第三章　一元函数积分学

一、单项选择题

1．设函数f（x）与g（x）在[0,1]上连续，且f（x）≤g（x）,且对任何的c∈（0,1）（　　）.

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】因为，则根据积分比较定理有

2．设则（　　）.

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

由此可见在内连续，且在处不可导.

4．若在[0,1]上有f（0）=g（0）=0,f（1）=g（1）=a>0,且f″（x）>0,g″（x）<0，则的大小关系是（　　）.

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】因为，故曲线是凹的，，故曲线是凸的，由图形可知

5．设a,b为常数，且，则

A．a任意，b=0

B．a任意，b=－1

C．

D．

【答案】C

【解析】

6．考察下列叙述：

（　　）.

A．只有①，②正确

B．只有②，③正确

C．只有②，④正确

D．只有③，④正确

【答案】C

【解析】反例证明①③不正确：①例如，在x=0间断，但是f²（x）=1在x=0处连续；③例如，，则不存在，但是|f（x）|在[a,b]上可积.

7．下列函数在指定区间上不存在定积分的是（　　）.

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】f（x）在[a,b]上可积的充分条件是：f（x）在[a,b]有界，至多有有限个间断点，ABD三项函数在指定区间可积.

8．[－a,a]上（　　）.

A．g（x）是单调增的

B．g（x）是单调减的

C．g（x）是偶函数

D．g（x）是奇函数

【答案】C

【解析】考察g（x）的奇偶性：

，

因此g（x）是偶函数.

9．（　　）.

A．定积分且值为

B．定积分且值为

C．反常积分且发散

D．反常积分且值为

【答案】B

【解析】被积函数f（x）=xln²x在x=0无定义，但是，若定义补充f（0）=0,则f（x）在[0,1]连续，因此是定积分.

10．在下列定积分中，积分值等于零的是（　　）.

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】A项，x⁷sin⁹x是偶函数，=2>0;

B项，==－，所以是奇函数x是偶函数=2>0；

C项，

D项，=＋=<0.

11．考查一元函数f（x）有下列4条性质.

（　　）.

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】已知结论：f（x）在[a,b]可导f（x）在[a,b]上连续f（x）在[a,b]上可积且存在原函数.

12．设函数f（x）连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是（　　）.

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】已知结论：若f（x）在[－a,a]连续为奇函数，则一定是偶函数.由此结论，分析四个答案，只有B项的符合.

13．（　　）.

A．F（0）是极大值.

B．F（0）是极小值.

C．F（0）不是极值，但（0,F（0））是曲线F（x）的拐点坐标.

D．F（0）不是极值，（0,F（0））也不是曲线F（x）的拐点坐标.

【答案】C

【解析】求F（x）的一阶和二阶导数：

F”（x）=0，又由f’（x）>0；当x<0时，F”（x）<0；当x>0时，F”（x）=0>0

因此（0，F（0））是曲线的拐点.

由F”（x）的符号可得：

当x<0时，F’（x）单调下降，因此F’（x）>F’（0）=0；

当x>0时，F’（x）单调上升，因此F’（x）>F’（0）=0；

从而推出F（x）在（－∞,＋∞）单调上升，F（0）不是极值点.

14．不定积分不等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

所以ACD三个选项都等于该不定积分。

15．设，，则、的大小关系是（　  ）

A．  B．  C．  D．

【答案】A

【解析】因为，，而函数是增函数，所以，，从而。

16．不定积分（　  ）

A．　 B．　 C．　 D．

【答案】B

【解析】

17．设f（x）是区间[0,π/4]上的正值连续函数，且，若把I,J,K按其积分值从大到小的次序排列起来，则正确的次序是（　　）

A．I,J,K

B．J,K,I

C．K,I,J

D．J,I,K

【答案】D

【解析】运用换元法在同一区间比较积分大小。

 

18．设f（x）是（－∞，＋∞）上的连续的偶函数，且|f（x）|≤M当x∈（－∞,＋∞）时成立，则是（－∞，＋∞）上的（　　）

A．无界偶函数

B．有界偶函数

C．无界奇函数

D．有界奇函数

【答案】B

【解析】当x∈（－∞,＋∞）时，有

 

说明函数F（x）是（－∞,＋∞）上的偶函数。

函数F（x）是偶函数，因此讨论x≥0时F（x）是否有界。因为

 

说明函数F（x）在区间（－∞,＋∞）上有界。

19．sin2x的一个原函数是（　  ）.

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

20．

（　　）.

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

21．=（　　）.

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

22．若f（x）的导函数是e^－x＋cosx，则f（x）的一个原函数为（　　）.

A．e^－x－cosx

B．－e^－x＋sinx

C．－e^－x－cosx

D．e^－x＋sinx

【答案】A

【解析】

23．

（　　）.

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

24．

设f（x）是连续的偶函数，则其原函数F（x）一定是（　　）.

A．偶函数

B．奇函数

C．非奇非偶函数

D．有一个是奇函数

【答案】D

【解析】奇函数的导函数是偶函数，但是偶函数的积分不一定是奇函数，因为积分后面要加一个C，C不为0时，为非奇非偶函数；若C=0，则为偶函数.

25．

若f（x）是以l为周期的连续函数，则其原函数（　　）.

A．是以为周期的函数

B．是周期函数，但周期不是

C．不是周期函数

D．不一定是周期函数

【答案】D

【解析】

26．

（　　）.

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

27．

（　　）.

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

28．

（　　）.

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

29．

以下四个命题中，正确的是（　　）.

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

1.

30．

A．必要条件

B．充分条件

C．充要条件

D．以上均不对

【答案】B

【解析】

31．设函数f（x）与g（x）在[0,1]上连续，且f（x）≤g（x）,则对任何c∈（0，1），（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

32．

A．一定成立

B．在上时一定不成立

C．在上当时一定成立

D．只有在上，，时成立

【答案】C

【解析】

33.=（　　）.

A．－4/3

B．4/3

C．－2/3

D．不存在

【答案】D

【解析】

34.下列反常（广义）积分收敛的是（　  ）.

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

35．下列结论中正确的是（　　）.

A．与都收敛

B．与都发散

C．发散，收敛

D．收敛，发散

【答案】D

【解析】

36.

下列反常（广义）积分发散的是（　　）.

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

37.

A．0

B．1

C．2

D．－2

【答案】C

【解析】

38．

下列式中正确的是（　　），其中.

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

39．

A．在的某个小区间上

B．在上一切均使

C．在上至少有一点使

D．在上不一定有使

【答案】C

【解析】

40．

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

41．函数在区间上有连续导数，则定积分在几何上表示（　  ）

A．曲边梯形的面积　  B．梯形的面积　  C．曲边三角形的面积　  D．三角形的面积

【答案】C

【解析】

所以原积分代表矩形减去以f（x）为曲边的梯形面积后所剩的面积（注意矩形和曲边梯形有公共点（a，f（a））），即曲边三角形的面积。

42．

A．π

B．π/2

C．π/3

D．π/4

【答案】D

【解析】

43．（　　）

A．1/3

B．0

C．2/3

D．－1/3

【答案】C

【解析】运用分段积分法和牛顿莱布尼茨公式，得到

44．

则I，J，K三个数的大小关系是（　　）.

A．I<J<K

B．J<K<I

C．K<J<I

D．I<K<J

【答案】C

【解析】当x=1时，它们都相等。当1<x≤2时

即K＜J＜I。