3.3 名校考研真题详
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）。[武汉大学2015研]
A．零状态响应是指系统没有激励时的响应
B．信号时移只会对幅度谱有影响
C．信号3e－2tu（t）为能量信号
D．一个信号存在拉氏变换就一定存在傅氏变换
【答案】C
【解析】A项，初始状态为0的响应称为零状态响应；B项，信号的时移只对相位谱有影响，而不是幅度谱；C项，
是有限值，因此是能量信号；D项，拉普拉斯变换是傅里叶变换的延伸，存在傅里叶变换一定就存在拉普拉斯变换，反之则不一定。
2．设
若
则f1（t）为（ ）。[武汉科技大学2017研]
A．f（2t－5）
B．f（2t－10）
C．f（－2t＋5）
D．f（－2t＋10）
【答案】A
【解析】根据傅里叶尺度变换性质有
再根据时移特性有
故f1（t）＝f（2t－5）。
3．信号td[f（t）]/d（t）的傅里叶变换为（ ）。[西南交通大学2014研]
A．F（ω）＋ωd[F（ω）]/dω
B．－F（ω）＋ωd[F（ω）]/dω
C．F（ω）－ωd[F（ω）]/dω
D．－F（ω）－ωd[F（ω）]/dω
【答案】D
【解析】根据傅里叶变换的时域微分性质及频域微分性质可知
所以
4．以下（ ）信号的傅里叶变换为周期函数。[武汉科技大学2017研]
A．cos（3πt）
B．e－tu（t）
C．u（t＋10）－u（t－10）
D．
【答案】D
【解析】根据傅里叶变换的时域频域关系可知，只有当时域信号是离散信号时，频域才会是周期的，只有D项满足离散这一条件。
5．信号x（t）的傅里叶变换为
则x（t）为（ ）。[西南交通大学2014研]
A．（sin2t）/（2t）
B．（sin2t）/（πt）
C．（sin4t）/（4t）
D．（sin4t）/（πt）
【答案】B
【解析】根据傅里叶对称性质可知
则
即x（t）＝（sin2t）/（πt）。
6．信号x（t）＝tu（t）－2（t－1）u（t－1）＋（t－2）u（t－2），信号
的傅里叶级数的系数应满足（ ）。[电子科技大学2013研]
A．Im{ak}＝0，a－k＝ak
B．Re{ak}＝0，a－k＝ak
C．Im{ak}＝0，a－k＝－ak
D．Re{ak}＝0，a－k＝－ak
【答案】A
【解析】已知x（t），则可以画出x（t＋1）的表达式为：x（t＋1）＝（t＋1）u（t＋1）－2tu（t）＋（t－1）u（t－1）。
其波形如图3-3-1所示。
图3-3-1
则y（t）的波形如图3-3-2所示。
图3-3-2
因此y（t）为实偶函数，则傅里叶系数也是实偶的，即Im{ak}＝0，a－k＝ak。
7．若周期信号x（n）是实信号和奇信号，则其傅里叶级数系数ak是（ ）。[西南交通大学2014研]
A．实且偶
B．实且为奇
C．纯虚且偶
D．纯虚且奇
【答案】D
【解析】根据傅里叶级数性质可知：x（n）是实信号和奇信号，则其傅里叶级数系数纯虚且奇，x（n）是实信号和偶信号，则其傅里叶级数系数实且偶。
二、填空题
1．连续信号x（t）＝sinωt的平均功率为______，全波整流信号x（t）＝|sinωt|的直流分量为______。[北京邮电大学2016研]
【答案】1/2；2/π
【解析】周期信号x（t）的平均功率为
全波整流信号x（t）的直流分量为
2．己知话音信号x（t）的带宽是4kHz，对其进行理想抽样，最低抽样率为______kHz；对x（t）cos（8000πt）进行理想抽样，则最低抽样率为______kHz。[北京邮电大学2016研]
