第10章　反常积分

10.1　复习笔记

一、无穷限的反常积分

1．无穷限反常积分的概念

（1）定义

设函数f（x）在有定义，并且对于任意的A（A＞a）在区间[a，A]上可积．当极限

存在时，称这极限值为f（x）在区间上（或是从a到＋∞）的反常积分．记作

这时也称积分是收敛的，它的值就是，如果不存在，称积分是发散的．

对反常积分，当和都收敛时（a是一个任意固定的数），就说收敛，并且有

这时，有必须注意的是：和两者之间是独立变化的．如果上式右边的极限不存在，就称发散．

（2）无穷限积分的性质

①设f（x）在[a，＋∞）可积，k是常数，那么kf（x）也可积，并且

②设f（x），g（x）在[a，＋∞）可积，那么f（x）±g（x）也可积，并且

③反常积分的分部积分法

设u（x），v（x），u'（x），v'（x）在[a，＋∞）连续，又如果下面的等式中有两项存在，那么第三项也存在，并且等式

成立．

④无穷限积分也有换元法则．

（3）无穷限积分的收敛性

①柯西收敛定理

②设对任何A＞a，若f（x）在[a，A]可积，并且收敛，就称绝对收敛．收敛但不绝对收敛的反常积分称为条件收敛．

③绝对收敛的反常积分必收敛．

2．无穷限反常积分和数项级数的关系

设则存在的充要条件是对任何单调增加的数列，，数列收敛，并且有同一极限值．

3．无穷限反常积分的收敛性判别法

（1）比较判别法

如果对充分大的x（亦即存在x₀，当x≥x₀时）有|f（Ｘ）|≤收敛，那么积分绝对收敛；又如果对充分大的x，有而积分发散，那么积分发散．

（2）比较判别法的极限形式．

①如果且收敛，那么积分绝对收敛；

②如果．且发散，那么积分发散．

（3）柯西判别法

在比较判别法中取，就得到柯西判别法

①如果那么绝对收敛；

②如果自某一值起保持定号，那么积分发散．

（4）柯西判别法的极限形式

①如果那么积分绝对收敛．

②如果而那么发散．

4．阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

（1）第二中值定理

设f（x）在[a，b]上可积，而g（x）在[a，b]上单调，那么在[a，b]上存在ξ，使

特别，如果g（x）单调增加且g（a）≥0，那么有ξ，使

如果g（x）单调减少且g（b）≥0，那么有ξ，使

（2）阿贝尔判别法

如果f（x）在[a，＋∞）上可积，g（x）单调有界，那么积分收敛．

（3）狄利克雷判别法

如果对任何有界：，g（x）单调，且当x→＋∞时趋向于零，那么积分收敛．

二、无界函数的反常积分

1．无界函数的反常积分的概念，柯西判别法

（1）定义

设函数f（x）在x＝b点的任一左邻域无界（称b点为f（x）的奇点），但对于任意充分小的正数η，f（x）在[a，b－η]上可积，即

存在．如果存在，就称此极限值是无界函数f（x）从a到b的反常积分，记为；并称无界函数f（x）在[a，b]上可积，或称反常积分收敛．如果上述的极限不存在，就说积分发散．

（2）性质

①定积分的一些性质包括分部积分法和换元法对无界函数的反常积分也成立；

②柯西收敛原理

若x＝a是f（x）的奇点，则收敛的充要条件是：对任意给定的ε＞0，存在δ＞0．当0＜η，η'＜δ时，总有；

③无界函数反常积分也有绝对收敛和条件收敛之分，并且绝对收敛必收敛，但反之不然．

④柯西判别法

设x＝a是f（x）的奇点，

a．如果那么绝对收敛；

b．如果那么发散．

⑤柯西判别法的极限形式

设

a．如果0≤k＜∞，P＜1，那么为绝对收敛；

b．如果0＜k≤∞，P≥1，f（x）在区间（a，b]内的符号不改变，那么发散．

⑥设无界函数反常积分中的f（x）有奇点a，作变换就有

后者就是无穷限反常积分．

2．阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

（1）阿贝尔判别法

设f（x）在x＝a有奇点，收敛，g（x）单调有界，那么积分收敛．

（2）狄利克雷判别法

设f（x）在x＝a有奇点，是η的有界函数，g（x）单凋且当x→a时趋于零，那么积分收敛．

3．反常积分的主值

（1）无界函数反常积分的主值

设f（x）在[a，b]内无界，c是唯一奇点，a＜c＜b，如果

存在（注意，c－η与c＋η中的η是同一个正数），就称此极限是反常积分的柯西主值，记为

，

（P．V．是Princeple Value的缩写）．

（2）无穷限反常积分的柯西主值

无穷限的反常积分的柯西主值为