你还记得在上一章中我们讨论过的对称吗？而反函数就要从对称和翻折说起。如果有一函数y=f(x)，那么它的反函数就是将其图像沿着y=x这样一条斜线进行翻折后得到的图。但是这种翻折也不是绝对的，我们还需要考虑定义域等因素。所以严谨一些的说法应该是：让该函数的某一部分沿着y=x的图像进行翻折。

有的读者可能就会问：“这么折腾来折腾去，求反函数有什么意义吗？”

一般来说，反函数和原函数的自变量和因变量对调，拿第1章的例子来说，即我们可以通过缩印用了多少页纸推算出原本需要印多少页的资料。而拿本章的例子来说，即通过测量面团的近似半径来求出它的重量。因此，反函数常被用于天文学和经济学等学科的部分计算中。

如果某函数 x=f(y)^注44，它在 某一段^注45内是 单调的^注46，并且具备可导的性质，满足f′(y)≠0。

要求f′(y)≠0的原因是，如果f′(y)=0，则说明它在此处是一条水平的线，那么经过翻折得到的反函数就一定有一段线是垂直的，而一条垂直的线的导数是没有意义的，也就是其不存在导数。既然这样导数不存在，那么我们就没有办法求它的导数了。

把x=f(y)的反函数写作y=f^-1(x)，我们可以这样理解：f^-1表示的是f的反函数，由于自变量和因变量的位置需要交换，所以就写成了y=f^-1(x)。

按照之前学过的求极限的方法，我们在该函数的指定区间内，任取不重合的两点——x和x+Δx。因为我们事先规定过x=f(y)在这一段中是单调的，那么我们就可以推出，经过翻折后得到的反函数y=f^-1(x)在同一段中也是单调的。既然它是单调的，那么则有：

Δy=f^-1(x+Δx)-f^-1(x)且Δy≠0

于是就有：