第3章　傅里叶变换

3.1　复习笔记

一、周期信号的傅里叶级数

1．三角函数形式的傅里叶级数

周期函数f（t）可以由三角函数的线性组合来表示，若f（t）的周期为T₁，角频率为ω₁＝2π/T₁，则傅里叶级数展开表达式为

其中，直流分量：

余弦分量的幅度：

正弦分量的幅度：

2．指数形式的傅里叶级数

根据欧拉公式，可将三角函数形式的傅里叶级数转化成指数形式

其中

3．各系数之间的关系

F₀＝a₀，F_n＝（a_n－jb_n）/2，F_－n＝（a_n＋jb_n）/2，a_n＝F_－n＋F_n，b_n＝j（F_n－F_－n）

4．函数的对称性与傅里叶系数的关系

（1）偶函数的傅里叶级数中不含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项；

（2）奇函数的傅里叶级数中不含有余弦项和直流项，只可能含有正弦项；

（3）奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不会含有偶次谐波项。

二、傅里叶变换

傅里叶变换与傅里叶反变换的公式

1．傅里叶变换的基本性质

（1）对称性：若f（t）↔F（ω），则F（t）↔2πf（－ω）。

（2）线性：若f_i（t）↔F_i（ω），（i＝1，2，…，n），则

其中，a_i为常数，n为正整数。

（3）奇偶虚实性

无论f（t）是实函数或复函数，若f（t）↔F（ω），则都满足以下性质：

f（－t）↔F（－ω）、f*（t）↔F*（－ω）、f *（－t）↔F*（ω）

（4）尺度变换特性：若f（t）↔F（ω），则f（at）↔（1/∣a∣）F（ω/a）。

（5）时移特性：若f（t）↔F（ω），则

（6）频移特性：若f（t）↔F（ω），则

（7）微分特性

①时域微分特性

若f（t）↔F（ω），则d[f（t）]/dt↔jωF（ω），dn[f（t）]/dtn↔（jω）nF（ω）。

②频域微分特性

若f（t）↔F（ω），则d[F（ω）]/dω↔－jtf（t），dn[F（ω）]/dωn↔（－jt）nf（t）。

（8）积分特性

若f（t）↔F（ω），则

（9）卷积特性（卷积定理）

①时域卷积定理：时域卷积↔频域相乘

若f₁（t）↔F₁（ω），f₂（t）↔F₂（ω），则f₁（t）*f₂（t）↔F₁（ω）F₂（ω）。

②频域卷积定理：时域相乘↔频域卷积

若f₁（t）↔F₁（ω），f₂（t）↔F₂（ω），则f₁（t）·f₂（t）↔[F₁（ω）*F₂（ω）]/（2π）。

2．常用信号的傅里叶变换

表3-1-1　常用信号的傅里叶变换

三、周期信号的傅里叶变换

一般周期信号f（t）的傅里叶变换为

其中

T₁为信号的周期。

四、抽样信号的傅里叶变换及抽样定理

令连续信号f（t）↔F（ω），抽样脉冲序列p（t）↔P（ω），时域抽样后信号f_s（t）↔F_s（ω），频域抽样后信号f₁（t）↔F₁（ω），抽样周期为T_s，抽样频率ω_S＝2π/T_s。

1．时域抽样

即f_s（t）＝f（t）p（t），由频域卷积定理，有

2．频域抽样

即F₁（ω）＝F（ω）P（ω），由时域卷积定理，有：f₁（t）＝f（t）*p（t）。

3．时域抽样定理

一个频带受限信号f（t），若频谱只占据[－ω_m，ω_m]区间，则信号f（t）可以用等间隔的抽样值唯一地表示。抽样间隔必须不大于1/（2f_m）（其中ω_m＝2πf_m），或者说，最低抽样频率为2f_m。

4．频域抽样定理

若f（t）是时间受限信号，它集中在[－t_m，t_m]的时间范围内，若在频域中以不大于1/（2t_m）的频率间隔对f（t）的频谱F（ω）进行抽样，则抽样后的频谱F₁（ω）可唯一地表示原信号。

5．周期信号和抽样信号的特性

表3-1-2　周期信号和抽样信号的特性

五、雷达测距原理，雷达信号的频谱

设雷达的射频脉冲的持续时间为T₀，发送信号的周期为T₁，目标与雷达之间的距离为d（以m为单位），光速为c，τ代表往返时间，则有τ＝2d/c。

为考察测距精度质量给出以下两个指标数据：

1．距离分辨力

雷达能够可靠测量的两目标距离最小间隔Δd将受到T₀所限，即Δd＝cT₀/2。也即邻近目标回波信号应在脉冲持续时间T₀结束之后到达，不得过早。

2．距离模糊性

雷达能够测量的最大不混淆目标距离d_max将受到T₁所限，即d_max＝cT₁/2。这表明回波信号必须在发射下一个脉冲之前回到雷达接收机。