第3章　非稳态导热

3.1　 复习笔记

按照过程进行的特点，非稳态导热过程可以分为周期性的和瞬态的两大类。

一、非稳态导热过程的类型和特点

非稳态导热是指物体的温度随时间而变化的导热过程。

1．瞬态非稳态导热过程的特点

图3-1 瞬态导热的基本概念

物体的加热或冷却过程中温度分布的变化可以划分为三个阶段。

（1）非正规状况阶段

温度变化从边界面逐渐地深入到物体内部，此时物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，温度分布受初始温度分布的影响很大。

（2）正规状况阶段

随着时间的推移，初始温度分布的影响逐渐消失，此时物体内各处温度随时间的变化率具有一定的规律。

（3）建立新的稳态阶段

在理论上需要经过无限长的时间才能达到，事实上经过一段长时间后，物体各处的温度就可近似地认为已达到新的稳态。

2．周期性非稳态导热的特点

（1）物体内各处的温度按一定的振幅随时间周期地波动；

（2）同一时刻物体内的温度分布也是振荡变化的。

图3-2 周期性导热的基本概念及特点

二、无限大平壁的瞬态导热

1．加热或冷却过程的分析解法

如图3-3所示，这是一维瞬态导热问题。

图3-3 第三类边界条件下的瞬态导热

（1）导热微分方程式

（2）初始条件及边界条件

引入新的变量，称为过余温度。

（3）特征方程

当Bi→∞时，特征值为

当Bi→0时，特征值为β₁＝0，β₂＝π，β₃＝2π，…β_n＝（n－1）π。

（4）第三类边界条件下无限大平壁冷却时壁内的温度分布

（5）傅里叶准则

上式中是一个无量纲参数用符号Fo表示，称为傅里叶准则，它是非稳态导热过程的无量纲时间。

2．正规状况阶段—Fo准则对温度分布的影响

（1）当Fo≥0.2时，用级数的第一项来描述无量纲温度，即

（2）当Fo＜0.2时

（3）经过τ小时每平方米平壁在冷却过程中放出的热量

（4）冷却率

①冷却率的定义

m称为冷却率（或加热率），是过余温度对时间的相对变化率。

②冷却率的影响因素

在进入正常情况以后，即Fo≥0.2，冷却率m仅取决于物体的热物性参数、形状和尺寸以及物体表面的边界条件。

3．集总参数法—Bi准则对温度分布的影响

（1）毕渥准则

它表示物体内部导热热阻与物体表面对流传热热阻的比值。

（2）Bi准则对无限大平壁温度分布的影响

①当Bi→∞时意味着表面传热系数趋于无限大，亦即对流传热的热阻趋于零，这时平壁的表面温度几乎从冷却过程一开始立即降低到等于流体的温度t_f，即，平壁内的温度分布如图3-4（a）所示。

