第4章　均衡纯保费

单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）

1．（2008年真题）现有保额为20000元的终身寿险保单，记π为每张保单的年缴纯保费，L(π)表示每张保单在签单时保险人的损失变量。设预定利率为i=6%，签单时被保险人的年龄为40岁，已知₃₉q₄₀=0.4939，₄₀q₄₀=0.5109，计算使得Pr[L(π)>0]<0.5的最小年缴保费π的值为（　　）元。

A．117.57

B．121.92

C．130.07

D．140.15

E．147.16

【答案】B

【解析】由已知，有

而

是关于k减函数，即L(π)取满足条件的最高值时，k须取39，故

解得：π≥121.92。

2．（2008年真题）设，则与值分别为（　  ）。

A．0.031；0.011

B．0.011；0.031

C．0.024；0.018

D．0.018；0.024

E．0.014；0.028

【答案】B

【解析】有

。

解得：x=0.011，y=0.031。

3．（2008年真题）30岁的人购买完全离散的10年定期保险，若死亡在10年内发生，则在死亡年末给付额为1个单位；若被保险人在10年末仍生存，则所有的保费都将退还（不含利息），已知

计算该保险的均衡纯保费为（　  ）。

A．0.031　

B．0.035

C．0.39

D．0041

E．0045

【答案】C

【解析】设该保险的均衡纯保费为P，由题意得：

4．（2008年真题）关于(x)的完全连续终身寿险保单，保险人的损失变量记为，剩余寿命了T(x)的概率密度函数为

利率力δ=0.05，那么保险人面临正损失的概率为（　　）。

A．0.47

B．0.48

C．0.49

D．0.50

E．0.51

【答案】E

【解析】面临正损失的概率即

5．（2008年真题）49岁的人购买完全离散单位保额终身寿险，在保单签发时保险人的损失变量记为L，已知：

则E(L)=(　  )。

A．－1.12

B．－0.6

C．－0.25

D．0.15

E．0.00

【答案】C

【解析】由已知，有：

故。

6．（2008年真题）已知死亡在各个年龄中均匀分布，且满足：

则=（　  ）。

A．153

B．155

C．157

D．159

E．161

【答案】B

【解析】由已知，有

从而

故

故

7．（样题）如果且，那么=（　　）。

A．0.040

B．0.041

C．0.042

D．0.043

E．0.044

【答案】B

【解析】由已知，有

故

8．（样题）设，，，计算=（　　）。

A．0.005

B．0.006

C．0.007

D．0.008

E．0.009

【答案】D

【解析】由已知，得：

，

故  。

9．（样题）已知，i＝0.06，α(∞)＝1.000283，β(∞)＝0.509855，假设死亡是均匀分布的。计算完全连续保费=（　　）。

A．0.597

B．9.598

C．0.599

D．0.600

E．0.601

【答案】E

【解析】由已知，得

，

。

10．（样题）已知，i＝0.06，假设死亡均匀分布，计算=（　  ）。

A．0.4

B．0.5

C．0.6

D．0.7

E．0.8

【答案】B

【解析】，，

，，

故

=0.5003。

11．（样题）给定如下条件

（1）

（2）

（3）

则δ满足（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】A

【解析】由已知，有：

，

即

，

从而。

12．对于普通终身寿险，设，则其年缴纯保费P_x=（　　）。

A．0.02199

B．0.03774

C．0.04399

D．0.04499

E．0.04774

【答案】B

【解析】已知i=6%，所以v=1/(1+i)=1/1.06=0.943396，d=i/(1+i)=0.06/1.06。

其精算现值为：

＝0.4000。

又，故=0.037736。

13．设一个0岁的整值剩余寿命服从概率为的分布，在其死亡年末赔付1单位的保单，每年年初交付保费P，当保费按平衡原理决定时，利率i=0.06。则保险人亏损现值的方差为（　　）。

A．0.17698

B．0.25363

C．0.36632

D．0.43667

E．0.51898

【答案】A

【解析】由于，由平衡原理得：，

即，

所以P=0.3667。

故

=0.17698。

14．已知，则=（　　）。

A．0.002

B．0.003

C．0.006

D．0.008

E．0.011

【答案】E

【解析】

故=0.011。

15．对(x)签发了一份完全离散式保额为1的终身寿险，已知：

（1）L为签单时损失随机变量，并假设均衡纯保费由平衡原理决定；

（2）Var(L)=0.75；

（3）若改变年缴纯保费的数额，并设此时签单损失随机变量为。

若E()=－0.5，则Var()=（　　）。

A．1.6470

B．1.6875

C．1.8879

D．1.8890

E．2.2561

【答案】B

【解析】

=2.25Var(L)=2.25×0.75=1.6875。

16．对（x）的一份保额为1000元的三年期寿险，已知i=0.25，=0.5，=0.9，=1，则其年缴均衡纯保费为（　　）元。

A．248.48

B．268.52

C．298.61

D．348.61

E．398.66

【答案】E

【解析】易得其均衡纯保费为1000，

其中满足：

。

由此得如下表所示的数据：

所以×10432=0.7136×0.8，即=0.39866。

故其年缴均衡纯保费为：1000=398.66（元）。

17．已知，则保险金额为1元的终身寿险在全离散式下保险损失L的标准差为（　　）。

A．0.002

B．0.014

C．0.200

D．2.000

E．4.000

【答案】C

【解析】其年缴纯保费=0.01157，

由

，

所以

=0.04，

故。

18．在2006年1月汤姆40岁，他购买了一份5年缴费的10年定期寿险，保额为100000，已知：

（1）死亡给付在死亡发生时支付；

（2）保费为4000在前五年的每年初缴纳；

（3）i=0.05；

（4）L是在签单时的损失随机变量。

假设汤姆在2008年6月30日死亡，则L=（　  ）。

A．77080

B．77090

C．77100

D．77110

D．77120

【答案】A

【解析】₀L=100000v^2.5－=77079。

19．对于一个特殊的全离散型限10年缴费终身寿险，该生命现年30岁，每年缴纳保费为π元，给定：

（1）死亡给付为1000元再加上保费的返还（不带利息）；

（2）A₃₀=0.102；

（3）=0.088；

（4）=0.078；

（5）=7.747；

则每年缴纳的保费π=（　　）元。

A．15

B．18

C．20

D．24

E．30

【答案】A

【解析】因为=1000A₃₀++10π×_10|A₃₀，

所以π=

==

=15.024（元）。

20．对(75)签发的一份保额为1000元的完全离散式终身寿险，在第k年初缴纳的保费为π_k，k=0，1，2，…，又已知下列条件：

（1）π_k=π₀(1+i)^k；

（2）死亡服从De－Moivre规则，ω=105；

（3）i=0.05，=15.4；

（4）保费由平衡原理确定。

试计算π₀=（　　）。

A．32.6

B．32.8

C．33.0

D．33.1

E．33.3

【答案】D

【解析】由平衡原理得

=

即=。

由De Moivre规则有：

_tp₇₅μ_75+t=1／(ω－75)=1／(105－75)=1／30，

_t|q₇₅==1／30，

_tp₇₅=1－_tq₇₅=1－t／30，

故=

=30－(1／30)×[29×30／2]

