第1部分
八届预赛试题及参考答案

首届全国大学生数学竞赛预赛（2009年非数学类）

试题

一、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）

（1）计算，其中区域D是由直线x+y=1与两坐标轴所围三角形区域．

（2）设f（x）是连续函数，且满足，则f（x）=________.

（3）曲面平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是________.

（4）设函数y=y（x）由方程xef（y）=eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f′≠1，则.

二、（5分）求极限，其中n是给定的正整数．

三、（15分）设函数f（x）连续，，且，A为常数，求g′（x）并讨论g′（x）在x=0处的连续性．

四、（15分）已知平面区域D=｛（x，y）｜0≤x≤π，0≤y≤π｝，L为D的正向边界，试证：

五、（10分）已知

y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x-e-x

是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程．

六、（10分）设抛物线y=ax2+bx+2lnc过原点，当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为.试确定a，b，c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小．

七、（15分）已知un（x）满足

且，求函数项级数之和．

八、（10分）求x→1-时，与等价的无穷大量．

参考答案

一、（1）.（2）.（3）2x+2y-z-5=0.（4）.

二、解

其中大括号内的极限是型未定式，由洛必达法则，有

于是

三、解　由题设，知f（0）=0，g（0）=0．令u=xt，得

而

由导数的定义有

另外

从而知g′（x）在x=0处连续．

四、证法1　由于区域D为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算．

所以

（2）由泰勒公式得esinx+e-sinx≥2+sin2x，故

证法2　（1）根据格林公式，将曲线积分化为区域D上的二重积分

因为关于y=x对称，所以

故

（2）由，有

五、解　根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识，由题设可知2y1-y2-y3=e2x与y1-y3=e-x是相应齐次方程两个线性无关的解，且xex是非齐次方程的一个特解，因此可以用下述两种解法．

解法1　设此方程式为

y″-y′-2y=f（x）.

将y=xex代入上式，得

f（x）=（xex）″-（xex）′-2xex=2ex+xex-ex-xex-2xex=ex-2xex，

因此所求方程为y″-y′-2y=ex-2xex.

解法2　设y=xex+c1e2x+c2e-x是所求方程的通解，由

y′=ex+xex+2c1e2x-c2e-x，y″=2ex+xex+4c1e2x+c2e-x，

消去c1，c2得所求方程为y″-y′-2y=ex-2xex.

六、解　因抛物线过原点，故c=1．由题设有

即，而

令

得，代入b的表达式得，所以y≥0.

又因及实际情况，当，，c=1时，体积最小．

七、解　先解一阶常系数微分方程，求出un（x）的表达式，然后再求的和．

由已知条件可知是关于un（x）的一个一阶常系数线性微分方程，故其通解为

由条件，得c=0，故，从而

，其收敛域为［-1，1），当x∈（-1，1）时，有

故

当x=-1时

于是，当-1≤x＜1时，有

八、解　，故有