第2章 三角学回顾

学习微积分必须要了解三角学．说实话，我们一开始不会碰到很多有关三角学的内容，但当它们出现的时候，会让我们感觉不容易．因此，我们不妨针对三角学最重要的一些方面进行一次全面的回顾：

· 用弧度度量的角与三角函数的基本知识；

· 实轴上的三角函数（不只是介于0◦和90◦的角）；

· 三角函数的图像；

· 三角恒等式。

准备开始回忆吧……

2.1 基本知识

首先要回忆的是弧度的概念．旋转一周，我们说成2π弧度而不是360◦．这似乎有点古怪，但这里也有一个理由，那就是半径为1个单位的圆的周长是2π个单位．事实上，这个圆的一个扇形的弧长就是这个扇形的圆心角的弧度，如图2-1所示。

上图表示了一般情况，但要紧的还是一些常用角的度和弧度表达．首先，你应该确实掌握，90◦和π/2弧度是一样的．类似地，180◦和π弧度是一样的，270◦和3π/2弧度是一样的．一旦掌握了这几个角，就试着将图2-2中所有的角在度与弧度之间来回转换吧。

更一般地，如果需要的话，也可以使用公式

用弧度度量的角=×用度度量的角。

例如，要想知道5π/12弧度是多少度，可求解

你会发现5π/12弧度就是（180/π）×（5π/12）=75◦．事实上，可以将弧度和度的转换看成是一种单位的转换，如英里和公里的转换一样．转换因数就是π弧度等于180◦.

到目前为止，我们仅仅研究了角，现在来看看三角函数吧．显然，你必须知道如何由三角形来定义三角函数．假设我们有一个直角三角形，除直角外的一角被记为θ，如图2-3所示．那么，基本公式为

当然，如果变换了角θ，那么也必须变换其对边和邻边，如图2-4所示．毫不奇怪，对边就是对着角θ的边，而邻边则是挨着角θ的边．不过，斜边始终保持不变：它是最长的那条边，并始终对着直角。

我们也会用到余割、正割和余切这些倒数函数，它们的定义分别为

如果你有计划要参加一次微积分的考试（或者即便你没有），我的一点建议是：请熟记常用角0, π/6, π/4, π/3, π/2的三角函数值．例如，你能不假思索化简sin（π/3）吗？tan（π/4）呢？如果你不能，那么最好的情况下，你通过画三角形来寻找答案，从而白白浪费时间；而最坏的情况下，由于总是没有化简你的回答，你白白丢掉分数．解决的方法就是要熟记下表。

表中的星号表示tan（π/2）无定义．事实上，正切函数在π/2处有一条垂直渐近线（从图像上看会很清楚，我们将在2.3节对此进行研究）．无论如何，你必须能够熟练地说出该表中的任意一项，而且来回都要掌握！这意味着你必须能够回答两类问题．这两类问题的例子是：

（1）sin（π/3）是什么？（使用该表，答案是.）

（2）介于0到π/2，其正弦值为的角是什么？（显然，答案是π/3.）当然，你必须能够回答该表中的每一项所对应的这两类问题．就算我求大家了，请背熟这张表！数学不是死记硬背，但有些内容是值得记忆的，而这张表一定位列其中．因此，无论是制作记忆卡片，让你的朋友来测验你，还是每天抽一分钟记忆，不管用什么办法，请背熟这张表。

2.2 扩展三角函数定义域

上表（你背熟了吗？）仅仅包括介于0到π/2的一些角．但事实上，我们可以取任意角的正弦或者余弦，哪怕这个角是负的．对于正切函数，我们则不得不小心些．例如，上面我们看到的tan（π/2）是无定义的．尽管如此，我们还是能够对几乎每一个角取正切。

让我们首先来看看介于0到2π（记住，2π就是360◦）的角吧．假设你想要计算sin（θ）（或cos（θ）或tan（θ）），其中θ是介于0到π/2的角．为了看得更清楚，我们先来画一个带有一点古怪标记的坐标平面，如图2-5所示。

注意到坐标轴将平面分成了四个象限，标记为I到IV，且标记的走向为逆时针方向．这些象限分别被称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限．下一步是要画一条始于原点的射线（就是半直线）．那么究竟是哪一条射线呢？这取决于角θ.来想象一下，你自己站在原点上，面向x轴的正半轴．现在沿着逆时针方向转动角θ，然后你沿着一条直线向前走．你的足迹就是你要找的那条射线了。