=15.5。

=(1／30)

=15.4／30，

故π₀=1000×15.4／[15.5×30]=33.1。

 

21．1－=（　　）。

A．

B．

C．

D．A₃₀

E．A₄₅

【答案】E

【解析】1－=1－

=1－=

==A₄₅。

22．有100个年龄为2的俱乐部成员，每人向基金捐纳金额为ω元，该基金年收益率为10%，若俱乐部内有人死亡，则该基金立即向其支付1000元，设该基金能够满足赔付的概率为0.95，若i=10％，=0.06，=0.01，且各成员的未来寿命彼此独立，则用正态近似法计算金额ω=（　　）元。

A．73.00

B．73.06

C．73.16

D．73.30

E．73.36

【答案】C

【解析】由题意得：

0.95=Pr[(Z₁+Z₂+…+Z₁₀₀)×1000≤100ω]，

Z_i彼此独立，且与ν^T同分布，设Y=，

则期望值E(Y)=0.06，

方差Var(Y)=Var(Z)=(0.01－0.06²)×=6.4×10^－5。

由于Y近似于正态分布，有：

0.95=Pr(Y≤ω/1000)=Pr

所以ω=1000(0.06+1.645×0.008)=73.16（元）。

23．考虑现年为45岁的全离散型终身寿险，假设给付如下条件：

（1）死亡给付1000元在死亡年末发生；

（2）前15年缴付均衡纯保费，由于物价上涨，后15年缴付π元保费；

（3）i=0.06；

（4）=14.1121，=11.1454，=7.2170；

（5）₁₅E₄₅=0.37283，₁₅E₆₀=0.27498。

则保费π=（　　）元。

A．16.1

B．16.5

C．17.3

D．18.0

E．18.1

【答案】C

【解析】

因为+×=1000A₄₅，

即+×=1000A₄₅

其中A₄₅=1－=1－×14.1121=0.2012，并代入已知数据解得：π=17.346（元）。

24．考虑限期10年缴费20年期的定期寿险，保险金额为100000，已知：

（1）死亡给付在死亡发生时刻；

（2）保费1600在每年年初缴付；

（3）i=0.05；

（4）L为未来损失的随机变量。

则min(L)=（　  ）。

A．5.60

B．9.53

C．－9.53

D．－10.05

E．－12.97

【答案】E

【解析】因为

所以min(L)=－=－12.973。

25．考虑(30)岁3年期的定期寿险，保费半年缴付一次，且保费缴付只发生在第1年，保险金额给付如表4-1所示。

表4-1  保险金额给付表

假设死亡在各年龄内服从均匀分布，1000q₃₀=1.53，1000q₃₁=1.61，1000q₃₂=1.70，i=0.06。则其保费为（　　）。

A．1.10

B．1.28

C．1.45

D．1．.63

E．1．75

【答案】B

【解析】因为=1000vq₃₀++

=+×+×0.99847×0.99839×

=1.4434+0.71535+0.35572

=2.51447。

而=+=+=0.98257，

故所求保费为=1.28。

26．考虑一全离散型终身寿险，限期5年缴费，保险年龄为（40），保险金额为100000元，已知：

（1）在缴费期死亡，仅返还所缴保费（不带利息），不进行保险金额的赔付；

（2）i=0.06；

（3）=0.04042；

（4）=14.8166，=14.1121；

（5）₅E₄₀=0.73529。

则其年缴保费为（　　）元。

A．3363

B．3463

C．3563

D．3663

E．3763

【答案】A

【解析】由于=－=14.8166－0.73529×14.1121=4.4401；

=100000A₄₅×₅E₄₀+

所以π=100000A₄₅×₅E₄₀/(－)

=100000×0.20120×0.73529/(4.4401－0.04042)

=3363（元）。

27．对于全离散型终身寿险，设=c·0.94^k+1（k=0，1，2，…），其中c=0.06/0.94，i=5％。则其年缴纯保费P_x=（　  ）。

A．0.008

B．0.012

C．0.016

D．0.038

E．0.057

【答案】E

【解析】由于===0.5455。

而，所以==9.5445。

故P_x=0.057。

28．对于全离散型终身寿险，设=c·(0.96)^k+1（k=0，1，2，…），其中c=0.04/0.96，i=5%，设L为签单时的损失随机变量。则Var(L)=（　　）。

A．0.2693

B．0.2897

C．0.3099

D．0.3216

E．0.3593

【答案】A

【解析】由于=0.4444，

而，所以=11.67，

又由于==0.2807，

所以Var(L)==0.2693。

29．考虑保额为10000元的全离散式终身寿险。用π表示该保单的年缴保费，L(π)表示该保单签发时的保险人亏损随机变量，其中投保年龄为25岁，且A₂₅=0.19，d=0.05。则当L(π_a)的均值为0时，保费π_a=（　  ）元。

A．117.28

B．135.75

C．135.79

D．136.70

E．136.75

【答案】A

【解析】依题意知π_a即为按照精算等价原理决定的年缴均衡纯保费，则

π_a=10000P₂₅=10000×=117.28（元）

30．保额为10000元的全离散式终身寿险。用π表示该保单的年缴保费，L(π)表示该保单签发时的保险人亏损随机变量，其中投保年龄为25岁，且A₂₅=0.19，²A₂₅=0.064，d=0.057。则用正态近似决定保费π_b=（　　）元时，能使100份这种相互独立保单的总亏损为正的概率等于0.05。

A．155.37

B．156.40

C．158.43

D．160.47

E．161.49

【答案】C

【解析】在保费为π_b时，单个保单的亏损为：

它的期望值与方差分别为：

=，

=，

所以。

对100份这种保单，每一份的亏损为：L_j(π_b)=L(π_b)(j=1，2，…，100)，则总亏损的期望值为：E(S)=100E[L(π_b)]。

由于各个保单相互独立，则总亏损的方差为：Var(S)=100Var[L(π_b)]，

π_b由Pr[S＞0]=0.05决定，由正态近似：

即10×=1.645，

所以π_b=10000d=158.43（元）。

31．在30岁时签单的完全离散的保额为1元的10年期寿险。如果被保险人活过了10年，则保险人在第10年末返还其所缴纳的全部保费（不计利息）。已知：=0.60，=0.47，d=0.05。则其年均衡纯保费为（　　）元。

