第二节 离散程度的度量
一、分类数据：异众比率
异众比率是指非众数组的频数占总频数的比例，用
表示。其计算公式为：
式中，
为变量值的总频数；fm为众数组的频数。
异众比率主要用于衡量众数对一组数据的代表程度。异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重越大，众数的代表性就越差；异众比率越小，说明非众数组的频数占总频数的比重越小，众数的代表性越好。
异众比率主要适合测度分类数据的离散程度。对于顺序数据以及数值型数据也可以计算异众比率。
二、顺序数据：四分位差
四分位差（内距或四分间距）是上四分位数与下四分位数之差，用
表示。其计算公式为：
。
四分位差反映了中间50%数据的离散程度，其数值越小，说明中间的数据越集中；其数值越大，说明中间的数据越分散。
四分位差不受极值的影响，其主要用于测度顺序数据的离散程度；对于数值型数据也可以计算四分位差，但不适合分类数据。
三、数值型数据：极差、平均差、方差和标准差
1．极差
一组数据的最大值与最小值之差称为极差，也称全距，用R表示。其计算公式为：R＝max（xi）－min（xi）。
由于极差只是利用了一组数据两端的信息，因此容易受极端值的影响，并且不能反映出中间数据的分散状况，因而不能准确描述出数据的分散程度。
2．平均差
平均差也称平均绝对离差，它是各变量值与其平均数离差绝对值的平均数，用
表示。
（1）根据未分组数据计算平均差的公式为：
（2）根据分组数据计算平均差的公式为：
平均差以平均数为中心，反映了每个数据与平均数的平均差异程度，它能全面准确地反映一组数据的离散状况。平均差越大，说明数据的离散程度越大；反之，则说明数据的离散程度越小。
3．方差和标准差
（1）方差：各变量值与其平均数离差平方的平均数。
样本方差：样本数据个数减1后去除离差平方和。其中样本数据个数减1，即n－1称为自由度。
设样本方差为s2，根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为：
未分组数据：
分组数据：
（2）标准差：方差的平方根。与方差不同的是，标准差是有量纲的，它与变量值的计量单位相同，其实际意义要比方差清楚。
标准差的计算公式分别为：
未分组数据：
分组数据：
4．相对位置的度量
有了平均数和标准差之后，可以计算一组数据中各个数值的标准分数，以测度每个数据在该组数据中的相对位置，并可以用它来判断一组数据是否有离群数据。
（1）标准分数
变量值与其平均数的离差除以标准差后的值称为标准分数，也称标准化值或z分数。设标准分数为z，则有
标准分数给出了一组数据中各数值的相对位置；它具有平均数为0、标准差为1的特性。实际上，z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数据分布的形状，而只是将该组数据变为平均数为0，标准差为1的一组新数据。
（2）经验法则
当一组数据对称分布时，经验法则表明：
约有68%的数据在平均数±1个标准差的范围之内；
约有95%的数据在平均数±2个标准差的范围之内；
约有99%的数据在平均数±3个标准差的范围之内。
在3个标准差之外的数据，在统计上称为离群点。
例3：某班学生的平均成绩是80分，标准差是10分。如果已知该班学生的考试分数为对称分布，可以判断考试分数在70到90分之间的学生大约占（ ）。
A．95%
B．89%
C．68%
D．99%
【答案】C
例4：如果一组数据是对称分布的，则在平均数加减3个标准差之内的数据大约有（ ）。
A．68%
B．90%
C．95%
D．99%
【答案】D
（3）切比雪夫不等式
如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再适用，这时可使用切比雪夫不等式，它对任何分布形状的数据都适用。
对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有（1－1／k2）的数据落在k个标准差之内。其中k是大于1的任意值，但不一定是整数。对于k＝2，3，4，该不等式的含义是：
至少有75%的数据落在平均数±2个标准差的范围之内；
至少有89%的数据落在平均数±3个标准差的范围之内；
至少有94%的数据落在平均数±4个标准差的范围之内。
例5：如果一组数据不是对称分布的，根据切比雪夫不等式，对于k＝4，其意义是（ ）。
A．至少有75%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内
B．至少有89%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内
C．至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内
D．至少有99%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内
【答案】C
四、相对离散程度：离散系数
对于平均水平不同或计量单位不同的不同组别的变量值，是不能用标准差直接比较其离散程度的。为消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测度值的影响，需要计算离散系数。
离散系数也称为变异系数，它是一组数据的标准差与其相应的平均数之比。其计算公式为：
离散系数是测度数据离散程度的相对统计量，其作用主要是用于比较对不同样本数据的离散程度。离散系数大，说明数据的离散程度也大；离散系数小，说明数据的离散程度也小。
例6：甲、乙两班同学参加了统计学期末考试，结果两班的平均成绩
，标准差
，则统计学成绩离散程度较大的是（ ）。
A．甲班离散程度较大
B．乙班离散程度较大
C．两班离散程度一样大
D．无法判断
【答案】B
【解析】为了消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测度值的影响，需要计算离散系数，其计算公式为：
，标准差系数越大，离散程度越大。由于
，所以乙班学生统计学成绩离散程度较大。
例7：两组数据的平均数不等（平均数都为正值），但标准差相等，则（ ）。
A．平均数小的，离散程度大
B．平均数大的，离散程度大
C．平均数小的，离散程度小
D．两组数据的离散程度相同
【答案】A
【解析】变异系数是指一组数据的标准差与其相应的平均数之比，是用来测度数据离散程度的相对统计量。其计算公式为：。可见，在标准差相等的情况下，平均数小的，其变异系数大，即离散程度较大。