现在，图2-5（以及图2-2）中的其他标记就说得通了．事实上，如果你转动了角π/2，你将正面向上并且你的足迹将是y轴的正半轴．如果你转动了角π，你将得到x轴的负半轴．如果你转动了角3π/2，你将得到y轴的负半轴．最后，如果你转动了角2π，那么就又会回到了你起始的那个位置，即面向x轴的正半轴．这就好像你根本没转动过！这就是为什么图中会有0≡2π．对于角度而言，0和2π是等价的。

好了，让我们取某个角θ并以恰当的方式画出它．或许它就在第三象限的某个地方，如图2-6所示。

注意到我们将这条射线标记为θ，而不是这个角本身．不管怎样，现在在这条射线上选取某个点并从该点画一条垂线至x轴．我们对三个量感兴趣：该点的x坐标和y坐标（当然它们被称为x和y），以及该点到原点的距离，我们称为r．注意，x和y可能会同时为负（事实上，在图2-7中它们均为负）．然而，r总是正的，因为它是距离．事实上，根据毕达哥拉斯定理（即勾股定理），不管x和y是正还是负，我们总会有.（平方会消除任何负号．）

有了这三个量，我们就可以定义如下的三个三角函数了：

将量x、y和r分别解释为邻边、对边和斜边，这些函数恰好就是2.1节中的固定公式了．不过等一下，如果你在那条射线上选取了另外一个点，那会是什么样子呢？这不要紧，因为你得到的新的三角形和原来的那个三角形是相似的，而上述比值不会受到任何影响．事实上，为方便起见，我们常常假设r=1，这样得到的点（x,y）会落在所谓的单位圆（就是以原点为中心，半径为1的圆）上。

现在来看一个例子．假设，我们想求sin（7π/6）．首先，7π/6会在第几象限呢？我们需要决定7π/6会出现在列表0, π/2, π,3π/2,2π的哪个地方．事实上，7/6大于1但小于3/2，故7π/6在π和3π/2之间．事实上，图2-8看起来很像前面的例子。

因此，角7π/6在第三象限．然后，我们选取了该射线上的一点，该点至原点的距离r=1，并从该点至x轴做了一条垂线．由前述公式可知，sin（θ）=y/r=y（因为r=1），因此，我们还是要求出y．好吧，那个小角，就是在7π/6处的射线和x轴的负半轴（其为π）之间的角一定是这两个角的差，即π/6．这个小角被称为参考角．一般来说，θ的参考角是在表示角θ的射线和x轴之间的最小的角，它必定介于0到π/2．在我们的例子中，到x轴的最短路径是向上，所以参考角如图2-9所示．因此，在那个小三角形中，我们知道r=1，以及角为π/6．似乎答案就是y=sin（π/6）=1/2，但这是错的！由于在x轴的下方，y一定为负值．也就是说，y=-1/2．因为sin（θ）=y，我们也就证明了sin（7π/6）=-1/2．对于余弦来说，也可以重复这个过程，求出x=-cos（π/6）=．毕竟，由于点（x, y）在y轴的左侧，因此x必须为负．这样就证明了，并且识别出点（x,y）即为点.

2.2.1 ASTC方法

上例中的关键是将sin（7π/6）和sin（π/6）联系起来，其中π/6是7π/6的参考角．事实上，并不难看出任意角的正弦就是其参考角正弦的正值或负值！这就使问题缩小到两种可能性上，而且没有必要再纠缠于x, y或r如此这般麻烦．因此，在我们的例子中，只需要求出7π/6的参考角，即π/6；这就会立即可知sin（7π/6）等于sin（π/6）或-sin（π/6），而我们只需从中选出正确的结果．我们发现，结果是负的那个，因为y是负的。

事实上，在第三或第四象限中的任意角的正弦必定为负，因为那里的y为负．类似地，在第二或第三象限中的任意角的余弦必定为负，因为那里的x为负．正切是比值y/x，它在第二和第四象限为负（由于x和y中的一个为负，但不全为负）,而在第一和第三象限为正。

我们来总结一下这些发现．首先，所有三个函数在第一象限（I）中均为正．在第二象限（II）中，只有正弦为正，其他两个函数均为负．在第三象限（III）中，只有正切为正，其他两个函数均为负．最后，在第四象限（IV）中，只有余弦为正，其他两个函数均为负．具体如图2-10所示。

事实上，你只需要记住图表中的字母ASTC就行了．它们会告诉你在那个象限中哪个函数为正．“A”代表“全部”，意味着所有的函数在第一象限均为正．显然，其余的字母分别代表正弦、正切和余弦．在我们的例子中，7π/6在第三象限，所以只有正切函数在那里为正．特别地，正弦函数为负，又由于我们已经把sin（7π/6）的可能取值缩小到1/2或-1/2了，因此结果一定是负的那个，即sin（7π/6）=-1/2.