A．0.039

B．0.130

C．0.239

D．0.330

E．0.539

【答案】A

【解析】设年均衡纯保费为P元，则由已知条件得：

=8

=0.60－0.47=0.13

根据平衡原理，得：，

故年均衡纯保费为：=0.039（元）。

32．对于投保年龄为x岁，保额为1元的完全离散式2年定期寿险，L为签单时的损失量，年保费按年均衡纯保费来缴纳。已知：q_x=0.10，q_x+1=0.20，v=0.90。则Var(L)=（　  ）。

A．0

B．0.1303

C．0.1603

D．0.2358

E．1.8100

【答案】C

【解析】由=0.2358，=1.81，

所以年均纯保费为：=0.2358/1.81=0.1303。

因E(L)=0，故

Var(L)==0.1603。

33．对于49岁的单位保额的完全离散式终身寿险，设L为签单时的损失量。已知：A₄₉=0.29224，²A₄₉==0.11723，i=0.05，Var(L)=0.10。则E(L)=（　  ）。

A．0

B．－0.03679

C．0.03679

D．－0.25457

E．0.25457

【答案】D

【解析】设每年保费为P，由已知得：d=0.05/1.05=1/21，

Var(L)=(1+P/d)²×[²A₄₉－(A₄₉)²]，即0.10=(1+21P)²×[0.11723－0.29224²]，

解得：P=0.03679。

故E(L)=A₄₉－P=A₄₉－P×

=0.29224－0.03679×(1－0.29224)×21

=－0.254568。

34．如表4-2所示，设i=3%。则在30岁签发保单的死亡给付为1万元，生存给付为2万元的4年期两全保险的年缴纯保费P=（　　）万元。

表4-2  生命表

A．0.46242

B．0.56342

C．0.66242

D．0.76342

E．0.81242

【答案】A

【解析】因为i=0.03,所以v=1/1.03，d=0.03/1.03。

而==0.8769，

=

=3.8184，

=1－=0.8888，

因为=+，

故==0.46242（万元）。

35．已知生命表如表4-3所示，设i=3%。则在30岁签发保单的死亡给付为1万元的4年定期寿险的年缴纯保费P=（　　）万元。

表4-3  生命表

A．25.02748

B．31.02748

C．37.02748

D．40.02748

E．41.02748

【答案】B

【解析】因为i=0.03,所以v=1/1.03，d=0.03/1.03。

由表4-3表可得：p₃₀==0.999，₂p₃₀==0.997，₃p₃₀==0.993，₄p₃₀==0.987。

所以=0.003102748，

故P=10000=31.02748（万元）。

36．保险金额为10000元的完全离散型终身寿险，投保人年龄为35岁，年利率为6%，A₃₅=0.1287194，=15.39262，=0.0348843，₄₂p₃₅=0.51251，₄₃p₃₅=0.4808965。则当保费=　  元时，能使其为亏损随机变量L＞0的概率小于0.5的最低保费；且在此种情况下亏损随机变量L的标准方差为　  。（　　）

A．50.31；1473.64

B．50.31；1483.64

C．52.31；1473.64

D．52.31；1483.64

E．53.31；1493.64

【答案】A

【解析】因为i=0.06，故v=1/1+i，d=i/1+i，，

P(L＞0)＜0.5，即，

即，

其中是K(x)的减函数，P(L＞0)必然与K(x)小于某一值的概率相等。

由于₄₂p₃₅=0.51251，₄₃p₃₅=0.4808965，故。

所以取满足，=0，

故=50.31（元）；

而

=2171613，

所以==1473.64。

37．假设由某寿险公司的经验生命表可得：A₆₀=0.4097，=0.2153，=10，i=0.025。设年缴纯保费为P₆₀，保险人的潜在损失变量为L，则=（　  ）。

A．0.03295

B．0.04587

C．0.05137

D．0.05335

E．0.41970

【答案】B

【解析】d=，已知A₆₀=0.4097，故

由已知条件得：P₆₀==0.04097，

而d=，所以Var(L)===0.7976，

所以==0.04587。

38．一个为期两年的两全寿险，保险给付金为1000元，保险赔付于死亡年末进行，保费在年初缴纳，此保险有两种缴费方案：

方案一：第一年缴费600元，第二年缴费400元；

方案二：每年缴费P元；

已知折现率d=0.05，则P＝（　  ）元。

A．441.0

B．489.6

C．512.5

D．525.5

E．647.3

【答案】C

【解析】折现率v=1－d=0.95，设第一年的死亡率为q_x，则

两全保险的保险给付金的精算现值为：

1000(vq_x+v²p_x)=1000[0.95×(1－p_x)+0.95²×p_x]=950－47.5p_x

按照方案一缴纳的保费精算现值为：

600+400vp_x=600+380p_x

根据精算平衡原理，保险给付金精算现值和缴纳的保费精算现值相等，即

950－47.5p_x=600+380p_x

解得：p_x=0.8187；

按照方案二缴纳的保费精算现值为：P(1+vp_x)=P(1+0.95p_x)

根据精算平衡原理，得：950－47.5p_x=P(1+0.95p_x)，

解得：P=512.5（元）。

39．某人在2007年1月1日买了一份10年定期寿险，死亡即刻给付10000元，保费为前5年每年年初缴费500元。假定此人在2009年6月30日死亡，设i=0.025，计算保险公司的损失在签单日的现值为（　　）元。

A．7574.0

B．7973.6

C．8052.6

D．8413.5

E．8582.4

【答案】B

【解析】依题意知，死亡事件发生时，距离签单日恰好2.5年，所以保险公司的支出现值为10000v^2.5；由于保费于每年年初缴纳，故截至死亡事件发生时，保险公司共收到了被保险人3次保费缴纳，所以这3次缴费的现值等于。

而v=(1+i)^-1=1.025^-1，d=i/(1+i)=0.025/1.025，

则保险公式损失变量现值为：

10000v^2.5－500

=10000v^2.5－500

=10000×1.025^-2.5－500×

=7937.6（元）。

40．设一个0岁生命的整值剩余寿命死亡概率如下：，k=0，1，2，3。假设他购买一终身寿险，死亡年末赔付1，每年年初缴纳保费P。利率i=6%。当保费按平衡原理厘定时，设保险人亏损现值变量为L，E(L)+=(　  )。

