x2+4x-2=0

C.x2-4x+2=0

D.x2+4x+2=0

E．满足条件的方程不存在

解 由一元二次方程根与系数的关系，有

a=-（x1+x2）, b=x1x2=2

可排除A, B, E

所以2x1x2=16

得x1+x2=4或x1+x2=-4，又a＜0，有a=-4．故本题应选C.

一元二次方程ax2+bx+c=0的根x1, x2与系数a, b, c的关系，一般涉及三类问题：

（1）已知方程，不解方程求x1, x2的表达式的值或方程中的某一参数．如例17.

（2）已知两根x1, x2的某些关系式的值，求原方程．如例19.

（3）综合题．利用一元二次方程根与系数的关系列式，求解极值、三角函数、对数等综合题．

练习题

（A）

1．一个工程，原计划需270人完成，由于改革工艺提高了工效20%，结果只用了250人还比原计划提前10天完成，则原计划完成该工程的天数为

A.130

B.120

C.110

D.100

E.90

2．用一条绳子量井深，若将绳子折成3折来量，井外余绳4尺，折成4折来量，井外余绳1尺，则井深是

A.6尺

B.7尺

C.8尺

D.9尺

E.12尺

3．一项议案由公司的甲、乙两个部门成员投票表决，其中甲部门所投票数占总投票数的20%，其余为乙部门所投票数．已知甲部门所投的票均为反对票，而投票数中反对票占60%，则乙部门所投的票中反对票占

A.20%

B.40%

C.50%

D.60%

E.65%

4．一辆校车有两排座位，每排座位能坐20个学生．如果一辆空车出发后停了两站，第二站上车人数是第一站上车人数的3倍，这时车上座位正好坐满，则第二站上车的人数为

A.10

B.15

C.20

D.25

E.30

5．一个旅游车行程75km，前三分之一路程所花时间是剩余路程所花时间的两倍．已知全程速度为50km/h，则前三分之一所花时间为

A.h

B.1h

C.h

D.2h

E.

6．甲、乙两辆汽车从相距695km的两地出发，相向而行．乙汽车比甲汽车迟2h出发，甲汽车每小时行驶55km，若乙汽车出发后5h与甲汽车相遇，则乙汽车每小时行驶的公里数为

A.55

B.58

C.60

D.61

E.62

7．两火车相距120km，分别以匀速30km/h、40km/h的速度对开，在相遇1h前，它们相距公里数为

A.80

B.70

C.60

D.50

E.45

8．某工程由甲、乙两个工程队完成，如果甲单独完成需要30天，乙单独完成需20天，现由甲先干若干天，再由乙完成剩余的任务，共用25天，则甲先干的天数为

A.5

B.10

C.15

D.18

E.20

9．一项工程由甲、乙两队合作30天可完成，甲单独做24天后，乙队加入，两队合作10天后，甲队调走，乙队继续做了17天才完成．若这个工程单独由甲队完成，需要

A.77天

B.70天

C.63天

D.56天

E.49天

10．甲、乙两辆游览车先后从景点A出发，甲比乙晚1h，速度比乙快10km/h，如果在甲追上乙前1h，甲可行驶80km，则乙的速度是

A.30km/h

B.35km/h

C.40km/h

D.50km/h

E.60km/h

11．如果一张铁皮，做罐头盒的侧面，正好可做16个，做底面，正好可做43个，现有铁皮75张，共可做罐头盒

A.450个

B.500个

C.688个

D.900个

E.960个

12．一艘船往返于A, B两个港口，往返路径不同，由A到B顺水行驶60km，逆水行驶40km，由B到A顺水行驶30km，逆水行驶60km，如果往返时间相同，为8h，船速和水的流速保持不变，则水流速度为

A.2.5km/h

B.5km/h

C.7.5km/h

D.10km/h

E.10.5km/h

13．某企业对一种外购物资的年需求量为6000t．如果该物资的每次订货费用为5元，每吨物资的仓储保管存货费用为50元．已知该企业每次订货量相同，一年内的订货费用及保管存货费用共计2500元．则该物资每次订货吨数为