ASTC图唯一的问题在于，它没有告诉我们该如何处理角0, π/2, π或3π/2,因为它们都位于坐标轴上．这种情况下，最好是先忘记所有ASTC的内容，然后以恰当的方式画一个y=sin（x）（或cos（x），或tan（x））的图像，并且从图像中读取数值．我们将在2.3节对此进行研究。

以下是用ASTC方法来求介于0到2π的角的三角函数值的总结。

（1）画出象限图，确定在该图中你感兴趣的角在哪里，然后在图中标出该角。

（2）如果你想要的角在x轴或y轴上（即没有在任何象限中），那么就画出三角函数的图像，从图像中读取数值（2.3节有一些例子）.

（3）否则，找出在代表我们想要的那个角的射线和x轴之间最小的角，这个角被称为参考角。

（4）如果可以，使用那张重要的表来求出参考角的三角函数值．那就是你需要的答案，除了你可能还需要在得到的值前面添一个负号。

（5）使用ASTC图来决定你是否需要添一个负号。

来看一些例子．如何求cos（7π/4）和tan（9π/13）呢？我们一个一个地看．对于cos（7π/4），我们注意到7/4介于3/2和2之间，故该角必在第四象限，如图2-11所示。

为了求出参考角，注意到我们必须向上走到2π（注意！不是到0），因此，参考角就是2π和7π/4的差，即（2π-7π/4），或简化为π/4．所以cos（7π/4）是正的或负的cos（π/4）．根据表，cos（π/4）是．但到底是正的还是负的呢？由ASTC图可知，在第四象限中余弦为正，故结果为正的那个：cos（7π/4）=.

现在来看一下tan（9π/13）．我们发现9/13介于1/2和1之间，故角9π/13在第二象限，如图2-12所示。

这一次，我们需要走到π以到达x轴，故参考角就是π和9π/13的差，即（π-9π/13），或简化为4π/13．这样，我们知道tan（9π/13）是正的或负的tan（4π/13）.哎呀，可是数4π/13没有在我们的表里面，因此不能化简tan（4π/13）．可我们还是需要确定它是正的还是负的．那好，ASTC图显示，在第二象限中只有正弦为正，故正切一定为负，于是tan（9π/13）=-tan（4π/13）．这就是不使用近似可以得到的最简形式．在求解微积分问题的时候，我不建议取近似结果，除非题目中有明确要求．一个常见的误解是，当你计算如同-tan（4π/13）这样的问题时，由计算器计算出来的数就是正确答案．其实，那只是一个近似！所以你不应该写

-tan（4π/13）=-1.448750113,

因为它不正确．就应该写-tan（4π/13），除非有特别的要求，让做近似．在那种情况下，使用约等号和更少的小数位数，并恰当化整近似（除非要求保留更多小数位数）：

-tan（4π/13）≈-1.449.

顺便说一下，你应该少用计算器．事实上，一些大学甚至不允许在考试中使用计算器！因此，你应该尽量避免使用计算器。

2.2.2 [0, 2π]以外的三角函数

还有一个问题，就是如何取大于2π或小于0的角的三角函数．事实上，这并不太难，简单地加上或减去2π的倍数，直到你得到的角在0和2π之间．你看，它并不是在2π就完了．它是一直在旋转．例如，如果我让你站在一点面向正东，然后逆时针方向旋转450◦，一种自然的做法是，你旋转一整周，然后再旋转90◦．现在你应该是面向正北．当然，另一种不那么头晕目眩的做法是，你只逆时针方向旋转90◦,而你面向的是同样的方向．因此，450◦和90◦是等价的角．当然，这对于弧度来说也一样．这种情况下，5π/2弧度和π/2弧度是等价的角．但为什么要止步于旋转一周呢？9π/2弧度又如何？这和旋转2π两次（这样我们得到4π），然后再旋转π/2是一样的．因此，在得到最终的π/2之前，我们做了两周徒劳的旋转．旋转周数无关紧要，我们再次得到9π/2和π/2等价．这个过程可以被无限地扩展下去，以得到等价于π/2的角的一个家族：