A．0.178

B．0.192

C．1.178

D．1.192

E．1.987

【答案】A

【解析】亏损现值变量为：，

根据平衡原理，有E(L)＝0

故。

由于，

故；

而，故。

则

＝0.178。

故E(L)+=0+0.178=0.178。

41．一个30岁的人投保20年延期终身年金，保险金给付为生存年初给付1元，如果此人在延期内死亡，那么在死亡年末退还所交的保费(不计利息)。已知：

则此险种的趸缴纯保费为（　　）元。

A．0.021

B．0.053

C．1.05

D．1.58

E．3.68

【答案】D

【解析】设此险种的趸缴纯保费为P，则由平衡原理可知

其中，

则（元）。

42．一个40岁的人买了一份离散的3年定期寿险，保额为1000元。已知各年龄死亡概率如表4-4所示。

表4-4  各年龄死亡概率

假如在第三年时，发现此人买保险时的真实年龄是41岁，公司根据平衡原理和此人所缴保费重新确定了保额，则修正后的保额为（　　）元。

A．605.79

B．632.48

C．655.26

D．665.26

E．689.12

【答案】D

【解析】未修正之前，设年缴保费为Ｐ，赔付变量的精算现值为：

1000[vq₄₀+v²(1－p₄₀)q₄₁+v³(1－p₄₀)(1－p₄₁)q₄₂]

=

＝55.63；

所缴保费的精算现值为：

P（1+vp₄₀+v²p₄₀p₄₁）

=；

根据平衡原理，赔付变量的精算现值等于所缴保费的精算现值，则

修正之后，假设保额为B，则保险赔付的精算现值为：

B[vq₄₁+v²(1－p₄₁)q₄₂+v³(1－p₄₁)(1－p₄₂)q₄₃]

=；

所缴保费的精算现值为：

P(1+vp₄₁+v²p₄₁p₄₂)=；

根据平衡原理，有：，解得：B=665.26（元）。

43．(x)岁的人投保3年延期的终身初付年金，首次给付10000元，以后每年的给付额递增2.5%。已知i=0.025，前3年的生存概率如表4-5所示。

表4-5  生存概率

且整值余命e_x=12.10。假设缴费方式为3年延期每年年初缴付等额保费π，则π=（　　）元。

A．28762.0

B．30458.2

C．32452.6

D．35489.1

E．28463.1

【答案】C

【解析】根据题意，缴费精算现值为：

给付的精算现值为：

因为，所以

根据平衡原则有：

解得：（元）。

44．(40)岁的人投保终身寿险，死亡即刻给付1000元并返还所缴保费(不计利息)，被保险人每年年初缴纳均衡纯保费π，缴费期10年。已知：

A₄₀=0.12，

则π=（　　）元。

A．15.48

B．17.27

C．18.27

D．19.29

E．21.57

【答案】B

【解析】根据题意，缴费精算现值等于，而死亡给付额的精算现值分为两部分：

①死亡即刻给付1000元的精算现值：1000A₄₀；

②返还所缴保费的精算现值。如果被保险人在10年缴费期内死亡，该现时值等于，如果被保险人在缴费期之后死亡，该现时值等于。

根据平衡原理，有：

。

已知，

从而。

解得：=17.27（元）。

45．一个30岁的人买了一份离散的终身寿险，年初缴费，缴费10年，i=0.025，₁₀E₃₀=0.5，1000A₃₀=150，1000A₄₀=240，则1000₁₀P₃₀=（　  ）。

A．7.0

B．7.3　 C．7.8

D．8.2

E．8.5

【答案】C

【解析】贴现率d=，

根据寿险精算现值和年金精算现值之间的关系，有：

根据公式，

有。

故。

46．(40)岁的人投保20年的定期寿险，前10年死亡年末给付2000元，后10年死亡年末给付1000元，假设寿命服从ω=110的均匀分布，v=0.9，保障期内每年年初缴纳均衡纯保费π，则π=（　　）元。

A．19.785

B．20.750

C．21.325

D．24.585

E．26.742

【答案】D

【解析】此人购买的是20年不等额定期寿险，它可以分解为两个等额定期寿险的组合：一个死亡年末给付1000元的20年定期寿险1000，和一个死亡年末给付1000元的10年定期寿险1000。

由于f_T(40)(t)=，_tp_x=，0≤t≤70，

，

，

所以该险种死亡赔付精算现值为：。

由已知，得：，

则。

故。

根据平衡原则，有，

即8π=196.68，解得：π=24.585（元）。

47．(60)岁的人投保一个两次缴清的终身寿险。纯保费缴纳方式为第一年和第3年年初缴纳保费G。死亡赔付方式为：如果此人在第1年或第3年死亡，死亡年末赔付1000+，其他时刻死亡，死亡年末赔付1000元。已知q₆₀=0.027，q₆₁=0.031，q₆₂=0.033，A₆₀=0.35，i=0.025，则P=（　  ）元。

A．177.95

B．187.19

C．192.64

D．202.13

E．205.64

【答案】G

【解析】投保人缴纳保费的精算现值为G+Gv²p₆₀p₆₁，他所投保的保单死亡给付额的精算现值可以分为一个年赔付1000的终身寿险，和一个第1年赔付以及一个第3年赔付的的精算现值之和，即1000A₆₀+(vq₆₀+v³p₆₀p₆₁q₆₂)，根据平衡原理，有：

即，

即(1.8974－0.02762)G=350，解得：G=187.19（元）。

48．(40)的人购买某种保险产品，60岁以后不用缴纳保费，并且每年能得到生存金5000元。若被保险人在60岁之前死亡，即在死亡年末退还已缴的各年保费(不计利息)。已知：，则(40)在60岁之前每年缴付的均衡纯保费P=（　　）元。

A．4167

B．4258

C．4532

D．5000

E．6720

【答案】A

【解析】由，得：，

根据平衡原理，有：，

解得：（元）。

49．已知i＝0.05，＝1.68，假定死亡在年内服从均匀分布，则=(  　)。

A．0.75

B．0.80

C．0.85

D．0.90

E．0.95

【答案】B

【解析】由趸缴纯保费和年金精算现值之间的关系，得：

由离散型趸缴纯保费和连续性趸缴纯保费之间的关系，得：

故。

50．(x)购买保额为1000的完全离散3年定期两全保险，已知i＝0.05，，若被保险人在第2年年末仍然存活，则₂L=(　  )。

A．652.38

B．668.43

C．700.00

D．712.34

E．743.45

【答案】A

【解析】被保险人第2年年末仍存活，则保险人第三年初收到保费1000，第三年末给付在第二年年末的精算现值为1000v，故

₂L=1000v－1000=1000300=652.38

51．(30)购买一30年两全保险。已知趸缴纯保费等于10000，。i＝0.05，₃₀p₃₀=0.86。若此人采用30年期每年年初缴纳K元的方式缴纳纯保费，则K=(　  )。

