第二章 整式、分式及其运算

一、整式

1．整式的概念

有理式中或者没有除法，或者有除法但除数中不含有字母的式子，称为有理整式，简称整式．

整式包括单项式和多项式．整式的和、差、积仍为整式．

2．整式的运算

（1）整式的加法与减法．

步骤是：①去括号；②合并同类项．

（2）整式的乘法．

步骤是：①用一个因式的每一项乘另一个因式的每一项；②合并同类项．

（3）乘法公式．

（a+b）（a-b）=a2-b2

（a ± b）2=a 2 ±2ab+b 2

（a ± b）3=a 3 ±3a 2b+3ab 2 ± b 3

（a±b）（a2∓ab+b2）=a3±b3

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

3．多项式的因式分解

把一个多项式化为若干个最简多项式因式的积的形式，称为因式分解．

因式分解的方法，通常有提取公因式法，公式分解法，二次多项式因式分解法（十字相乘法）.

例1 如果（3x ay2a+3b）2=9x6y6成立，则

A.a=3, b=-1

B.a=3, b=1

C.a=3, b=-2

D.a=3, b=2

E.a=3, b=-3

解 由（3x ay2a+3b）2=9x2ay4a+6b=9x6y6，比较指数得2a=6,4a+6b=6，解得a=3, b=-1．故本题应选A.

例2 如果单项式-x2a+by3与9x2ya+4b是同类项，这两个单项式乘积为

A.9x4y9

B.9x6y4

C.-9x4y6

D.9x2y3

E.-9x2y3

解 由题设，-x2a+by3与9x2ya+4b是同类项，知x和y 的指数分别为2和3，因此，有

-x2y3×9x2y3=-9x4y6

故本题应选C.

例3 已知a为非零实数，在实数范围内对整式x8-a8分解因式，将x8-a8表为若干因式的乘积，且每个因式不能再分解，此时这个乘积共有

A.2个一次因子，3个二次因子

B.4个一次因子，3个二次因子

C.2个一次因子，2个二次因子

D.4个一次因子，2个二次因子

E.2个一次因子，1个二次因子，1个四次因子

解 直接将x8-a8因式分解得

x8-a8=（x-a）（x+a）（x2+a2）（x2-+a2）（x2++a2）

由于判别式Δ=（±）2-4×a2=-2a2＜0，知因子x2-+a2与x2++a2不可再分解．因此，乘积共有2个一次因子，3个二次因子．故本题应选A.

例4 9x 2-12xy+m是一个完全平方式，则m为

A.2y2

B.4y2

C.4

D.2

E．依条件不能确定

解 由题设，有Δ=（12y）2-4×9×m=144y2-36m=0，得m=4y2，故本题应选B.

例5 设多项式f（x）=3x 4-10x 3+ax 2+10x-3有三个根，分别为-1,1,3，则常数a与第4根分别为

A.3,

B.2,

C.2,

D.0,

E．依条件不能确定

解 由题设，f（-1）=f（1）=f（3）=0，知该多项式含有因子（x-1）,（x+1）,（x-3），若设多项式第4根为k，则有

f（x）=3（x-1）（x+1）（x-3）（x-k）

=3x4-3（3+k）x3+3（3k-1）x2+3（3+k）x-9k

=3x 4-10x 3+ax 2+10x-3

比较系数，知a=0, k=．故本题应选D.

例6 化简（x2+xy+y2）2-4xy（x2+y2）的结果应为

A.（x2-2xy+2y2）2

B.（x2+y2-xy）2

C.（x2+xy+y2）2

D.（x2+xy-2y2）2

E.（x2-2xy-2y2）2

解 因为（a+b）2-4ab=（a-b）2，因此原式可看为

[（x2+y2）+xy]2-4xy（x2+y2）=（x2+y2-xy）2

故本题应选B.

本题也可采用将值代入验算的方法求解，如先将x=0, y=1代入原式和各选项，仅选项B和C对应值与原式相同，再将x=1, y=1代入，其中仅选项B的数值与原式相同，故选之．

例7（条件充分性判断）实数a, b满足等式.

（1）a=0, b=2（2）a=-2, b=3

解 由条件（1）, （x2a+4y-a+b-1）=（xy3）（x4y）=x5y4，条件充分．

由条件（2）（x2a+4y-a+b-1）=（x5）（y4）=x5y4，条件也充分．综上讨论，本题应选D.

二、分式

1．分式的概念

除式中含有字母的代数有理式，称为分式．

分子和分母不含正次数公因式的分式，称为最简分式（或既约分式）.

2．分式的基本性质

分式的分子、分母乘以或除以同一个不为零的代数式，其值不变．

根据分式的基本性质，可在分式的分子、分母同除以一个它们的公因子，将分式化简称为约分．

3．分式的运算

（1）分式的加法与减法．

步骤是：①将异分母的分式化为同分母分式；②分母不变，分子相加减；③约分化简．

（2）分式的乘法．

步骤是：①分子乘分子，分母乘分母；②约分化简．

（3）分式的除法．

步骤是：①将除式颠倒；②再作乘法运算．

例8 下列约分正确的是

E．以上均不正确

解 约分即分子、分母去公因子．各选项正确的结果应是：

显然，仅选项C正确，故本题应选C.

例9

解 先作除法运算，再作减法运算，即有

故本题应选E.