【答案】8；16
【解析】根据奈奎斯特抽样定理可知，当抽样频率fs＞2fm时，抽样信号即可无失真恢复，因此对x（t）的抽样频率为8kHz。根据傅里叶频域卷积定理可知
故其频谱向右扩展了（8000π/2π）Hz，则抽样频率为2×（4kHz＋4kHz）＝16kHz。
3．信号
的傅里叶变换为______。[华中科技大学2012研]
【答案】[u（ω＋π）－u（ω－π）]e－jω
【解析】根据常用傅里叶变换对知
再根据傅里叶时移性质可知
最后根据傅里叶时域卷积定理有
4．已知某连续LTI系统的频率响应
则其冲激响应h（t）＝______。[北京交通大学2015研]
【答案】
【解析】由已知
根据对称性可知
再根据频移特性可得
5．频谱函数cosω所对应的时间函数为______。[北京邮电大学2016研]
【答案】（1/2）[δ（t－1）＋δ（t＋1）]
【解析】根据题意，即求cosω的傅里叶逆变换，由傅里叶变换的对称性质知
即cosω所对应的时间函数为（1/2）[δ（t－1）＋δ（t＋1）]。
6．已知f（t）的频带宽度为∆ω，则f（3t－1）的频带宽度为______。[武汉大学2015研]
【答案】3∆ω
【解析】由傅里叶尺度变换特性
可知，f（3t－1）较f（t）而言是在时域上压缩了3倍，则频谱就会扩展3倍，即3∆ω。
7．已知某周期信号
则其平均功率P＝______。[北京交通大学2015研]
【答案】5/2
【解析】由欧拉公式可得：
2cos（2πt－3）＝e－j3·ej2πt＋ej3·e－j2πt
sin（6πt）＝（1/2j）·ej6πt－（1/2j）·e－j6πt
则2cos（2πt－3）的傅里叶级数为F1＝e－j3，F－1＝ej3；sin（6πt）的傅里叶级数为F3＝1/2j，F－3＝－1/2j，而周期信号的平均功率为
8．己知信号x（t）的最高频率f0（Hz），则对信号x（t）x（2t）抽样时，其频谱不混迭的最大抽样间隔Tmax＝______（s）。[北京交通大学2015研]
【答案】1/（6f0）
【解析】由傅里叶尺度变换性质可知x（2t）的最高频率为2f0，再由时域相乘频域卷积性质可知，x（t）x（2t）的最高频率为3f0，故根据奈奎斯特抽样定理可得fs＝6f0，即Tmax＝1/（6f0）（s）。
三、判断题
连续非周期信号的频谱也是连续非周期的。（ ）[中山大学2010研]
【答案】对
【解析】连续非周期信号的频谱是连续非周期性的；周期性连续时间信号的频谱是非周期离散的；非周期离散的时间信号的频谱是周期性连续的；周期性离散的时间信号的频谱是周期性离散的。
四、计算题
1．已知f（t）的频谱
分别求信号f1（t）＝f（2t），f2（t）＝f（t）cos（2t）和f3（t）＝f（t/2）*f（t）的奈奎斯特角频率。[西安电子科技大学2017研]
解：由题意可知f（t）的最大角频率为2rad/s。
（1）由傅里叶尺度变换性质可知，f（2t）的频谱相较于f（t）扩展了2倍，因此f（2t）的最大角频率为2×2＝4rad/s，则奈奎斯特角频率为8rad/s。
（2）根据傅里叶频域卷积性质可知：F2（jω）＝（1/2）{F[j（ω＋2）]＋F[j（ω－2）]}
因此f2（t）的最大角频率为4rad/s，则奈奎斯特角频率为8rad/s。
（3）由傅里叶尺度变换性质可知，f（t/2）的频谱相较于f（t）压缩了2倍，因此f（2t）的最大角频率为2×0.5＝1rad/s，再根据傅里叶时域卷积定理可知，f3（t）的最大角频率与f（t/2）相等，即1rad/s，则奈奎斯特角频率为2rad/s。
2．已知周期信号
