第六节　样本比例的抽样分布

如果在样本容量大小为n的样本中具有某一特征的个体数为X，总体比例用表示，样本比例用为。

由二项分布的原理和渐近分布的理论可知，当n充分大时，样本比率p近似服从正态分布，p的数学期望就是总体比率π，即：E（）＝。

而p的方差与抽样方法有关，在重复抽样条件下，有：

在不重复抽样时，p的方差为：

即在重复抽样时，p的分布为：

不重复抽样时，p的分布为：

一般来讲，当，并且时，就可以认为样本容量足够大。对于无限总体，不重复抽样可以视为重复抽样计算方差。对于有限总体，当很大，而时，修正系数会趋向1，这时也可以按重复抽样的方法计算方差。

由上述分析可以看出，随着样本容量的增大，样本比例的方差愈来愈小，说明样本比例随样本容量增大，围绕总体比例分布的峰度愈来愈高。

例5：对敌人防御地段进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值是2，方差是1.69，则100次轰炸中有187～213颗命中目标的概率为多少？

解：设第次轰炸命中目标的炸弹数为则100次轰炸命中目标的炸弹数

且

由中心极限定理可知

则有