10.2　课后习题详解

§1　无穷限的广义积分

1．求下列广义积分的值：

解：

2．讨论下列广义积分的收敛性：

解：（1）

因是正常积分，则其必收敛

对因收敛，则收敛，从而收敛．

（2）因且收敛

则由比较判别法的极限形式，得收敛．

（3）因且收敛，从而收敛．

（4）

因且发散，从而由比较判别法的极限形式，得发散；

又为正常积分则收敛，于是发散；

从而由比较判别法，得发散．

（5）因时，有且

则由比较判别法，得发散．

（6）且为常义积分

（i）当n－m＞1时，有且积分收敛，故原积分收敛；

（ii）n－m≤1且x≥1时，有且发散，故原积分发散

则当n－m＞1时，收敛；当n－m≤1时，发散．

3．证明绝对收敛的广义积分必收敛，但反之不然．

证明：已知收敛，又柯西判别原理，得对当A"＞A'＞A时，有

则于是从而收敛．

收敛的广义积分未必绝对收敛．

例：收敛；而发散．

4．证明对于无穷限积分，分部积分公式成立（当公式中各部分有意义时）

证明：对于任意A＞a，成立

两边取极限，得

则

5．证明：设f（x）为[0，＋∞）上的一致连续函数，并且积分收敛，则如果仅仅积分收敛，以及f（x）在[0，＋∞）上连续，f（x）≥0，是否仍旧成立

证明：用反证法．设则对任意大的A＞0，都存在x_A＞A，使得|f（x_A）|≥2ε．取序列A_n→＋∞（n→＋∞），有序列x_n→＋∞且x_n＞A_n（n＝1，2…），使|f（x_n）|≥2ε．

另一方面，由f（x）的一致收敛性，对上述ε＞0，使得当|x＇－ｘ＂|＜δ时，有|f（x＇）－f（ｘ＂）|＜ε

因此，对一切n，当时，有|f（x）－f（ｘ_n）|＜ε，即f（ｘ_n）－ε＜f（x）＜f（ｘ_n）＋ε

当f（x_n）＞0时，|f（x_n）|＝f（x_n）≥2ε，由左端不等式，得f（x）＞2ε－ε＝ε

当f（x_n）＜0时，|f（x_n）|＝－f（x_n）≥2ε，由右端不等式，得f（x）＞－2ε＋ε＝－ε

从而（当f（x_n）＞0时）或（当f（x_n）＜0时）

此与收敛矛盾，则假设不成立，于是

（2）积分收敛，以及f（x）在[0，＋∞）连续，f（x）≥0，并不能保证

例：它是绝对收敛的．

因

其中

注意到当于是

故有

同理，有

因为正常积分，则必收敛

又且收敛，则收敛

于是绝对收敛

显然在[0，＋∞）上非负连续

但若取x_n＝2nπ（n＝0，1，2…），有f（x_n）＝f（2nπ）＝2nπ→＋∞（n→∞）

则

6．证明：若f（x），g（x）在任何区间[a，A]可积，又设f²（x），g²（x）在[a，＋∞）积分收敛，那么[f（x），g（x）]²和|f（x）·g（x）|在[a，＋∞）皆可积．