A．450

B．543

C．678

D．735

E．820

【答案】C

【解析】已知i=0.05，所以δ＝0.04879，d＝0.047619，且

根据趸缴和期缴精算现值相等的原则，有：，

故

  =

=678。

52．一个保险公司计划对(x)发行保单，已知Pr{K(x)=k)=0.1，k=0，1，…，9，其中K(x)为(x)的未来生命时间长度随机变量，保险给付为常数1，在被保险人死亡年度末支付。假设这种保险的年度均衡纯保费为P，在被保险人活着的情况下每年年初支付。设保险公司使用的年利率均为i=0.06，若保险公司亏损的概率不超过20％情况下的P₁与预期的死亡给付等于预期的保费收入情况下的P₂之差为（　  ）。

A．－0.05

B．0.10

C．0.14

D．－0.17

E．0.21

【答案】C

【解析】K=k时，年度保费为P的情况下，保险公司一份保单亏损的现值随机变量为：

①保险公司亏损的概率不超过20％情况：

即

故Pr(K<ln(1+d／P₁)/δ－1)≤20％。

由于Pr{K(x)=k)=0.1，k=0，1，…，9，

故Pr(K<2)=20％。对于任意的s≥2，有Pr(K<s)≥30％，

从而ln(1+d／P₁)/δ－1=2，因此P₁＝0.2963。

②预期的死亡给付等于预期的保费收入的情况：

有E[L]=0，即

即

故，

因此P₁－P₂=0.29633－0.15781=0.13852。

53．假设死力μ=0.04，利息强度δ=0.06均为常数。则下列计算中正确的是（　　）。

（1）0.33；（2）0.30；（3）Var(L)=0.23。

A．（1）

B．（3）

C．（2）（3）

D．（1）（3）

E．（1）（2）（3）

【答案】B

【解析】由于=，

故，

所以，，

故==0.226。

54．已知死力μ=0.04，利息强度δ=0.06均为常数。在死亡年度末支付单位保险给付的30年定期死亡的均衡纯保费为（　　）。

A．0.02

B．0.03

C．0.04　 D．0.06

E．0.07

【答案】C

【解析】对定期死亡和生存保险，有：

=

，

所以，故。

55．n年定期寿险的年均衡纯保费经推导可得（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】C

【解析】由于，，

所以，

故。

56．对于全连续式终身寿险模型，假设死力，利力。则保险损失L的方差Var（L）=（　　）。

A．0.04

B．0.25

C．0.4

D．0.5

E．10

【答案】B

【解析】根据已知，有：

=0.4，

=0.25，

所以。

57．对于连续型终身寿险，假设T(x)服从(0，50)上的均匀分布，利率i=6%。Var(L)=（　　）。

A．0.1334

B．0.1441

C．0.1545

D．0.1647

E．0.1749

【答案】B

【解析】由已知，f_T(t)=1/50，δ=ln(1+i)=ln1.06，v=1/(1+i)=1/1.06。

====0.3246，

=(1－)/δ=11.591，===0.17111。

所以Var(L)==0.14413。

58．假设死力=0.04，利息强度=0.06，则连续型单位保额的30年定期死亡保险的均衡缴费为（　　）。

A．0.03199

B．0.03299

C．0.03399

D．0.03499

E．0.03999

【答案】E

【解析】因为==

=[1－e^-30(δ+μ)]=0.4(1－e^-3)=0.38，

=9.50213。

故=0.03999。

59．设L₁为对（x）的保额为1的完全连续型终身寿险在签单时的随机变量，其均衡纯保费由平衡原理决定，又已知:=5.0，=0.080，Var(L₁)=0.5625。设L₂为对保险交4/3倍的均衡纯保费时，在签单时的损失随机变量。则L₂的标准差为（　　）。

A．0.40

B．0.60

C．0.81

D．0.90

E．1.00

【答案】D

【解析】因为

又，

所以

，

=0.5625，

所以=0.5625×0.16=0.09。

，

所以

=0.81，

所以=0.9。

60．对于离散型终身寿险，已知，则Var(L)=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】C

【解析】

，

，

所以

=。

61．设为年龄岁者签发全连续式终身寿险保单的保险损失，未来寿命T的概率密度函数为，利力=0.05。则E(L)=（　　）。

A．73.76

B．75.79

C．76.01

D．77.76

E．78.72

【答案】A

【解析】因为=，

又

由已知，得，

故=73.76。

62．已知年龄为岁的人签发的全连续式终身寿险保单的保险损失为：

其未来寿命T的概率密度函数为，利力=0.05。则当T=（　　）时，保险损失L=0。

A．33.2583

B．34.4639

C．35.8352

D．36.8413

E．37.1024

【答案】C

【解析】L=0，即，

又=，

所以1200·v^T=200，解得：T=35.8352。

63．已知年龄为岁的人，其未来寿命T的概率密度函数为，其签发了全连续式终身寿险保单，且其保险损失为：。

假设利力=0.05，则其年缴纯保费为（　　）时，才能使保险人不亏损的概率为0.5。

A．8.53

B．8.74

C．10.29

D．12.64

E．13.98

【答案】C

【解析】设对应时刻为，则，

即，故=35.3553。

设年缴纯保费P，则，

令，解得：P=10.29。

64．对（x）的一份全连续式终身寿险，保额为1，设L=ν^T－，并且假设死力为常数μ，利力为δ，则Var(L)=（　　）。

A．μ/(μ－2δ)

B．μ/(2μ+δ)

C．μ/(μ+2δ)

D．μ/(μ+δ)

E．μ/(μ－δ)

【答案】C

【解析】因为L=ν^T－=ν^T－(1－ν^T)/δ=ν^T(1+/δ)－/δ，

而=，==e^-μt，

所以有

===

=－[μ/(μ+δ)]=μ/(μ+δ)；

===μ/(μ+2δ)；

1+/δ=1+=1+/(1－)=1/(1－)=1/[1－μ/(μ+δ)]=(μ+δ)/δ。

所以Var(L)=(1+/δ)²[－]

=[(μ+δ)/δ]²[μ/(μ+2δ)－(μ/(μ+δ))²]

=[(μ+δ)²/δ²][μ(μ+δ)²－μ²(μ+2δ)]/[(μ+2δ)(μ+δ)²]

=[μ(μ²+2μδ+δ²)－μ²(μ+2δ)]/[δ²(μ+2δ)]

=μδ²/[δ²(μ+2δ)]

=μ/(μ+2δ)。

65．考虑一份保额为1的完全连续型终身寿险，满足条件：μ=0.04，δ=0.08，L是保单签发时保险人的损失随机变量。则Var(L)=（　　）。

A．0.2

B．0.5

C．0.6

D．0.8

E．0.9

【答案】A

【解析】因为==，==，=μ=0.04，

所以Var(L)===()²×=。

66．对于(x)的一份全连续型终身寿险，给定如下条件：

（1）均衡纯保费由精算等价原理决定；

（2）死亡给付由b_t=(1+i)^t决定，其中i为利率；

（3）L是在时刻t=0的损失随机变量；

（4）T是(x)未来生存时间随机变量。

以下表达式等于L的为（　　）。

A．(ν^T－)／(1－)

