二、计算题
1．设
（1）求a的值使f（x）处处连续；（2）再求b的值使f（x）处处可导。
解：当
时，
显然连续．
当
时
若连续，则
．
当时，显然可导．
当时
故
时，处处可导．
2．设函数y=y（x）由方程组
确定，求
解：将两式分别求微分得
3．设f（x）具有二阶连续导数，f（a）=0,
求g′（x），并证明g（x）的一阶导数在x=a点处连续。
解：当
时，
当
时
故
在处连续．
4．
解：首先证明一般性结论：若
是定义在R上的一个连续的周期函数，周期为p，则
事实上，对于任意
，存在n及
使得
，因此由周期函数的积分性质，有
由于
是周期为
的连续函数，故可以直接利用上述结论，得
5．
解：方程组中的
，需要用到隐函数求导法，方程两边均对
求导，得
，即
．
故
又
时，
，故
．
6．
解：
时，
时，
时，要用导数的定义求导
则
综上所述，有
7．
解：由
连续可知，
使当
时，
．于是，
即
8．
解：采用莱布尼茨公式较为简单：
由
，得
9．
解：由
两边取对数得
两边对
求导得 
则 
①
即 
将①两边对求导得
则 
10．研究方程xlnx＋A=0实根的个数．
解：构造函数
，则有
令
解得
．
而
故
故当
时，由于
的最小值
，则方程
在
内无实根，在
内有一个实根．
当
时，最小值
，则方程
在
和
内各有一实根．
当
时，方程
只有一个实根
．
当
时，的最小值
，则方程
无实根．
11．设f（x）=x3－3x＋b,就常数b的不同情况，确定函数f（x）的零点个数。
【解】本题根据f（x）的单调区间、极值点和无穷处f（x）的大小来确定函数f（x）的零点个数。
可知f（x）在（－∞，－1]单调上升，在[－1,1]单调下降，在 [1,＋∞）单调下降。
x=±1为极值点，此处的函数值为
当常数b有不同的取值范围时，可列表如下
总结:当|b|＞2时f（x）有唯一的零点，|b|=2时f（x）有2个零点，|b|＜2时f（x）有3个零点。
12．
设f（x）在[a, ＋∞）上连续，在（a，＋∞）内二次可导，且存在b∈（a，＋∞）使得f（a）=f（b）
求证：至少存在一点ξ∈（a，＋∞），使得f″（ξ）＞0．
【证明】由题中条件可知f（x）在区间[a，b]上满足罗尔定理全部条件，因此存在α∈ （a，b），使f＇（α）=0。
由
与极限的不等式性质知存在β>b,使得f（β）> f（b）．
函数f（ x ）在区间[ b,β]上满足拉格朗日中值定理全部条件，存在y∈（b，β），使得
由题中条件可知f＇（x）在区间[α，γ]上满足拉格朗日中值定理全部条件,因此存在ξ∈（α，γ）即至少存在一点ξ∈（a，＋∞），使得f＇（y）－f＇（a）= f″（ξ）（y－a），即
13．（Ⅰ）求证：对任何0＜|x|≤1，存在θ（x）∈（0,1），使得
（Ⅱ）求极限
解：（1）对任何0<|x|≤1，应用拉格朗日中值定理有
（*）
其中ξ∈（0,x），则0＜ξ/x＜１，令θ（x）=ξ/x，则θ（x）∈（0,1），ξ=xθ（x），（*）式可改写为
（2）由（1）可知
根据θ（x）∈（0,1），知
14．确定方程1＋lnx=kx的根的个数，其中常数k可取任何实数
解：引入函数F（x）=1＋lnx－kx，对任何实数k，函数F（x）在区间（0，＋∞）可导，
。
当k≤0时，在区间（0，＋∞）内F′（x）＞0，函数F（x）在区间（0，＋∞）内单调增加，又因
则当k≤0时，函数F（x）在区间（0，＋∞）内只有一个零点，即方程1＋lnx=kx只有一个根。当k=0时，解得x=1/e。
当k＞0时，
从而函数F（x）在区间（0,1/k）内单调增加，在区间（1/k,＋∞）内单调减少，在点x=1/k处取得最大值
当k＞1时，－lnk<0，方程1＋lnx=kx无根；k=1时，－lnk=0，这时方程1＋lnx=kx只有一个根x=1；当0<k<1时，－lnk＞0, 这时方程1＋lnx=kx有2个根x1,x2，且x1∈（0,1/k）,x2∈（1/k,＋∞）。
15、已知函数
，求
。
解：
。
16、求函数
的极值。
解：
，
，
令
，解得
或者
。
而
，
，所以是函数的极小值点，是函数的极大值点。
17．求函数
的单调增减区间和极值。
解：
，
，
。
令
，得函数的驻点为：
。
且当
时，
，f（x）单调递减，
当
时，
，f（x）单调递增，
当
时，，f（x）单调递减，
当
时，，f（x）单增。
所以，函数的单调减区间为：
，
；单调增区间为：
，
。
并且，
是函数的极大值点，
和是函数的极小值点。
18．已知某产品的需求函数为
，成本函数为
，求产量为多少时利润最大。
解：设利润函数为f（Q），则
，
，
，令
，解得Q=20。
又因为
，所以Q=20是函数的极大值点，因为只有一个驻点，所以Q=20是函数的最大值点。所以产量为20时利润最大。