证明：因f（x），g（x）在任何区间[a，A]可积，则存在，存在．

又都收敛，则收敛，于是

和都收敛．

又|f（x）－g（x）|²＝f²（x）＋g²（x）－2|f（x）·g（x）|≥0即；

则由比较判别法，得|f（x）·g（x）|在[a，＋∞）上可积．

又[f（x）＋g（x）]²＝f²（x）＋g²（x）＋2f（x）·g（x）≤f²（x）＋g²（x）＋2|f（x）·g（x）|≤2[f²（x）＋g²（x）]；

则由比较判别法，得[f（x），g（x）]²在[a，＋∞）上可积．

7．对无穷限广义积分，讨论平方可积和绝对可积的关，考察例子其中

证明：平方可积绝对可积

例：收敛，但发散；

收敛，且收敛

绝对可积平方可积

例：其中

收敛

发散；

收敛，且收敛．

8．讨论下列积分的绝对收敛性计条件收敛性：

（3）各为m，n次多项式且当x≥a时，Q_n（x）≠0

解：（1）对A＞0，由于

又，当x＞100时，则单调减少；

于是由狄立克判别法，得收敛．

但它不为绝对收敛．

由于

因则由柯西判别法的极限形式，得发散；

又为正常积分，则发散；

依前半段的证明，可知收敛，从而积分发散，

则发散，从而积分条件收敛．

（2）（i）当λ＞1时，因且当λ＞1时，收敛，从而绝对收敛．

同理绝对收敛．

（ii）当0＜λ≤1时

因且当0＜λ≤1时，单调减少，当x→＋∞时，趋于0，则由狄立克判别法，得收敛．

但由前面证明，可知收敛．

又发散，则发散，从而条件收敛．

同理，条件收敛．

（iii）当λ≤0时，

因n→＋∞，2nπ→＋∞，于是对任意A＞0，至少可以找到（2n＋1）π＞2nπ＞A．

取ε₀＝2，当（2n＋1）π＞2nπ＞A时，

则当λ≤0时，发散．

同理，发散．

综合知，λ＞1时，绝对收敛 ；

0＜λ≤1时，条件收敛；

λ＜0时，发散．

（3）（i）设m＜n．此时，真分式当x足够大时，随x→＋∞而单调下降趋于0；

又则据狄立克莱判别法，原积分收敛．

（ii）设Q_n（x）≡1．此时多项式为P_m（x）＝a_mx^m＋…＋a₀，不妨设a_m＞0；

由于故存在bπ＋π＞0，使当x＞bπ＋π时，；

于是有

其中，此时有

则I_n→∞（n→∞）．

又为正常积分，则必收敛，于是发散．

（iii）当m≥n时，其中R（x）为真分式，S（x）为整式．

由（ii）知，发散；由（i）知，收敛，故发散．

（iv）设Q_n（x）＝b_nxⁿ＋…＋b₁x＋b₀

由于则由8（2）知，当λ＝n－m＞1时，积分绝对收敛

综合知：m≥n时，积分发散；m＝n－1时，积分条件收敛；m＜n－1时，积分绝对收敛．

（4）对A＞2，

当x＞e^e时，此时函数单调减趋于0，

则由狄立克判别法，得收敛．

又为正常积分，则必收敛，于是收敛，

又其中为正整数，

因则由柯西判别法，得

发散，于是发散，从而原积分条件收敛．

§2　无界函数广义积分

1．下列积分是否收敛？如果收敛，求其值．

解：（1）因则x＝0为cosx的奇点，

又则积分发散．

（2）因则x＝0为lnx的奇点

又则积分收敛于－1．

2．讨论下列积分的收敛性：

解：（1）x＝0为的奇点

因则据柯西判别法，得绝对收敛．

（2）x＝0，x＝1均为被积函数的奇点，

因则据柯西判别法，得绝对收敛．

又则据柯西判别法，得绝对收敛．

从而绝对收敛．

（3）因则x＝1不是奇点，于是此积分只有一个奇点0；

又；

则据柯西判别法，得收敛．

（4）x＝0，均为被积函数的奇点，则

因且则据柯西判别法，得发散至＋∞，

又则发散．

（5）

对当p＞0时，0为奇点．因

；

则由柯西判别法，得当p＞0时收敛．

当p≤0时，为正常积分，则于是p为任何值时，均收敛．

对p＜0时，1为奇点；

因，

则据柯西判别法，得当－p＜1即0＞p＞－1时，收敛；

当－p≥0即p≤－1时，发散，

当p≥0时，为正常积分，故收敛．

