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第3章极限导论

如果没有极限的概念，那么微积分将不复存在．这意味着，我们将用大量的时间来研究它们．事实证明，虽然恰当地定义一个极限是件相当棘手的事情，但你仍然有可能对极限有个直观理解，而无须深入其中的具体细节．这对于解决微分和积分问题已经足够了．因此，本章仅仅包含对极限的直观描述；正式描述请参见附录A.总的来说，以下就是我们会在本章讲解的内容：

· 对于极限是什么的直观概念；

· 左、右与双侧极限，及在∞和-∞处的极限；

· 何时极限不存在；

· 三明治定理（也称作“夹逼定理”）.

3.1 极限：基本思想

让我们开始吧．我们从某个函数f和x轴上的一点出发，该点称为a．需要理解的是：当x非常非常接近于a，但不等于a时，f（x）是什么样子的？这是一个非常奇怪的问题，人类相对晚近才发展出微积分很可能就是因为这个原因吧。

这里有一个例子，说明了为什么要提出这样的问题．令f的定义域为R\{2}（除2以外的所有实数），并设f（x）=x-1．这可以写作：

f（x）=x-1当x=2.

这看起来好像是一个古怪的函数．毕竟，到底为什么要将2从定义域中去除掉呢？其实，在下一章就会看到，f很自然地就是个有理函数（参见4.1节的第二个例子）不过现在，让我们姑且接受f的定义，并画出其图像，如图3-1所示。

图3-1

那么f（2）是什么呢？或许你会说f（2）=1，但这是大错特错了，因为2根本不在f的定义域中．你所能给出的最好回答就是f（2）是无定义的．另一方面，当x非常非常接近于2的时候，我们可以找到一些f（x）的值，并看看将会有什么发生．例如，f（2.01）=1.01,f（1.999）=0.999．稍作思考，你会发现当x非常非常接近于2的时候，f（x）的值会非常非常接近于1.

还有，只要令x充分地接近于2，那么你想多接近于1就能多接近于1，却又不是真的达到1．例如，如果你想要f（x）在1± 0.0001内，可以取在1.9999和2.0001之间的任意的x值（当然，除了x=2，这是禁止的）．如果你想要f（x）在1± 0.000007内，那么选取x的时候，你不得不更细心一点．这一次，你需要取在1.999993和2.000007之间的任意值了（当然，还是除了2）.

这些思想会在附录A的A.1节里有更详细的描述．不过现在，让我们回到正题，直接写出

如果你大声将它读出来，它听起来应该像是“当x趋于2, f（x）的极限等于1”．再次说明，这意味着，当x接近于2（但不等于2）时，f（x）的值接近于1．那到底有多近呢？你想要多近就能多近．以上陈述的另外一个写法是

f（x）→1当x→2.

这个写法更难用来计算，但其意义很清晰：当x沿着数轴从左侧或者从右侧趋近于2时，f（x）的值会非常非常接近于1（并保持接近的状态！）.

现在，取上述函数f并对它做一点改动．假设有一个新的函数g，其图像如图3-2所示。

图3-2

函数g的定义域是所有实数，并且g（x）可以被定义为如下的分段函数：

是什么呢？这里的关键是，g（2）的值和该极限是不相关的！只有那些在x接近于2时的g（x）的值，而不是在2处的值，才是问题的关键．如果忽略x=2，函数g和之前的函数f就是完全相同的．因此，尽管g（2）=3，我们还是有.

这里的要点是，当你写出当你求出极限的值时，结果不可能包含这个虚拟变量．所以对虚拟变量你要灵活处理。

的时候，等式左边实际上不是x的函数！要记住，以上等式是说，当x接近于2时，f（x）接近于1．事实上，我们可以将x替换成其他任意字母，上式仍然成立．例如，当q接近于2时，f（q）接近于1，因此我们有

也可以写成

如此等等，直到用光了所有的字母和符号！这里的要点是，在极限

中，变量x只是一个虚拟变量．它是一个暂时的标记，用来表示某个（在上述情况下）非常接近于2的量．它可以被替换成其他任意字母，只要替换是彻底的；同样，

3.2 左极限与右极限

我们已经看到，极限描述了函数在一个定点附近的行为．现在想想看，你会如何描述图3-3中h（x）在x=3附近的行为。

图3-3

当然，就趋于极限的行为而言，h（3）=2实际上是无关紧要的．现在，当你从左侧接近于x =3时会发生什么呢？想象一下，你是图中的远足者，顺着山势上下．h（x）的值会告诉你，当你的水平位置是x时，你所在高度是多少．因此，如果你从图的左边向右走，那么当你的水平位置接近于3时，你所在高度就会接近于1．当然，当到达x =3时你会陡然坠落（更不用说那个古怪的小突起），但暂时我们不关心．这时任何在x=3右侧的值，包含x=3本身对应的值，都是无关紧要的．因此，就可以看到h（x）在x=3的左极限等于1.