A.10

B.20

C.100

D.200

E.220

14．甲、乙两个邮递员分别从A, B两地同时以匀速相向而行，甲比乙多走了18km，相遇后，甲走了4.5h到达B地，乙走了8h到达A地，则A, B两地相距

A.63km

B.126km

C.189km

D.201km

E.216km

15．甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向行驶在平行轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在窗外经过时间是10秒，那么乙车上乘客看见甲车在它的窗口经过的时间为

A.7.5秒

B.15秒

C.17.5秒

D.10秒

E.20秒

16．某学生参加若干考试，在最后一次考试时发现，如果这次考试得97分，则总平均分为90分，如果这次考试得73分，则总平均分为87分，则该学生考试次数为

A.11

B.10

C.9

D.8

E.7

17．某批产品不足50件，经质量检验，有1/7的产品为一级品，1/3的产品为二级品，1/2的产品为三级品，则次品有

A.1件

B.2件

C.3件

D.4件

E.5件

18．一笔资金用于购买A型彩色电视机．若买5台，则余2500元；若买6台，则缺4000元．今将这笔钱用来购买B型彩色电视机，正好可购买7台，则B型彩色电视机的售价是

A.4000元

B.4500元

C.5000元

D.5500元

E.6000元

19．有一个水池，装有甲、乙、丙三根水管，其中甲、乙是进水管，丙为排水管．单开甲管需要15分钟注满水池；单开乙管需要10分钟注满水池；单开丙管需要9分钟将满池水放完．现在池内存水占全池容积的，则同时打开三根水管，注满水池需要用时

A.10分钟

B.10.2分钟

C.10.5分钟

D.10.8分钟

E.11.1分钟

20．某公司电子产品一月份按原定价的80%出售，能获利20%，二月份由于进价降低，按原定价的75%出售，却能获利25%，那么二月份的进价是一月份的

A.92%

B.90%

C.85%

D.80%

E.75%

21．某种药品，原价每瓶50元，现价40.5元，经过2次降价，则平均每次降价的百分率为

A.5%

B.6%

C.8%

D.9%

E.10%

22．已知方程x2+5x+m=0的两根之差为3．则m的值为

A.4

B.-1

C.1

D.-4

E.2

23．已知a, b, c是△ABC的三条边，且方程（c-b）x 2+2（b-a）x+a-b=0有两个相等实数根，则△ABC是

A．等边三角形

B．等腰三角形

C．不等边三角形

D．直角三角形

E．钝角三角形

（B）

1．设z≠0，则可确定的值．

（1）3x+4z=0（2）

2．一水池有甲、乙两水管，甲管注入，乙管流出，可确定甲管单独开放注满水需10个小时．

（1）若甲、乙两管同时开放，30小时可注满水池

（2）若先开甲管3小时，接着甲、乙两管同时开放6个小时，则恰注入水池的一半

3．申请驾驶执照时，必须参加理论考试和路考，且两种考试均需通过．若在同一批学员中有70%的人通过了理论考试，80%的人通过了路考，则最后领到驾照的人有60%.

（1）10%的人两种考试均未通过

（2）20%的人仅通过了路考

4.x=2.

（1）x+y=5且3x+2y=12

（2）8x-3y=16-3y

5．若x＞0，可确定x的值．

（1）=2

（2）（4x2+3）（4x2+2）=12

6．设x1, x2是方程x2+bx+1=0的两个实根，则b=-5.

（1）=5

（2）=110

7．设x1, x2是方程6x2-7x+a=0的两个实根，求a的值．

（1）若和的几何平均值是

（2）若和的算术平均值是

8．若x, y, z是不全为零的数，则.

（1）x+2y-3z=0,2x-y-z=0

（2）3x-2y+z=0,2x+y-4z=0

参考答案

（A）

1.D 2.C 3.C 4.E 5.B 6.E 7.B 8.C 9.B 10.A 11.C 12.A 13.B 14.C 15.A 16.D 17.A 18.C 19.C 20.B 21.E 22.A 23.B

（B）

1.C 2.C 3.D 4.D 5.B 6.D 7.D 8.D