于是当p＞－1时，收敛；当p≤－1时，发散，

综合知，当p＞－1时，收敛；当p≤－1时，发散．

（6）因

则，

从而当m≤2时，为正常积分，故收敛．

当m＞2时，x＝0为的奇点，

又，

则当0＜m－2＜1即2＜m＜3时，积分收敛；当m－2≥1即m≥3时，积分发散，

从而当m＜3时，收敛；当m≥3时，发散．

（7）当a≥1且b≥1时，均为正常积分，故收敛，

对积分，

因，

则由柯西判别法的极限形式，得当1－a＜1即a＞0时积分收敛；当1－a≥1即a≤0时，积分发散；

对积分，

因，且，

则由柯西判别法的极限形式，得当1－b＜1即b＞0时积分收敛；当1－b≥1即b≤0时，积分发散；

综上所述，当a＞0且b＞0时，收敛，其余情形积分均发散．

（8）

对积分，

因，

且对

，

则由柯西判别法的极限形式，得当1－a＋c＜1即a＞c＞0时收敛．

又，

则由柯西判别法的极限形式，得当1－a≥1即a≤0时发散．

对积分，

因，

且，

则由柯西判别法的极限形式，得当－b＜1即b＞－1时收敛；当－b≥1即b≤－1上发散．

综上所述，得当a＞0且b＞－1时，积分收敛，其余情形积分均发散．

3．证明无界函数广义积分的柯西判别法及其极限形式．

证明：（1）柯西判别法：

（i）由知

即存在，故绝对收敛．

（ii）因有；

又当p＝1时，发散，从而发散．

（2）柯西判别法的极限形式：

（i）设，

则对存在δ＞0使当a＜x＜a＋δ时，有0＜k－ε＜（x－a）p|f（x）|＜k＋ε，

即有，

于是同时收敛或发散（归结为柯西判别法），

从而当p＜1时，绝对收敛；p≥1时，f（x）有定号，则发散．

（ii）k＝0时，取ε₀＝1，则使当a＜x＜a＋δ时，即

则由柯西判别法，得p＜1上，绝对收敛．

（iii）k＝∞时，取G＝1，则使当a＜x＜a＋δ时，有，即

，

则由柯西判别法，得当p≥1时，发散；又f（x）有定号，从而发散．

综上，得若0≤k＜＋∞，p＜1，那么绝对收敛；若0＜k≤＋∞，p≥1时，那么发散．

4．讨论下列积分的收敛性：

解：（1）x＝0，1，2均为被积函数的奇点：

对积分，

因，

则由柯西判别法的极限形式，得积分绝对收敛．

对积分，

因，

则由柯西判别法的极限形式，得积分绝对收敛．

同此可证，得积分绝对收敛．

对积分，

因，

则由柯西判别法的极限形式，得积分绝对收敛．

同此可证，得绝对收敛．

因x≥3时，绝对收敛，

则由比较判别法，得绝对收敛，

综上可知，绝对收敛．

（2）

对，

因则当α＞1时，0为奇点，

又，

则当α－1＜1即1＜α＜2时，绝对收敛；当α≥2时，发散；

当α≤1时，为正常积分，故必收敛，

从而当α＜2时，绝对收敛；当α≥2时，发散．

对，

取λ＞1，当α－λ＞0上，因，

则当α－λ＞0即α＞λ＞1时，积分绝对收敛；

又则当α≤1时，积分发散，

从而当1＜α＜2时，绝对收敛；其它情形，都发散．

（3）

对积分设min（p，q）＝p，

若p≤0，则为正常积分，故收敛

若p＞0，由于

故积分仅当p＜1即min（p，q）＜1时收敛

对积分设max（p，q）＝q

由于

故积分仅当q＞1即max（p，q）＞1时收敛

则积分当min（p，q）＜1且max（p，q）＞1时收敛．

（4）当0＜α≤1上，

当α≤0，，

则α≤1时，0不为奇点．

又，

则α≤1时，由柯西判别法的极限形式，得发散．

当α＞1时，因则0为奇点，

则．

对0为奇点，

因，

则由柯西判别法的极限形式，得α－1＜1即α＜2上，积分收敛；当α≥2上，积分发散．

对，

因当α＞1时积分收敛；当α≤1时，积分发散，

则由比较判别法，得当α＞1上，收敛；当α≤1时，发散．

总之，当1＜α＜2时，收敛；其余情形此积分均发散．

（5）

考虑对任意的p，

由于

则积分仅当q＜1且p为任意值时收敛．