另一方面，如果你从图的右边向左走，那么当你的水平位置接近于x =3时，你所在高度就会接近于-2．这就是说，h（x）在x=3的右极限等于-2．这时任何在x=3左侧（包含x=3本身）的值都是无关紧要的。

可将上述发现总结如下：

在上面第一个极限中3后的小减号表示该极限是一个左极限，第二个极限中3后的小加号表示该极限是一个右极限．要在3的后面写上减号或加号，而不是在前面，这是非常重要的！例如，如果你写成

那么指的是h（x）在x=-3时的通常的双侧极限，而不是h（x）在x=3时的左极限．这确实是两个完全不同的概念．顺便说一下，在左极限的极限符号底下写x→3-的理由是，此极限只涉及小于3的x的值．也就是说，你需要在3上减一点点来看会有什么情况发生．类似地，对于右极限，当你写x→3+的时候，这意味着你只需要考虑如果在3上加一点点会有什么情况发生。

正如我们将在下一节看到的，极限不是总存在的．但这里的要点是：通常的双侧极限在x=a处存在，仅当左极限和右极限在x=a处都存在且相等！在这种情况下，这三个极限（双侧极限、左极限和右极限）都是一样的．用数学的语言描述，我们说，

等价于

如果左极限和右极限不相等，例如上述例子中的函数h，那么双侧极限不存在．我们写作

或使用缩写“DNE”表示“不存在”.

3.3 何时不存在极限

我们刚刚看到，当相应的左极限和右极限不相等时双侧极限不存在．这里有一个更戏剧性的例子．考虑f（x）=1/x的图像，如图3-4所示．是什么呢？双侧极限在那里不大可能存在．因此，我们先来试着求一下右极限，.看一下图像，当x是正的且接近于0时，f（x）看起来好像非常大．特别是，当x从右侧滑向0时，它看起来并不接近于任何数；它就是变得越来越大了．但会有多大呢？它会比你能想象到的任何数都大！我们说该极限是无穷大，并写作

图3-4

类似地，这里的左极限是-∞，因为当x向0上升时，f（x）会变得越来越负．这就是说，

由于左极限和右极限不相等，故双侧极限显然不存在．另一方面，考虑函数g,其定义为g（x）=1/x2，其图像如图3-5所示。

图3-5

此函数在x=0处的左极限和右极限都是∞，因此你也可以说.顺便说一下，现在我们有了一个关于“垂直渐近线”的正式定义：

“f在x=a处有一条垂直渐近线”说的是，和,其中至少有一个极限是∞或-∞.

现在，可能会出现左极限或右极限不存在的情况吗？答案是肯定的！例如，让我们来看一个怪异的函数g，其定义为g（x）=sin（1/x）．此函数的图像看起来会是什么样的呢？首先，让我们来看一下x的正值．由于sin（x）在x=π,2π,3π,…上的值全为0，因而sin（1/x）在1/x=π,2π,3π,…上的值全为0．我们取其倒数，会发现sin（1/x）在…上的值全为0．这些数就是sin（1/x）的x轴截距．在数轴上，它们看起来如图3-6所示。

图3-6

正如你看到的，当接近于0的时候，它们都挤在了一起．由于在每一个x轴截距之间，sin（x）向上走到1或向下走到-1，因此，sin（1/x）也一样．把目前已知的画出来，可得到图3-7.

图3-7

那么是什么呢？以上图像在x =0附近很杂乱．它无限地在1和-1之间振荡，当你从右侧向x=0处移动时，振荡会越来越快．这里没有垂直渐近线，也没有极限正式的证明请参见附录A的A.3.4节．．当x从右侧趋于x=0时，该函数不趋于任何数．因此可以说，不存在（DNE）．我们会在下一节将y=sin（1/x）的图像补充完整。

3.4 在∞和-∞处的极限

还有一类需要研究的极限．我们已经研究了在接近一点x=a时的函数行为．然而在有些情况下，重要的是要理解当x变得非常大时，一个函数的行为如何．换句话说，我们感兴趣的是，研究当变量x趋于∞时函数的行为．我们想写出

并以此表示，当x很大的时候，f（x）变得非常接近于值L，并保持这种接近的状态．（更多详情请参见附录A的A.3.3节．）重要的是要意识到，写出“”表示f的图像在y=L处有一条右侧水平渐近线．类似地，当x趋于-∞时，我们写出

它表示当x变得越来越负（或者更确切地说，-x变得越来越大）时，f（x）会变得非常接近于值L，并保持接近的状态．当然，这对应于函数y=f（x）的图像有一条左侧水平渐近线．如果愿意，你也可以把这些转化为定义：

“f在y=L处有一条右侧水平渐近线”意味着.

