第九节　集合问题★★★★

集合问题又称容斥原理，是数量关系中的重点题型之一，可分为两集合、三集合和四集合。

一、两集合

(1)公式法

两集合问题，涉及两个集合之间的相容与排斥，常用公式法解决，基本公式为: I－= |A|+ |B|－ |A∩B|，即总数－都不会=会A+会B－A和B都会。

【例1】某班对50名学生进行体检，有20人近视，12人超重，4人既近视又超重。该班有多少人既不近视又不超重?(　)

A. 22人　　　　B. 24人　　　　C. 26人　　　　D. 28人

——2013年浙江省考第54题

【解析】A。近视或超重的人数共有20+12－4 =28，所以既不近视又不超重的有50－28 =22人。故选A。

(2)画图法

有些题目尽管是两集合容斥问题，但直接使用公式的时候却无法计算，此时可以使用画图法，将题目已知条件依次标示在图中，即可得出所求的未知项。

【例2】接受采访的100个大学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没手机的共有多少人?(　)

A. 25　　　　B. 15　　　　C. 5　　　　D. 3

——2013年安徽事业单位第31题

【解析】D。根据题意，含有未知项不可直接使用公式，此时画图:

根据图示可得，有手机没电脑(红色区域)的人有15人，则既有手机又有电脑的有88－15 =73人，所以有电脑没手机(蓝色区域)的有76－73 =3人。故选D。

二、三集合

与两集合一样，三集合也有一个最基础的公式:|C∩A|+ |A∩B∩C|。

该公式还可演化为如下两个公式: I =只参加1种的人数+只参加2种的人数+只参加3种的人数－都不参加的人数，或者，I = A+ B+ C－只参加2种的人数－2×只参加3种的人数－都不参加的人数。

【例3】五年级一班共有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班，35人参加书法班，28人参加美术班，31人参加舞蹈班，其中以上三种特长培训班都参加的有6人，则有几人只参加了一种特长培训班?(　)

A. 45　　　　B. 33　　　　C. 29　　　　D. 22

——2013年陕西省考第78题

【解析】D。根据三集合的演化公式，可求出只参加两种培训班的人数为35+28+31－55－2×6 =27人;因此，只参加一种培训班的人有55－27－6 =22人。故选D。

【例4】某旅行团共有48名游客，都报名参观了三个景点中的至少一个。其中，只参观了一个景点的人数与至少参观了两个景点的人数相同，是参观了三个景点的人数的4倍。则需要为这些游客购买多少张景点门票?(　)

A. 48　　　　B. 72　　　　C. 78　　　　D. 84

——2014年北京市考第80题

【解析】C。设参观了三个景点的人数为x，则只参观了一个景点的人数、至少参观了两个景点的人数均为4x，所以只参观了两个景点的人数为3x。由于该旅行团的游客都报名参观了三个景点中的至少一个，有4x+3x+ x =48，解得x =6。所以需要买的景点门票张数为4×6×1+3×6×2+6×3 =78张。故选C。

三、四集合

当容斥问题中出现了四集合，而其中每两个集合又不能相容的时候，不好直接运用公式法，可以采用列表法来解决，将题目已知条件依次填入表格中，即可求出未知项。

【例5】某单位职工24人中，有女性11人，已婚的有16人。已婚的16人中有女性6人。问这个单位的未婚男性有多少人?(　)

A. 1　　　　B. 3　　　　C. 9　　　　D. 12

——2013年辽宁沈阳东陵区事业单位第54题

【解析】B。题干中出现了四集合，男性、女性、已婚、未婚，且男与女、已婚与未婚不相容。列表如下:

根据上述表格，职工总数24人，已婚16人，则未婚8人，而未婚女性是11－6 =5人，则未婚男性为3人。故选B。