B．(ν^T－)(1+)

C．(ν^T－)／(0.5+)

D．(V^T－)(0.5－)

E．(ν^T+)／(1+)

【答案】A

【解析】设π为纯保费，则

L=b_Tv^T－=(1+i)^T·v^T－=1－，

根据E[L]=1－=0，则π=，

所以L=1－=1－===。

67．设L是保额为1的完全连续型终身寿险在签单时的损失随机变量，其均衡纯保费由精算等价原理决定，并且已知：E[ν^2T]=0.34，E[ν^T]=0.40。则Var(L)=（　  ）。

A．0.3

B．0.4

C．0.5

D．0.6

E．0.7

【答案】C

【解析】由于，

，

故Var(L)=

=（1／0.6²）×（0.34－0.16）

=0.5。

68．已知某(x)被保险人的生命表函数为：

，K=0，1，2，3，…

并且i=0.06，死力μ为常数，则=（　  ）。

A．0.019

B．0.038

C．0.059

D．0.073

E．0.092

【答案】D

【解析】===，

===

故==μ。

又由于δ=1n(1+i)=lnl.06=0.0583，故

=0.0583，

A_x===

===0.3846。

故P_x====，

从而，

故====。

故==0.0733。

69．设L_x是投保年龄为25的全连续型终身寿险在签单时的损失随机变量，已知=0.29，=0.12，δ=0.05，E(L₂₅)=0.28，则Var(L₂₅)=（　  ）。

A．0.02414

B．0.02424

C．0.02441

D．0.03734

E．0.04144

【答案】D

【解析】因为L₂₅=ν^T－=ν^T－=(1+)ν^T－，

又E(L₂₅)=(1+)－=0.28，即(1+)×0.29－=0.28，

解得：P=0.001。

所以Var(L₂₅)=(1+)²(－)=(1+)²(0.12－0.29²)=0.03734。

70．设_tL是年龄为x岁者签发的保险金额为l单位的全连续型n年两全保险保单自签发保单后的t时刻的未来损失随机变量，则Var(_tL)=（　  ）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】B

【解析】Var(_tL)=Var(ν^T-t－)=Var(ν^T-t－)

=Var[(l+]

=(1+)²(－)

=(1+)²(－)

=(1+)²(－)

=

71．设=100－x，i=6%，则=（　　）。

A．0.02

B．0.05

C．0.06

D．0.08

E．0.09

【答案】A

【解析】因为_tp_x==，_tp₃₅==，

μ_35+t==，

故_tp₃₅μ_35+t==，0＜t＜65，

====0.26，

===12.73，

故===0.02。

72．设L=1000V^T－是年龄为x的人签发的全连续式终身寿险保单的保险损失，未来余命T的密度函数为：，t≥0。设利力δ=0.06，则当T=（　　）时，L=0。

A．32.4

B．34.6

C．34.8

D．36.4

E．38.4

【答案】A

【解析】由于L=1000ν^T－

=1000ν^T－

=(1000+)ν^T－

=0，

故ν^T==0.1429，即Tlnv=ln0.1429=－1.9459，

解得：T=32.43。

73．假设δ=0，则=（　　）。

A．

B．

C．

D．e_x

E．

【答案】B

【解析】

====。

74．计算Var()=（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】B

【解析】====，

=(1－－(1－)²)

=(1－－1－+)

=(－－)

=－

75．设死力为常数μ=0.04，利息强度为常数δ=0.05，则=（　  ）。

A．21

B．25

C．27

D．29

E．30

【答案】B

【解析】由μ=0.04及δ=0.05可得

=11.11，

=0.4444，

所以=25。

76．对于全连续式终身寿险，设死力为常数μ=0.04，利息强度为常数δ=0.03。设L为签单时的损失随机变量，则Var[L]=（　　）。

A．0.22

B．0.23

C．0.25

D．0.3

E．0.4

【答案】E

【解析】由μ=0.04及δ=0.03可得：

，

，

=。

从而

Var(L)===0.04/(0.04+0.06)=0.4。

77．年龄为x岁的人投保了保额为1的完全连续式终身寿险，保费按年均衡纯保费缴纳。保险人的签单损失量记为L。死亡力为常数，则Var(L)=(　  )。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】B

【解析】因为===，

===，==。

所以Var(L)==。

78．在x岁投保的保额为1的完全连续终身寿险，保费按年均衡纯保费缴纳。保险人的签单损失变量L满足=0.36。已知=10，则其年均衡净保费为（　  ）。

A．0.01

B．0.04

C．0.07

D．0.09

E．0.16

【答案】B

【解析】因为Var(v^T(x))=，Var(L)=，

所以Var(L)=Var(v^T(x))=Var(v^T(x))，

即==0.36，解得=0.4。

所以年均衡纯保费为：===0.04。

79．已知：i=0.08，，k=0，1，2，…，在每一年龄年死亡力为常数。则保额为1000元的全连续式终身寿险与离散式终身寿险的均衡纯保费的差=（　  ）元。

A．11.7679

B．12.7679

C．13.7679

D．14.7679

E．15.7679

【答案】B

【解析】由，得：，

所以=0.9，解得：=－ln0.9。

故对任意k，=－ln0.9，

从而=5/9，=6，故=5/54。

又在常数死力假设下，=－ln0.9，

所以=12.76792（元）。

80．假定寿命服从ω=110的均匀分布，利力δ=0.05，则对于完全连续的终身寿险，1000=（　  ）。

A．17.93

B．19.17

C．20.59

D．22.24

E．23.56

【答案】B

【解析】已知寿命在[0，110]上服从均匀分布，故在[40，110]上仍服从均匀分布，

所以  ，，

，

。

故  =0.2771，

=14.458，

所以  1000=1000=1000×=19.17。

81．一个完全连续的终身寿险，死亡给付为1。已知：μ=0.03，δ=0.06，则保险人潜在亏损变量的方差Var(L)=（　　）。

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4

E．0.5

【答案】B

【解析】在常值死力和常值利力下有，，，，

===，

===，

，

则 

=0.2。

82．假设寿命服从ω=110的均匀分布，δ=0.05，保额为1，则10年定期寿险年缴均衡纯保费与10年两全保险5年缴费期的均衡纯保费之差为（　  ）。

A．－0.1327

B．0.1327

C．－0.14021

D．0.14021

E．0.12752

【答案】A

【解析】由已知条件，利力恒定，

故v^t=e^－δt，S(x)=，f_T(40)(t)=， _tp_x=，0≤t≤70,

；

；

；

。

则

；

。

故－=0.01528－0.14798=－0.1327。

83．(x)购买一份完全连续型终身寿险，死亡赔付为2，年缴保费为0.09。已知：μ(x+t)=0.06(t≥0)，δ=0.04，则保险人亏损现值变量的方差Var(L)=（　　）。