例10 已知6x4-7x3-4x2+5x+3除以整式P（x），所得商式为2x2-3x+1，余式是-2x+5，则P（x）=

A.3x2+x+2

B.3x2+x-2

C.3x2-x+2

D.-3x2-x-2

E.-3x2+x-2

解 依题设，有

即6x4-7x3-4x2+5x+3=（2x2-3x+1）P（x）-2x+5

解得

故本题应选B.

例11 已知f（x）=x3-2x2+ax+b除以x2+x-2的余式为x+2，则a,b的值是

A.a=-1, b=2

B.a=-2, b=4

C.a=-3, b=6

D.a=-4, b=8

E.a=-5, b=10

解 解法一 直接用除法求解，即

故余式=x+2=（a+5）x+（b-6），解得a=-4, b=8.

解法二 设f（x）除以x2+x-2得商为P（x），即有

f（x）=x3-2x2+ax+b=（x2+x-2）P（x）+x+2

即f（x）=x3-2x2+ax+b=（x-1）（x+2）P（x）+x+2

依次将x=1, x=-2代入上式，有f（1）=-1+a+b=3, f（-2）=-16-2a+b=0

求解方程组

故本题应选D.

例12 的值为

解 先对各式因式分解，再运算，得

故本题应选A.

例13 某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a元，之后的每一分钟收费b元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打电话的时间为

A.a分钟

B.分钟

C.分钟

D.b分钟

E．以上结果均不正确

解 设此人打长途电话的时间为t，则有

a+b（t-1）=8

解得t=．故本题应选C.

例14（条件充分性判断）当n为自然数时，有=2.

（1）x+=1（2）x+=-1

解 由条件（1），有x2-x+1=0．两边乘x+1，得

x3+1=0即x3=-1，从而得=2.

因此条件（1）充分．类似地，由条件（2）也可得到x3=1，也有=2，即条件（2）充分．综上讨论，本题应选D.

例15（条件充分性判断）分式的值不变．

（1）x, y都扩大4倍（2）分子、分母都加上x+y

解 条件（1）相当于分子、分母同乘常数4，分式值不变．条件充分．而由条件（2），分子、分母同加x+y，分式值将改变，条件不充分．综上讨论，本题应选A.

练习题

（A）

1．下列说法正确的是

A.0和x都是单项式

B.3n xy的系数是3n，次数是2

C.x2+2xy-y2是齐次多项式

D.x+y-1和a2-2b+3都是多项式

E.x+y和x+1都不是单项式

2 ·（4a3b2）4的结果是

A.2a17b13

B.2a13b12

C.-8a17b13

D.a13b12

E.a17b13

3．下列因式分解正确的是

A.a2-b2-1=（a+b）（a-b）-1

B.（a+1）2-（b-1）2=（a+b）（a-b+2）

C.x3-x=x（x2-1）

D.x3-2x2-2x+3=（x-1）（x2-x-3）

E．以上分解均不正确

4．已知多项式f（x）=2x4-x3-8x2+x+6有三个整数根，则第4个根是

5．如图1—2—1，在边长为a的正方形的一角剪掉一个边长为b的正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是

A.a2-b2=（a+b）（a-b）

B.（a+b）2=a2+2ab+b2

C.（a-b）2=a2-2ab+b2

D.（a+2b）（a-b）=a2+ab+b2

E.（a-2b）（a+b）=a2-ab+b2

6.f（x）=x4+x3-3x2-4x-1和g（x）=x3+x2-x-1的最大公因子是

A.x+1

B.x-1

C.（x+1）（x-1）

D.（x+1）2（x-1）2

E.（x+1）2（x-1）

7．如果4x-3是多项式4x2+5x+a的一个因式，则a等于

A.6

B.-6

C.-9

D.9

E.3

8．要使4x2-ax+是完全平方式，则a等于

A.2

B.-2

C.±2

D.4

E.-4

10．已知2x4-7x3+10x2-10x+5除以整式P（x），所得商式为2x2-x+3，余式是x-1，则P（x）=

A.x2+3x+2

B.x2+2x+3

C.x2+x-2

D.x2-2x+3

E.x2-3x+2

11．已知f（x）=x 3-2x 2+ax+b除以x 2+2x+3的余式为2x+1，则a, b的值是

A.a=-1, b=-2

B.a=-2, b=-4

C.a=-3, b=-8

D.a=-3, b=-11

E.a=-4, b=-12

12．已知=4，则的值等于

A.6

B.-6

C.

D.

E.3

13．下列分式中加减法运算正确的是

14．分式,,（x,（x中，能够约分的有

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

E.4个

15．若f（x）=x 3+p x 2+qx+6含有一次因子x-3和x-1，则pq=

A.3

B.5

C.7

D.8

E.10

16．一只容积为a升的容器中装满某种液态农药，第一次倒出8升后用水加满，第二次又倒出混合药液4升，则这4升混合液中含有纯农药量为

（B）

1.x 2+px+q=（x-9）（x+11）.

（1）p=-2, q=-99（2）p=2, q=-99

2.=-123.

3．化简（a-2）（b-2）得-2m.

（1）a+b=m（2）ab=-4

参考答案

（A）

1.D 2.C 3.B 4.E 5.A 6.A 7.B 8.C 9.B 10.E 11.D 12.A 13.E 14.C 15.E 16.C

（B）

1.B 2.A 3.C 4.C