5.2　课后习题详解

5-1　设图5-2-1所示电路的输出u_o为：u_o＝－3u₁－0.2u₂。

已知R₃＝10kΩ，求R₁和R₂。

图5-2-1

解：根据“虚断”的概念可知，流经R₃的电流i等于流经R₁、R₂的电流之和，i＝i₁＋i₂，即

－（u_o－u^－）/R₃＝（u₁－u^－）/R₁＋（u₂－u^－）/R₂

根据“虚短”的概念可得：u^－＝u^＋＝0；

所以－u_o/R₃＝u₁/R₁＋u₂/R₂。

则由已知条件得3u₁＋0.2u₂＝u₁R₃/R₁＋u₂R₃/R₂⇒R₁＝R₃/3＝3.33kΩ，R₂＝R₃/0.2＝50kΩ。

5-2　图5-2-2所示电路起减法作用，求输出电压u_o和输入电压u₁、u₂之间的关系。

图5-2-2

图5-2-3

解：如图5-2-3所示结点和电流，可列出结点电压方程

根据虚短和虚断概念：u_n1＝u_n2；

解得：u_o＝（u₂－u₁）R₂/R₁。

5-3　求图5-2-4所示电路的输出电压与输入电压之比u₂/u₁。

图5-2-4

解：如图5-2-5所示，对结点①②建立结点电压方程

根据虚短概念可得：u_n2＝0；

故有：（G₁＋G₂＋G₄＋G₅）u_n1－G₅u₂＝G₁u₁且u_n1＝－u₂G₃/G₄；

所以u₂/u₁＝－G₁G₄/[（G₁＋G₂＋G₄＋G₅）G₃＋G₄G₅]。

图5-2-5

5-4　求图5-2-6所示电路的电压比值u_o/u₁。

图5-2-6

解：如图5-2-7所示结点和电流，可列出结点电压方程，并根据虚短概念得

由图5-2-7可得：u_n1＝0，u_o1＝u_n2；

联立上述方程得

图5-2-7

5-5　求图5-2-8所示电路的电压比u_o/u_S。

图5-2-8

解：将运算放大器左边的电路等效为一个标准电压源和一个电阻的串联电路，如图5-2-9所示，其中，u_oc＝u_SR₂/（R₁＋R₂），R_eq＝（R₁//R₂）＋R₃。

u_o/u_S＝－R₂R₄/（R₁R₂＋R₂R₃＋R₃R₁）

图5-2-9

5-6　试证明图5-2-10所示电路若满足R₁R₄＝R₂R₃，则电流i_L仅决定于u₁而与负载电阻R_L无关。

图5-2-10

图5-2-11

证明：如图5-2-11所示结点和电流，可列出结点电压方程

（1/R₁＋1/R₂）u_n1－u_o/R₂＝u₁/R₁①

（1/R₃＋1/R₄＋1/R_L）u_n2－u_o/R₄＝0②

由②得到u_o＝R₄（1/R₃＋1/R₄＋1/R_L）u_n2。

根据虚短概念可得：u_n1＝u_n2；

代入①化简得：u_n2＝u₁R₂R₃R_L/[（R₂R₃－R₁R₄）R_L－R₁R₃R₄]；

又i_L＝u_n2/R_L；

当R₁R₄＝R₂R₃时，i_L＝－u₁R₂/（R₁R₄），所以i_L与R_L无关，由u₁决定。

命题得证。

5-7　求图5-2-12所示电路的u_o与u_S1、u_S2之间的关系。

图5-2-12

图5-2-13

解：如图5-2-13所示，建立结点电压方程

又根据虚短概念可得u_n1＝u_n2，代入上式得

u_o＝[G₁（G₃＋G₄）u_S1＋G₃（G₁＋G₂）u_S2]/（G₁G₄－G₂G₃）

即

u_o＝[R₂（R₃＋R₄）u_S1＋R₄（R₁＋R₂）u_S2]/（R₂R₃－R₁R₄）

5-8　电路如图5-2-14所示，设R_f＝16R，验证该电路的输出u_o与输入u₁～u₄之间的关系为u_o＝－（8u₁＋4u₂＋2u₃＋u₄）。[注：该电路为4位数字-模拟转换器，常用在信息处理、自动控制领域。该电路可将一个4位二进制数字信号转换成模拟信号。例如当数字信号为1101时，令u₁＝u₂＝u₄＝1，u₃＝0，则由关系式u_o＝－（8u₁＋4u₂＋2u₃＋u₄）得模拟信号u_o＝－（8＋4＋0＋1）＝－13。]

图5-2-14

图5-2-15

解：作出放大器左边电路的等效电路，如图5-2-15所示。

根据图5-2-15可得

所以u_o＝－u_iR_f/R＝－16u_i＝－（8u₁＋4u₂＋2u₃＋u₄）。