A．1.12

B．1.26

C．1.37

D．1.45

E．1.72

【答案】B

【解析】潜在损失变量为：

，

其方差为：

。

因为死力恒定μ(x+t)＝0.06，所以有

====0.6；

= ===0.43。

则Var(L)＝4.25²×(0.43—0.6²)＝1.26。

84．(50)的人购买完全连续型终身寿险，L为亏损现值变量，已知δ=0.04，l_x=100－x(0≤x≤100)，则=（　　）。

A．0.090

B．0.120

C．0.181

D．0.310

E．0.425

【答案】E

【解析】由题可知，寿命服从DE MoivrE分布，故v^t=e^－δt，f_T(50)(t)=，0≤t≤50。

故，，

且，

所以，故=0.425。

85．已知i=0.05，，假定死亡在年内服从均匀分布，则=（　　）。

A．0.415

B．0.578

C．0.620

D．0.774　 E．0.981

【答案】C

【解析】根据趸缴纯保费和年金精算现值的关系，有

根据连续和离散趸缴纯保费的关系，有：，

而，故。

86．(x)购买完全连续两年延期终身寿险，死亡即刻赔付1。已知μ_x+t＝0.04，t≥0，δ=0.06，终身连续纯均衡保费=（　　）。

A．0.00328

B．0.03275

C．0.04598

D．0.05272

E．0.06245

【答案】B

【解析】由于利力和死力恒定，因此，f_T(t)=。

故；

=。

故。

87．(x)岁的人购买完全连续型终身寿险，死亡即刻赔付为b_t＝(1+i)^t，利息率为δ，L是亏损现值变量，已知，则L=（　  ）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】A

【解析】因为，

所以，

故

。

88．假设T(x)服从(0，50)上的均匀分布，利率i=6％。=（　　）。

A．0.02

B．0.03

C．0.14

D．0.32

E．0.40

【答案】B

【解析】由已知，得：f_T(t)=，所以

，，

故0.3246/11.591=0.028。

89．假设，δ=5％，且对于所有的x和t，有μ_x+t=10％。则由E[L]=－1/6确定的值为（　　）。

A．0.073

B．0.091

C．0.110

D．0.125

E．0.028

【答案】D

【解析】由已知，得

故。

90．已知55岁的被保险人的如下保险，并假设在完全连续的情况下，假设利率i=6％，以及死亡在各年度内均匀分布。另外假设T(55)服从均匀分布，即_tp₅₅μ_55+t=1/45，0<t<45。对20年期两全保险和20年期定期死亡保险，确定使Pr(L>0)≤0.25的最小的非负数分别为（　　）。

A．0.01，0.15

B．0.04，0.04

C．0.06，0.06

D．0.15，0.06　 

E．0.60，0.60

【答案】C

【解析】①20年期两全保险的亏损随机变量为

分布函数为：

要使Pr(L>0)≤0.25，即F_L(0)≤0.75，则

解得：=ln1.06/[exp(0.655525)－1]=0.062915。

②20年期定期死亡保险的亏损随机变量为

分布函数为：

要使Pr(L>0)≤0.25，即F_L(0)≤0.75，同理得：=0.062915。

91．对于连续型终身寿险，已知生存函数为，δ=0.05。则40岁的人投保此终身寿险的均衡纯保费为（　　）。

A．0.023

B．0.091

C．0.142

D．0.251

E．0.317

【答案】A

【解析】由于，所以。

故。

所以当x=40时，。

故=0.3167。

故=0.0232。

92．设年龄为25岁者，购买保险金额为1000元的半连续式寿险保单，年利率i＝6%。换算函数M₂₅＝15434.48，M₆₀＝9301.689，N₂₅＝3762125，N₆₀＝305710.4。则在UDD假设条件下，35年定期寿险的年缴纯保费为（　　）元。

A．1.03

B．1.25

C．1.83

D．2.60

E．4.23

【答案】C

【解析】已知年利率为i＝6%，则，

=1.0297088，=0.0017743。

故35年定期寿险的年缴纯保费为：

=1.827（元）

93．的化简结果为（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】D

【解析】原式

94．年龄为50岁的人，购买了一张保险金额为10000元的20年普通储蓄寿险的保单，每年分两次缴纳保费，已知i=6%。则在UDD假设条件下，其半连续式的比例年缴纯保费为（　　）元。（已知=0.092536272，=0.25145，=11.58963271）

A．304.81

B．308.86

C．309.89

D．309.94

E．310.96

【答案】A

【解析】因为d==0.056603774，δ=(1+i)=0.0582689；

=2[1－]=0.05742875，

所以α(∞)==1.00028，β(∞)==－0.50985。

故所求的比例年缴纯保费为：

=×=304.81。

95．已知i=0.06，=15.39262。满足UDD假设，则在35岁投保，保额为1元的半连续式终身寿险的年均衡纯保费为（　　）元。

A．0.00261

B．0.00461

C．0.00861

D．0.08672

E．0.12872

【答案】C

【解析】i=0.06，所以d=0.06/1.06，=ln1.06，

=1－0.06×15.39262/1.06=0.12872。

故=0.00861（元）。

96．已知：i=0.025，_nE_x=0.500，=0.750，死亡在每一年内服从均匀分布，则1000P()=（　  ）。

A．70.314

B．72.303

C．73.456

D．74.258

E．79.654

【答案】B

【解析】由已知条件，得：δ=ln(1+i)=ln1.025，d=i/(1+i)=0.025/1.025，

=

=×(0.75－0.5)+0.5

=0.747，

所以  =10.373。

故1000P()=1000=1000×=72.303。

97．已知：=0.15，=2.0，=0.5，i=0.025，则下列说法正确的有（　　）。

（1）=0.075；

（2）=1.150；

（3）=0.576。

A．（1）（2）（3）

B．（1）（2）

C．（1）（3）

D．（2）（3）

E．（2）

【答案】C

【解析】

（1）；

（2）

+0.5×2.0=1.152；

（3）===0.576。

98．假定寿命服从ω＝100的de Moivre分布，利力δ=0.05，（30）的人购买一份终身定期寿险，死亡即刻赔付，赔付额为100000元，每年年初缴费，缴费30年，设年缴均衡纯保费为P，则P=（　　）元。

A．2023.17

B．2059.36

C．2245.98

D．2468.79

E．3065.12

【答案】B

【解析】 由于，且在de Moivre分布下有：

，s(x)=（）。

故，

所以，

；

又，故

则，

（元）。

99．假设一个60岁的人购买一份1000元的终身人寿保险，每年年初缴付保费，终身缴付。已知利率i=0.06，1单位终身寿险精算现值A₆₀=0.75。则在死亡年年末赔付和死亡时立即赔付的年缴均衡纯保费的差量为（　　）元。