（1）求信号f（t）的基波周期T；
（2）画出f（t）三角函数形式的振幅谱和相位谱（即单边谱）；
（3）确定f（t）的功率。[西安电子科技大学2017研]
解：（1）f（t）中第二项周期T1＝2π/（π/4）＝8，第三项周期T2＝2π/（π/3）＝6，取最小公倍数有T＝24。
（2）f（t）可表示为
基波频率Ω＝2π/24＝π/12，因此三角函数级数的系数cn为
其振幅谱与相位谱分别如图3-3-3所示。
图3-3-3
（3）根据周期信号的功率求解公式知
3．计算sgn（t2－1）的Fourier变换。[中国科学技术大学2015研]
解：根据符号函数的定义，sgn（t2－1）为
则sgn（t2－1）可表示为1－2g2（t）。
根据常用傅里叶变换对有
则sgn（t2－1）的傅里叶变换为：2πδ（ω）－4Sa（ω）。
4．已知抑制载波双边带幅度调制的原理框图如图3-3-4（a）所示，图中f（t）为低频的调制信号，其频谱F（jω）如图3-3-4（b）所示。f（t）经调制高频的载波信号c（t）＝cosωct，得到已调信号y（t）。已调信号y（t）通过如图3-3-4（c）所示的同步解调器，得到最终输出信号f1（t）。请分别画出已调信号y（t），解调器中的f0（t），和解调器输出信号f1（t）对应的频谱图，并给出f1（t）与f（t）关系。[西安电子科技大学2017研]
图3-3-4
解：已知
根据傅里叶频域卷积定理可知
因为c（t）为高频信号，而f（t）为低频信号，故ωc＞＞ωm，故可画出y（t）对应的频谱图如图3-3-5所示。
图3-3-5
同理可得
因此f0（t）对应的频谱图如图3-3-6所示。
图3-3-6
由F1（jω）＝F0（jω）H（jω）可得f1（t）的对应频谱图如图3-3-7所示。
图3-3-7
对比f1（t）与f（t）的对应频谱图可知，f1（t）＝f（t）。
5．一理想低通滤波器的频率响应
若输入
求输出y（t）。[武汉科技大学2017研]
解：由f（t）表达式可知，f（t）是一个T＝2π，Ω＝1rad/s的周期函数，而H（jω）是一个截止频率为3rad/s的低通滤波器，因此f（t）中只有n＝0，n＝±1，n＝±2时的分量能够通过H（jω），因此输出为
6．如图3-3-8（a）所示系统，已知f（t）的傅里叶变换F（jω）如图3-3-8（b）所示，子系统的H（jω）＝jsgn（ω），求零状态响应y（t）。[武汉科技大学2017研]
图3-3-8
解：设y1（t）＝f（t）cos4t，则Y1（jω）＝（1/2）{F[j（ω－4）＋j（ω＋4）]}；
设x（t）＝f（t）*h（t），则X（jω）＝H（jω）F（jω）＝jsgn（ω）F（jω）＝j[g2（ω－1）－g2（ω＋1）]；
设y2（t）＝x（t）sin4t，则Y2（jω）＝（1/2）[g2（ω－5）－g2（ω－3）－g2（ω＋3）＋g2（ω＋5）]；
则Y（jω）＝Y1（jω）＋Y2（jω）＝[g2（ω－5）＋g2（ω＋5）]＝g2（ω）*[δ（ω－5）＋δ（ω＋5）]。
由对称性知
根据傅里叶频域卷积定理可知：y（t）＝2π·（1/π）Sa（t）·（1/π）cos5t＝（2/π）Sa（t）cos5t。
7．某幅度调制的接收系统如图3-3-9所示，若输入信号x（t）的频谱X（jω）如图3-3-10所示，载波c（t）＝cos（1000t），－∞＜t＜＋∞。
（1）试求解输入信号x（t）的时域表示式。
（2）试画出下图所示系统中信号c（t），z（t）和y（t）的频谱图。[北京交通大学2015研]
图3-3-9
图3-3-10