“f在y=M处有一条左侧水平渐近线”意味着.

当然，像y=x2这样的函数没有任何水平渐近线，因为当x变得越来越大时，y值只会无限上升．用符号表示，我们可以写作．另外，极限也有可能不存在．例如，会变得越来越接近何值（并保持这种接近状态）呢？它只是在-1和1之间来回振荡，因此绝不会真正地接近任何地方．此函数没有水平渐近线，也不会趋于∞或-∞；你所能作的最好回答是，不存在（DNE）.证明请参见附录A的A.3.4节。

让我们回到上一节看到的函数f，其定义为f（x）=sin（1/x）．当x变得非常大时会怎么样呢？首先，当x很大时，1/x会非常接近于0．由于sin（0）=0，那么sin（1/x）就会非常接近于0. x越大，sin（1/x）就会越来越接近于0．我的论证有点粗略，但希望能说服你相信如果你不信，请参见附录A的A.4.1节！

因此，sin（1/x）在y=0处有一条水平渐近线．这就能够扩展我们之前画的y=sin（1/x）的图像，至少是向右边做扩展．我们仍旧担心当x<0时会发生什么．事情不是太糟糕，因为f是一个奇函数．理由是

注意到我们使用了sin（x）是x的奇函数的事实来由sin（-1/x）得到-sin（1/x）.这样一来，由于奇函数有一个很好的性质，就是其图像关于原点对称（参见1.4节）,可以完整地画出y=sin（1/x）的图像，如图3-8所示。

图3-8

同样，很难画出当x在0附近时的情况．x越接近0，此函数就会振荡得越激烈．当然，该函数在x=0处无意义．在上图中，我选择避免在中间画得密密麻麻，而是把那里的激烈振荡留给你想象。

大的数和小的数

希望我们都认同1000000000000是一个大的数．那么-1000000000000呢？或许这会引起争议，但我要让你把它看作是一个大的负数，而不是一个小的数．举个小的数的例子，0.000000001，同时-0.000000001也是一个小的数（更确切地说，是一个小的负数）．有趣的是，我们不打算把0看作是个小的数：它就是零．因此，下面就是我们对于大的数和小的数的非正式定义：

· 如果一个数的绝对值是非常大的数，则这个数是大的；

· 如果一个数非常接近于0（但不是真的等于0），则这个数是小的。

尽管上述定义在我们的实际应用中很有帮助，但这实在是一个没有说服力的定义．“非常大”和“非常接近于0”分别意味着什么？好吧，我们考虑极限

正如之前看到的，它表示当x是一个足够大的数时，f（x）的值就会几乎等于L．可问题是，多大才是“足够大”呢？这取决于你想让f（x）距离L有多近！不过，从实际应用的角度出发，如果y=f（x）的图像看上去开始变得靠近在y=L的水平渐近线，那么这个数x足够大．当然，一切都依赖于函数f的定义，例如图3-9中的两种情况。

图3-9

在这两种情况下，f（10）都不在L的附近．在左图中，当x至少是100时，f（x）看上去非常接近于L，因此，任何比100大的数都是大数．在右图中，f（100）远离L,因此，现在的100就不是足够大了．在这种情形下，你可能需要走到200．那么你能够只选取一个像1000000000000这样的数，然后说它已经很大了吗？不可以，因为一个函数有可能一直起伏不定，直到比如5000000000000才变得趋于它的水平渐近线．这里的要点是，“大的”一词必须考虑到相关的某个函数或极限才有意义．幸好，没有最大，只有更大，往上还大有余地——甚至一个像1000000000000这样的数，相对于10100（古戈尔）来说还是相当小，而10100与101000000比起来又是那么微不足道……顺便说一下，我们会经常使用术语“在∞附近”来代替“大的正的数”.（在字面意义上说，一个数不可能真的在∞附近，因为∞无穷远．不过在x→∞时的极限的语境中，“在∞附近”的说法还是说得通的．）

当然，所有这些也都适用于x→-∞时的极限，你只需在上述所有大的正的数之前添加一个负号．在这种情况下，我们有时会说“在-∞附近”来强调我们所指的是大的负的数。

另一方面，我们会经常看到极限

在上述三种情况下，我们知道，当x足够接近于0时，f（x）的值几乎是L.（对于右极限，x还必须为正；而对于左极限，x还必须为负．）那么x必须离0多近呢？这取决于函数f．因此，当说一个数是“小的”（或者“接近于0”）时，必须结合某个函数或极限的语境来考虑，就像在“大的”情形中一样。

尽管这一番讨论让之前的非正式定义确实变得更严谨了一些，但它仍不算完美．如果你想了解更多，真的应该查看一下附录A的A.1节和A.3.3节。

3.5 关于渐近线的两个常见误解

现在是时候来纠正一些关于水平渐近线的常见误解了．首先，一个函数不一定要在左右两边有相同的水平渐近线．在3.3节f（x）=1/x的图像中，左右两侧都有y=0这条水平渐近线．也就是说，