A．2.0504

B．3.0504

C．4.0504

D．5.0504

E．6.7280

【答案】D

【解析】设死亡年年末赔付年缴均衡纯保费为P₆₀，死亡时立即赔付的年缴均衡纯保费为P()。

①若赔付在死亡年年末，则有：，

而  ，

故  ；

②若赔付在死亡时立即赔付，这时的年缴均衡纯保费为：

故1000P₆₀－1000P()=1000[1－]P₆₀=(1－)×170=－5.0504（元）。

100．已知=0.04，=0.03，=0.60，则=（　　）。

A．0.010

B．0.015

C．0.020

D．0.025

E．0.030

【答案】B

【解析】由于

将两式联立得：

故

=

=0.015。

101．对（30）的一份每年缴费两次且保额为100000元的终身寿险，设i=0.06，=1.01，=0.057，=0.10248，并且在每一年内死亡服从UDD假设，则其均衡纯保费为（　　）元。

A．326

B．339

C．348

D．650

E．652

【答案】A

【解析】

=652，

故均衡纯保费为：652/2=326（元）。

102．已知：=0.05,=，则=（　  ）。

A．0.043

B．0.048

C．0.050

D．0.053

E．0.055

【答案】D

【解析】

由于===1.05，

==0.05，

故===1.05×0.05=0.0525。

103．在50岁投保的保额为1000元的20年期两全保险，利率i=6%。满足UDD假设。已知：=11.291832，=0.23047353。则在死亡的保单年度末给付死亡保险金的情况下，其年均衡纯保费和每年支付两次的年均纯保费分别为（　　）元。

A．11.96；22.519

B．31.96；32.519

C．36.08；25.739

D．38.08；25.839

E．91.96；82.519

【答案】B

【解析】单位保额两全保险的精算现值为：

=1－11.291832×0.06/1.06=0.36084

又=1.0002122，

=－0.25739075。

故所求年均衡纯保费为：

1000=1000=1000×0.36084/11.291832=31.96（元）；

每年缴纳两次的年均纯保费为：

1000=1000

=1000

=1000×

=32.519（元）。

104．现年40岁的被保人以季缴保费方式购买了一个20年期的离散型两全保险，保险金在被保人死亡后立即给付。前10年保额为50000元，后10年保额为l00000元，生存给付额为l00000元。若缴费期为10年，假设服从均匀分布，利率i=0.06，则其季缴均衡纯保费为（　　）元。（换算函数M₄₀=13451.35，M₅₀=11729.06，M₆₀=9301.689，D₄₀=93942.98，D₅₀=51090.51，D₆₀=26606.02，N₄₀=1422017，N₅₀=695386.2）

A．1016

B．1056

C．1256

D．1356

E．1456

【答案】B

【解析】利率i=0.06，所以δ=ln1.06=0.0582689，因此在均匀分布假设下，该保险的趸缴纯保费为：=31925.998。

又由i=0.06得d=0.0566038，i⁽⁴⁾=0.0586954，d⁽⁴⁾=0.0578465，且

=1.0002656，==－0.3842341，

=7.7348068，=0.543846。

故在均匀分布假设下，=7.5615912，

所以其年均衡纯保费为：（元），

所以季缴均衡纯保费为：×4222.1270=1055.53（元）。

105．已知i=0.05，=1.68，被保险人在每一个分数年内死亡服从均匀分布，则=（　  ）。

A．0.9243

B．1.0475

C．1.2976

D．1.4528

E．1.3735

【答案】C

【解析】由已知得：，d=，i⁽⁴⁾=4×(-1),d⁽⁴⁾=4×(1-)，则

=

－

=1.000186×1.68－0.3827173=1.2976，

所以  。

106．对于(50)的20年期、保额为10000的保险给付在死亡年度末(离散)支付的两全保险，假设死亡在每个年龄区间服从均匀分布，年利率为6％。已知0.3588，其按半年度缴纳的年均衡保费为（　　）。

A．111

B．257

C．322

D．359

E．574

【答案】C

【解析】d=0.056604，由年金精算现值和趸缴纯保费的关系得：

又，，

所以，，

=11.1322，

故==100000.3588/11.1322=322.31。

107．一份在生存期间每年交1000元纯保费的100000元终身寿险，死亡赔付在死亡年年末，现在将缴费方式从每年一次改为每月一次，年贴现率d=0.06，则每月缴纯保费为（　  ）元。

A．84

B．86

C．88

D．90

E．92

【答案】B

【解析】由已知条件知，年缴纯保费为：

即P_x=0.01。

而每月缴费的年缴纯保费为：。

由于，即，

则。

又，得：=P_x，

故  。

所以  （元）。

因此每月纯保费为：100000P_x⁽¹²⁾/12=1033/12=86（元）。

108．已知=1.032，=0.040，则=（　  ）。

A．0.038

B．0.041

C．0.045

D．0.047

E．0.048

【答案】B

【解析】由已知条件得：

=0.040×1.032

=0.041。

109．已知：，假设死亡服从均匀分布，则=（　  ）。

A．0.21

B．0.76

C．1.50

D．10.26

E．16.80

【答案】B

【解析】因为，

又，

=1.0248×0.2

=0.20496，

=（1－0.2）×1.05/0.05

=16.8，

所以=0.76。

110．已知：，则=（　　）。

A．99/100

B．1

C．100/99

D．102/97

E．199/100

【答案】C

【解析】

=100/99。

111．对(x)的n年定期寿险，如果被保险人在保险期内死亡，除了赔付10000元外，还退还过去已缴纯保费的积累。假设保险赔付在死亡年年末，保险费每年缴付一次，n年付清。则以下三种情况中计算正确的为（　　）。

（1）退还的保费部分不计利息时，其年缴均衡纯保费为：；

（2）退还的保费部分以不同于保单预定利率i的利率j复利累计时，其年缴均衡纯保费为：；

（3）退还的保费部分以保单定价预定利率i复利累计时，其年缴均衡纯保费为：。

A．（1）（2）

B．（2）

C．（1）（3）

D．（2）（3）

E．（1）（2）（3）

【答案】C

【解析】（1）如果退还的保费不计息，那么在被保险人死亡年年末退还的保费部分是过去已缴纯保费的累加，其给付以被保险人死亡为条件。因此，构成一个定期递增的寿险，其收支平衡公式为：

故  ；

（2）如果退还的保费部分以利率j计息，退还保费部分的给付额是一个随被保险人死亡时间变动的年金终值，即  ，

则其现值变量为：

精算现值为：，

收支平衡式为：，

故；

（3）如果退还保费的累积利率等于预定利率，则由（2）中现值变量W得：

。

因此，收支平衡式为：，

即。