②当0＜Bi＜∞时，平壁内温度分布如图3-4（b）所示。

③当Bi→0时意味着物体的导热热阻趋于零，这时物体内的温度分布趋于均匀一致，如图3-4（c）所示。

图3-4 Bi准则对无限大平壁温度分布的影响

（3）集总参数法

①定义

当Bi＜0.1时，可以近似地认为物体的温度是均匀的，这种忽略物体内部导热热阻，认为物体温度均匀一致的分析方法称为集总参数法。

②推导过程

根据物体冷却过程的热平衡关系可写出

积分整理可得

式中V／A具有长度的量纲，用符号L表示，称为定型尺寸。这样

故θ＝θ₀exp（－BiFo）。

由上式可知，采用集总参数法分析时，物体中的过余温度随时间按指数曲线变化。

（4）时间常数

上述计算中ρcV/（hA）具有时间的量纲，称为时间常数。时间常数的数值越小表示测温元件越能迅速地反映流体的温度变化。

三、半无限大物体的瞬态导热

1．半无限大物体的定义

半无限大物体是指以无限大的yz平面为界面，在正x方向伸延至无穷远的物体。

2．半无限大物体瞬态导热的计算

（1）第一类边界条件

①温度变化的微分方程和单值性条件可表示如下

②半无限大物体内温度场分布

式中，。

（2）第二类边界条件

①在常热流密度作用下，非稳态导热过程的微分方程和单值性条件可表示如下

②半无限大物体内的热流密度

③半无限大物体内的温度分布

有上述可知，在表面热流密度q_w作用下，半无限大物体的表面温度在加热过程中随时间的增加而增大；半无限大物体中的温度变化在某一厚度范围内比较明显。

3．渗透厚度

δ（τ）称为渗透厚度，它反映在所考虑的时间范围内，界面上热作用的影响所波及的厚度，它是随时间而变化的。

4．ierfc（u）

ierfc（u）是高斯误差补函数的一次积分，当x＝0时，，第二类边界条件下半无限大物体表面温度为

可改写为

则

四、其他形状物体的瞬态导热

1．无限长圆柱体和球体

（1）温度分布函数

（1）热量

第三类边界条件下，无限长圆柱体初始温度变化到等于周围流体温度时所吸收或放出的热量

（2）定型尺寸

对于无限长圆柱体和球体，Fo≥0.2时，它们的加热或冷却过程进入正常情况阶段；当Bi＜0.1时，可以采用集总参数法分析。

①对于无限大平壁，Fo和Bi准则中的定型尺寸采用半壁厚δ；

②对于无限长圆柱体和球体，Fo和Bi准则中的定型尺寸采用半径R；

③对于其他不规则形状物体，Fo和Bi准则中的定型尺寸采用L＝V／A。

2．无限长直角柱体、有限长圆柱体和六面体

（1）无限长直角柱体

无限长直角柱体的过余温度场是厚度为2δ_x和厚度2δ_y两块无限大平壁过余温度场的乘积，即

（2）有限长圆柱体

对长度为2l和直径为2R的短圆柱体，把它看成是直径为2R的无限长圆柱体和厚度为2l的无限大平壁垂直相交得到。短圆柱体的温度分布可表述为

（3）六面体

边长为2δ_x、2δ_y和2δ_z的正六面体可看成是三块厚度分别为2δ_x、2δ_y和2δ_z的无限大平壁彼此垂直相交形成的，它的温度分布为

五、周期性非稳态导热

1．周期性非稳态导热的显著特征

（1）温度波的衰减现象

温度波的衰减是指振幅逐层减小的现象。

（2）温度波的延迟现象

温度波的延迟是指最大值出现时间逐层推迟的现象。

2．半无限大物体周期性变化边界条件下的温度波

（1）周期性变化边界条件的特点：

①由于边界条件是周期性变化的，使得物体中各处的温度也处于周而复始的周期性变化中，故已不存在所谓初始条件；

②边界条件可以认为是一个简谐波。

（2）半无限大物体表面温度的变化

（3）周期性变化边界条件下温度分布表达式

（4）周期性变化边界条件下温度分布的特点

①温度波的衰减

a．任意平面x处温度简谐波的振幅

b．衰减度

c．影响温度波衰减的主要因素

第一、物体的热扩散率α；在热扩散率大的物体内，周期性温度波传播时的衰减度小，即温度波衰减缓慢，温度波影响也越深；

第二、波动周期T；当波动的频率高，即周期越短，振幅衰减越快，所以日变化温度波比年变化温度波衰减要快得多；

第三、深度x。

②温度波的延迟

任何深度x处温度达到最大值的时间比表面温度达到最大值的时间落后一个相位角φ，延迟时间用ξ表示，则

热扩散率α对温度波的衰减与延迟的影响程度相同，但与周期T的关系则相反，周期长的温度波，延迟的相位角φ也大。

③向半无限大物体传播的温度波特性

a．给定物体表面温度的第一类边界条件

半无限大物体中温度波的波长x₀就是同一时刻温度分布曲线上相角相同的两相邻平面之间的距离。

以波长为x₀和振幅不断衰减的温度波向半无限大物体深度方向的传播就是温度波的传播特性。

图3-6 半无限大物体内的温度波

b．给定物体表面温度的第三类边界条件

给出半无限大物体与周围介质之间的对流传热系数h和周围介质温度周期性变化的规律，即

此时半无限大物体内的温度分布为

3．周期性变化的热流波

（1）热流密度

（2）表面热流密度的振幅A_q

（3）蓄热系数

s称为材料的蓄热系数，它表示当物体表面温度波振幅为1℃时，导入物体的最大热流密度。s的数值与材料的热物性以及波动的周期有关。