考虑若p＞1，取α＞0充分小，使p－α＞1，则对任意q，

由于，

于是积分当p＜1且q为任意值时收敛；

若p≤1，q＜1，由于，

则此时积分发散，

从而积分当p＞1且q＜1时收敛．

（6）首先，被积函数关于是级无穷小（当x→±∞时）．

其次（不妨设为i≠j时，a_i≠a_j），

因

故积分仅当且pi＜1（i＝1，2，…，n）时收敛．

5．设f（x）当x→＋0时，单调趋向于＋∞，试证明：若收敛，必须

证明：由题设知0是f（x）的奇点，即是无界函数的广义积分，且当x充分靠近0上，

f（x）≥0，在[0，x]上单调．

又收敛，则由柯西收敛原理，对当时，有

．

由第一积分中值定理，得，

于是即从而

6．讨论下列积分的绝对收敛和条件收敛性：

解：（1），

对，

因，

则当－（p＋1）＜1即p＞－2上，绝对收敛；当p≤－2时，积分发散．

对，因而，则当q－p＞1即q＞p＋1上收敛，于是由比较判别法，得绝对收敛．

又，且可知，，当q≤p＋1时非绝对收敛．

总之，当p＞－2，q＞p＋1时，绝对收敛．

考虑

当q＞p时，单调减趋于0（x→＋∞），

则由狄立克莱判别法，得收敛．

当q≤p时，当q＝p时，当q＜p时，，

则对充分大的x，恒有．

于是对使得且当时，恒有．

从而对有，

则由柯西育路，得发散．

综上所述，当q＞p＋1＞－1时，绝对收敛；当p＋1≥q＞p＞－2时，条件收敛．

（2）因

则当λ＞1，0为奇点．

对被积函数为正，0为奇点．

因，

则由柯西判别法的极限形式，得λ－1＜1即λ＜2时，绝对收敛；

当λ≥2时，发散

对，

λ＞1时，则绝对收敛．

于是当1＜λ＜2时绝对收敛；

当λ≤1时，，

因发散，发散，则发散．

对，

因，

又单调减趋于0，则据狄立克判别法，得对λ＞0有收敛．

于是当0＜λ≤1时条件收敛，

从而当1＜λ＜2时绝对收敛；当0＜λ≤1时条件收敛．

（3）

对于I₁，令则．

对于I_2，

因则当n＞1时，I₂绝对收敛．

因，

，

且，

则当n∈（0，1]时，单调增即单调减趋于0（x→∞）．

于是由狄立克莱判别法，得当0＜n≤1时，I₂收敛．

又，

当0＜n≤1时，发散，收敛，

则当0＜n≤1时，发散．

于是由比较判别法，知，当0＜n≤1时发散．

从而当0＜n≤1时，条件收敛．

当n≤0时，对使得且当时，恒有

于是，对有

则由柯西收敛原理，得当n≤0时，I₂发散．

对于I₁，由I₂的结论，得当2－n＞1即n＜1时绝对收敛；当1≥2－n＞0即1≤n＜2时条件收敛；

当2－n≤0，即n≤2时发散．

总之，当0＜n＜2时条件收敛．

7．设f（x）单调下降，如果导数f'（x）在[0，＋∞）上连续，那么积分收敛．

证明：因（sin²x）'＝sin2x，导数f'（x）在[0，＋∞）上连续，

则由分部积分公式，得

对于由已知f（x）单调下降，及

则由狄立克莱判别法，得收敛，从而积分收敛．

8．在无界函数的广义积分（积分限为有限）中，证明平方可积一定绝对可积，但反之不然．

证明：由已知f²（x）可积，则也可积

因则

于是由比较判别法，得|f（x）|可积即平方可积定绝对可积．

反之不然．

例：由57页例1，得收敛即绝对收敛，

但发散，即在[1，2]上不可积．

9．计算下列积分的柯西主值：

解：

10．证明广义积分及柯西主值之间的关系：

（1）若收敛，其值为A，则柯西主值存在，且等于A，但反之不然；

（2）若f（x）≥0，存在，其值为A，则收敛，且收敛于A．

证明：（1）由收敛，知收敛，

则有存在，特别取B＝－A，有存在，且等于A．

这表明存在，且等于A．

但反之不然．

例如：但不收敛．

（2）用反证法．

若不然，则由于f（x）≥0，得和中至少有一为＋∞，

于是和中当A→＋∞时至少有一趋于＋∞，而另一个大于等于0，从而它们的和趋于＋∞，这与己知存在矛盾，则收敛．

又由则据极限唯一性，得．