然而，考虑图3-10中y=tan-1（x）（或反三角函数y=arctan（x），你可以使用这两种写法中的任意一种）的图像。

图3-10

此函数在y=π/2处有一条右侧水平渐近线，在y=-π/2处有一条左侧水平渐近线，它们是不同的．也可以用极限来表示：

因此，一个函数的确可以有不同的右侧和左侧水平渐近线，但最多只能有两条水平渐近线（一条在右侧，另一条在左侧）．它也有可能一条都没有，或者只有一条．例如，y = 2x有一条左侧水平渐近线，但没有右侧水平渐近线（参见1.6节的图像）.这和垂直渐近线相反：一个函数可以有很多条垂直渐近线（例如，y =tan（x）有无穷多条垂直渐近线）.

另外一个常见误解是，一个函数不可能和它的渐近线相交．或许你曾学到，渐近线是一条函数越来越接近但永远不会相交的直线．这并不正确，至少当你讨论的是水平渐近线时．例如，考虑定义为f（x）=sin（x）/x的函数f，这里我们只关心当x是很大的正数时的函数行为．sin（x）的值在-1和1之间振荡，因此，sin（x）/x的值在曲线y=-1/x和y=1/x之间振荡．此外，sin（x）/x和sin（x）有相同的零点，即π,2π,3π, …．综合所有的信息，其图像如图3-11所示。

图3-11

图像中用虚线表示的曲线y=1/x和y=-1/x形成了正弦波的包络．毫无疑问，正如你从图像中看到的，

必定成立．这意味着，x轴是f的水平渐近线，尽管y=f（x）的图像与x轴一次又一次地相交．为了证明上述极限，我们需要应用所谓的三明治定理．这个证明就在下一节的结尾部分。

3.6 三明治定理

三明治定理（又称作夹逼定理）说的是，如果一个函数f被夹在函数g和h之间，当x→a时，这两个函数g和h都收敛于同一个极限L，那么当x→a时，f也收敛于极限L.

以下是对该定理的一个更精确的描述．假设对于所有的在a附近的x，我们都有g（x）≤f（x）≤h（x），即f（x）被夹在g（x）和h（x）之间．此外，我们假设且．那么我们可以得出结论；即当x→a时，所有三个函数都有相同的极限．一如往常，一图胜千言（见图3-12）.

图3-12

在图像中用实线表示的函数f被夹在其他两个函数g和h之间；当x→a时，f（x）的极限被迫趋于L.（三明治定理的证明参见附录A的A.2.4节．）

对于单侧极限，我们也有一个类似版本的三明治定理，只是这时不等式g（x）≤f（x）≤h（x）仅在a的我们关心的一侧成立．例如，

是什么呢？y=x sin（1/x）的图像和y=sin（1/x）的图像很相似，只是现在，前面有一个x致使函数陷于包络y=x和y=-x之间．图3-13是x在0和0.3之间时的函数图像。

图3-13

从图中可以看到，当x趋于0时，函数仍旧有激烈的振荡，但现在它们被包络线抑制着．特别是，这里求我们想要的极限正是三明治定理的一个完美应用．函数g是下方的包络线y=-x，而函数h是上方的包络线y=x．我们需要证明对于x>0，有g（x）≤f（x）≤h（x）．由于只需要f（x）在x=0处的右极限，所以我们不关心x<0时的情况．（事实上，如果扩展到x轴负半轴，你可以看到，对于x<0,g（x）实际大于h（x），所以三明治要翻个身！）那么当x>0时，要怎样证明g（x）≤f（x）≤h（x）呢？我们将会用到任意数（在我们的例子中是1/x）的正弦都处于-1和1之间这一事实：

现在用x乘以这个不等式，由于x>0，得到

而这正是我们需要的g（x）≤f（x）≤h（x）．最后，注意到

因此，由于当x → 0+时，夹逼的函数g（x）和h（x）的值收敛于同一个数0，所有f（x）也一样．也就是说，证明了( )

要记住，如果前面没有因子x，上式显然不成立；正如我们在3.3节看到的，当x→0+时，sin（1/x）的极限不存在。

我们还没有解决上一节结尾部分的那个极限证明问题！回想一下，要证明的是

为了证明此式，需要用到三明治定理一个稍有不同的形式，涉及在∞处的极限．在这种情况下，如果对于所有的很大的x，都有g（x）≤f（x）≤h（x）成立；又如果已知且．就可以说，．这与有限处极限的三明治定理几乎是一样的．为了确立上述极限，还要用到，对于所有的x，都有-1≤sin（x）≤1，但这次，对于所有的x>0，要用该不等式除以x得到