解：（1）X（jω）可表示为：X（jω）＝g4（ω）*[δ（ω＋1000）＋δ（ω－1000）]
根据频域卷积定理可知
（2）由系统框图可知
它们的频谱图分别如图3-3-11、3-3-12、3-3-13所示。
图3-3-11
图3-3-12
图3-3-13
8．计算[sin（4πt）cos（2πt）]/（πt）的傅里叶变换。[电子科技大学2013研]
解：已知傅里叶变换对有
根据傅里叶频域卷积定理可知
9．系统如图3-3-14所示，输入信号以及冲激响应为
求输出y（t）。[电子科技大学2013研]
图3-3-14
解：结合傅里叶时域微分性质可得h3（t）的傅里叶变换为：H3（jω）＝jωg2π（ω）
而x（t）的傅里叶变换为
故
又已知
因此h1（t）与h2（t）组成的系统是截止频率为4π的理想高通滤波器，因此输出Y（jω）＝0，即y（t）＝0。
10．信号x（t）的傅里叶变换为X（jω），x（t）如图3-3-15所示，计算：
（1）
（2）
（3）
[电子科技大学2013研]
图3-3-15
解：（1）根据傅里叶逆变换可知
故
（2）根据傅里叶时域微分性质可知
则
（3）因为x（t）是实信号，则通过奇偶分解可知
得
11．已知信号
对信号y（t）＝x1（t）x2（t）进行单位冲击采样后获得信号
试确定采样周期T的范围，确保可以由信号yp（t）无失真的还原出信号y（t）。[电子科技大学2013研]
解：已知傅里叶变换对
由此可知：
X1（jω）＝（1/2）.g6π（ω）*g4π（ω）⇒X1（jω）＝0，|ω|＞5π
X2（jω）＝g2π（ω）⇒X2（jω）＝0，|ω|＞π
同理可得
因此根据奈奎斯特抽样定理可得：ωm＝6π⇒ωs＞12π⇒T＜（1/6）。
12．图3-3-16所示系统。
图3-3-16
其中：
试回答以下问题：
（1）求x（t）及h1（t）的傅里叶变换；
（2）求xr（t）、p（t）以及xp（t）的频谱函数，并画出频谱图；
（3）求y（t）。[华中科技大学2012研]
解：（1）由常用傅里叶变换对
可得h1（t）的傅里叶变换为：H1（jω）＝（1/100）g200（ω）。
根据频域卷积定理可得
计算卷积得：X（jω）＝（100－|ω|/2）g400（ω）。
（2）由（1）可知
脉冲信号p（t）的周期为T＝0.02π，Ω＝2π/T＝100，则p（t）的频谱为
根据频域卷积定理可得
Xr（jω）、P（jω）、Xp（jω）的频谱图如图3-3-17所示。
图3-3-17
（3）因为Xp（jω）＝75/π，故xp（t）＝（75/π）δ（t），根据时域卷积定理有
五、证明题
1．已知x（t）是因果实信号，x（t）的傅里叶变换为X（jω），X（jω）＝R（jω）＋jI（jω），其中，R（jω）是X（jω）的实部，I（jω）是X（jω）的虚部，证明
[电子科技大学2013研]
证明：因为x（t）是实信号，所以由实信号奇偶分解性质可知
由能量定理和x（t）是因果信号可知
因此可得
则
因此可得
由于x（t）是实信号，所以R（jω）是偶信号，I（jω）是奇信号，则
证明完毕。
2．输入信号x（t）是周期信号，基本周期为T＝1，线性时不变系统的频率响应H（jω）如图3-3-18所示。若输出y（t）＝x（t），证明输入信号x（t）的傅里叶级数的系数ak应满足：ak＝0，|k|≠1且|k|≠2
[电子科技大学2013研]
图3-3-18
解：x（t）的基本周期T＝1可得
由于H（jk2π）仅在|k|＝1或|k|＝2时取值为1，则为了满足上式，必须要使x（t）的傅里叶级数系数满足在|k|≠1和|k|≠2时为0，即ak＝0，|k|≠1且|k|≠2。