第八届全国大学生数学竞赛预赛（2016年非数学类）

试题

一、填空题（本题共5个小题，每题6分，共30分）

（1）若f（x）在点x=a处可导，且f（a）≠0，则.

（2）若f（1）=0，f′（1）存在，求极限.

（3）若f（x）有连续导数，且f（1）=2，记z=f（exy2），若，求f（x）在x＞0的表达式．

（4）设f（x）=exsin2x，求f（4）（0）.

（5）求曲面平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程．

二、（14分）设f（x）在［0，1］上可导，f（0）=0，且当x∈（0，1）时，0＜f′（x）＜1．试证：当a∈（0，1）时，有

三、（14分）某物体所在的空间区域为

Ω：x2+y2+2z2≤x+y+2z.

密度函数为x2+y2+z2，求质量

四、（14分）设函数f（x）在闭区间［0，1］上具有连续导数，f（0）=0，f（1）=1，证明：

五、（14分）设函数f（x）在区间［0，1］上连续，且．证明：在（0，1）内存在不同的两点x1，x2，使得

六、（14分）设f（x）在（-∞，+∞）上可导，且

用傅里叶级数理论证明f（x）为常数．

参考答案

一、解

（3）由题设，得．令exy2=u，则当u＞0时，有

积分得lnf（u）=lnu+C1，即f（u）=Cu.

又由初值条件得f（u）=2u．所以，当x＞0时，f（x）=2x.

（4）将ex和sin2x展开为带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，有

所以有，即f（4）（0）=-24.

（5）曲面在（x0，y0，z0）的切平面的法向量为（x0，2y0，-1）．又切平面与已知平面平行，从而两平面的法向量平行，所以有

从而x0=2，y0=1，得z0=3，所以切平面方程为

2（x-2）+2（y-1）-（z-3）=0，即2x+2y-z=3.

二、证明　设，则F（0）=0，下证F′（x）＞0.

再设，则F′（x）=f（x）g（x），由于f′（x）＞0，f（0）=0，故f（x）＞0．从而只要证明g（x）＞0（x＞0）．而g（0）=0．因此只要证明g′（x）＞0（0＜x＜a）．而

g′（x）=2f（x）［1-f′（x）］＞0.

所以g（x）＞0，F′（x）＞0，F（x）单调增加，F（a）＞F（0），即

三、解　由于

是一个各轴长分别为1，1，的椭球，它的体积为.

做变换，将区域变成单位球Ω′：u2+v2+w2≤1，而，所以

而　.所以.

四、证明　将区间［0，1］分成n等份，设分点为，则．且

五、证明　设，则F（0）=0，F（1）=1．由介值定理，存在ξ∈（0，1），使得．在区间［0，ξ］，［ξ，1］上分别应用拉格朗日中值定理，得

所以

六、证明　由可知，f是以2，为周期的周期函数，所以，它的傅里叶系数为

由于，所以

故有；同理可得

联立，有

解得an=bn=0（n=1，2，…）.

而f（x）可导，其傅里叶级数处处收敛于f（x），所以有

其中为常数．