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第六届全国大学生数学竞赛预赛(2014年非数学类)
试题
一、填空题(本题共5个小题,每题6分,共30分)
(1)已知y1=ex和y2=xex是二阶齐次常系数线性微分方程的解,则该方程是________.
(2)设有曲面S:z=x2+2y2和平面L:2x+2y+z=0,则与L平行的S的切平面方程是________.
(3)设函数y=y(x)由方程所确定,求
.
(4)设,则
.
(5)已知,则
.
二、(12分)设n为正整数,计算.
三、(14分)设函数f(x)在[0,1]上有二阶导数,且有正常数A,B使得|f(x)|≤A,|f″(x)|≤B.证明:对任意x∈[0,1],有.
四、(14分)(1)设一球缺高为h,所在球的半径为R.证明:该球缺的体积为,球冠的面积为2πRh.
(2)设球体(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≤12被平面P:x+y+z=6所截的小球缺为Ω.记球缺上的球冠为Σ,方向指向球外,求第二型曲面积分.
五、(15分)设f在[a,b]上非负连续,严格单增,且存在xn∈[a,b]使得.求
.
六、(15分)设,求
.
参考答案
一、解 (1)由解的表达式可知微分方程对应的特征方程有二重根,r=1,故所求微分方程为y″-2y′+y=0.
(2)设P0(x0,y0,z0)是S上一点,则S在点P0的切平面方程为
-2x0(x-x0)-4y0(y-y0)+(z-z0)=0.
由于该切平面与平面L平行,所以相应的法向量成比例,即存在常数k≠0,使得
(-2x0,-4y0,1)=k(2,2,1).
解得x0=-1,,
,所以所求切平面方程为
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(3)显然y(0)=1,等式两端对x求导,得
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将x=0代入可得y′=3.
(4).所以
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(5)由可得
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故有,其中α→0(x→0),即有
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从而
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二、解
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令lnx=u,则有
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三、证明 由泰勒公式,有
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上面两式相减,得
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由|f(x)|≤A,|f″(x)|≤B,得
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又x2+(1-x)2在[0,1]上的最大值为1,所以有
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四、(1)证明 设球缺所在球表面的方程为x2+y2+z2=R2,球缺的中心线为z轴,且设球缺所在的圆锥顶角为2α.
记球缺的区域为Ω,则其体积为
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由于球面的面积元素为dS=R2sinθdθ,所以球冠的面积为
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(2)解 记球缺的底面圆为P1,方向指向球缺外,且记
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由高斯公式得.其中V(Ω)为Ω的体积.
由于平面P的正向单位法向量为(1,1,1),故
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其中σ(P1)为P1的面积,故
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由于球缺底面圆心为Q(2,2,2),而球缺的顶点为D(3,3,3),故球缺的高度为,再由(1)所证并代入
,
,得
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五、解 考虑特殊情形:a=0,b=1.下面证明.
首先,xn∈[0,1].即xn≤1,只要证明∀ε>0(<1),∃N,当n>N时xn>1-ε.由f在[0,1]上严格单增,就是要证明
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由于∀c∈(0,1),有
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现取,则f(1-ε)<f(c),即
,于是有
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所以∃N,∀n>N时有
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即
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从而1-ε<xn,由ε的任意性得.
再考虑一般情形,令F(t)=f(a+t(b-a)),由f在[a,b]上非负连续,严格单增,知F在[0,1]上非负连续,严格单增.从而∃tn∈[0,1],使得,且
,即
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记xn=a+tn(b-a),则有
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六、解 令,因为
,所以有
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记,则
.令
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由拉格朗日中值定理,∃ξi∈(xi-1,xi)使得
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记mi,Mi分别是f′(x)在[xi-1,xi]上的最小值和最大值,则mi≤f′(ξi)≤Mi,故积分
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之间,所以∃ηi∈(xi-1,xi)使得
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于是,有.从而
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