第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
4.1 复习笔记
一、拉普拉斯变换
1.定义及其收敛域
(1)双边拉普拉斯变换
(2)单边拉普拉斯变换
因为
所以欲使此积分存在,则f(t)e-σt必须满足绝对可积条件。在s平面(或称复平面)上使f(t)e-σt满足绝对可积条件的取值范围称为f(t)或F(s)的收敛域。
2.拉普拉斯变换的基本性质
令f1(t)↔F1(s),Re[s]>σ1,f2(t)↔F2(s),Re[s]>σ2,f(t)↔F (s),Re[s]>σ0
(1)线性性质:K1f1(t)+K2f2(t)↔K1F1(s)+K2F2(s),Re[s]>max(σ1、σ2)
(2)时域或s域平移:;f(t)e-at↔ F(s+a),Re[s]>σ0+Re[a]
(3)尺度变换:f(at)↔(1/a)F(s/a),a>0,Re[s]>aσ0
(4)微分特性:
d[f(t)]/dt↔sF(s)-f(0),收敛域至少为Re[s]>σ0
-tf(t)↔dF(s)/ds,Re[s]>σ0
(5)积分特性:
收敛域至少为Re[s]>max(σ0,0)
(6)卷积特性:f1(t)*f2(t) ↔F1(s) F2(s),收敛域至少为Re[s]>max(σ1、σ2);
(7)初值定理:
F(s)为真分式
(8)终值定理:
s=0在收敛域内
3.常用信号的拉普拉斯变换
表4-1-1 常用信号的拉普拉斯变换
4.拉普拉斯逆变换
(1)部分分式展开法求解
首先将F(s)展开成部分分式之和的形式,再对各部分分式分别取逆变换后叠加即可得出f(t)。
(2)留数定理求解
将拉氏逆变换的积分运算转化为求被积函数F(s)est在围线中所有极点的留数之和。
若pi为一阶级点,则在极点s=pi处的留数为
若pi为k阶级点,则在极点s=pi处的留数为
5.拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
图4-1-1
二、系统函数与系统特性
1.系统函数
系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为系统函数,即H(s)=RZS(s)/E(s)。
且冲激响应h(t)↔H(s)。
2.零极点分布
系统函数H(s)的分母多项式之根构成极点,分子多项式的根是零点。在s平面上,用“○”表示零点,用“×”表示极点。由H(s)的全部零极点构成的图称为系统的零极点分布图。根据系统的零极点分布可以分析系统的时域响应与频响特性。
3.全通函数
如果一个系统函数的极点位于左半平面,零点位于右半平面,而且零点与极点对于jω轴互为镜像,这种系统函数称为全通函数,此系统则称为全通系统或全通网络。它的幅频特性是常数。
4.最小相移函数
零点仅位于左半平面或jω轴的网络函数称为“最小相移函数”,该网络称为“最小相移网络”。非最小相移函数可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积,即非最小相移网络可以用最小相移网络与全通网络的级联来代替。
5.线性系统的稳定性
稳定系统是对任意的有界输入,其零状态响应也是有界的。
(1)稳定系统的时域判决条件为
(2)对于因果系统,稳定系统的S域判决条件:
①若H(s)的全部极点均位于s左半平面,则系统稳定。
②若H(s)的极点落在s右半平面或在虚轴上有二阶(含二阶)以上的极点,则系统不稳定。
③若H(s)的极点位于s平面的虚轴上且只有一阶,则系统处于临界稳定。