当然，这其中的每一个角都比前一个角多一个整周旋转，即2π．但这仍然还没算完．如果你做了所有这些逆时针旋转，并感到头晕目眩，或许你也会要求做一个或两个顺时针旋转来缓和一下．这就相当于一个负角．特别地，如果你面向东，我让你逆时针旋转-270◦，对我这个怪异要求唯一合理的解释就是顺时针旋转270◦（或3π/2）．显然，你最终仍然会面向正北，因此，-270◦和90◦一定是等价的．确实，我们将360◦加到-270◦上就会得到90◦．使用弧度，我们则看到，-3π/2和π/2是等价的角．另外，我们可以要求更多负的（顺时针方向）整周旋转．最后，以下就是等价于π/2的角的完全的集合：

这个序列没有开端也没有结束．当我说它是“完全的”时，我用前后两头的省略号代表了无穷多个角．为了避免这些省略号，我们可以使用集合符号{π/2+2πn}，其中n可以取所有整数。

来看一下是否可以应用它吧．如何求sec（15π/4）呢？首先，注意到如果我们能够求出cos（15π/4），所要做的就是取其倒数以得到sec（15π/4）．因此，让我们先求cos（15π/4）．由于15/4大于2，让我们先试着消去2．这样，15/4-2=7/4，现在它介于0和2之间，这看上去很有希望了．代入π，我们看到cos（15π 4）和cos（7π/4）是一样的，并且我们已经求出其结果为．因此，．取其倒数，我们发现sec（15π/4）就是.

最后，sin（-5π/6）又如何呢？有很多方法来求解此问题，但上面提到的方法是试着将2π的倍数加到-5π/6上，直到结果是介于0到2π的．事实上，2π加上-5π/6得7π/6，因此，sin（-5 /6）=sin（7π/6），后者我们已经知道等于-1/2．另外，我们也可以直接画图2-13.

现在，你必须找出图中的参考角．不难看出，它是π/6，然后一如前述。

2.3 三角函数的图像

记住正弦、余弦和正切函数的图像会非常有用．这些函数都是周期的，这意味着，它们从左到右反复地重复自己．例如，我们考虑y=sin（x）．从0到2π的图像看上去如图2-14所示。

你应该做到能够不假思索就画出这个图像，包括0, π/2, π,3π/2和2π的位置．由于sin（x）以2π为单位重复（我们说sin（x）是x的周期函数，其周期为2π），通过重复该模式，我们可以对图像进行扩展，得到图2-15.

从图像中读值，可以看到sin（3π/2）=-1, sin（-π）=0．正如之前注意到的，你应该这样去处理π/2的倍数的问题，而不用再找参考角那么麻烦了．另一个值得注意的是，该图像关于原点有180◦点对称性，这意味着，sin（x）是x的奇函数．（我们在1.4节中分析过奇偶函数．）

y=cos（x）的图像和y=sin（x）的图像类似．当x在从0到2π上变化时，它看起来就像图2-16.

现在，利用cos（x）是周期函数及其周期为2π这一事实，可对该图像进行扩展，得到图2-17.

例如，如果你想要求cos（π），只需从图像上读取，你会看到结果是-1．此外，注意到该图像关于y轴有镜面对称性．这说明，cos（x）是x的偶函数。

现在，y =tan（x）略有不同．最好是先画出x介于-π/2到π/2的图像，如图2-18所示。

与正弦函数和余弦函数不同的是，正切函数有垂直渐近线．此外，它的周期是π，而不是2π．因此，上述图样可以被重复以便得到y =tan（x）的全部图像，如图2-19所示。

很明显，当x是π/2的奇数倍数时，y=tan（x）有垂直渐近线（因而此处是无定义的）．此外，图像的对称性表明，tan（x）是x的奇函数。

y =sec（x）、y =csc（x）及y =cot（x）的函数图像也值得我们去学习，它们分别如图2-20、图2-21及图2-22所示。

从它们的图像中，可以得到所有六个基本三角函数的对称性的性质，这些也都值得学习。

因此，对于所有的实数x，我们有sin（-x）=-sin（x）, tan（-x）=-tan（x）, cos（-x）=cos（x）.

2.4 三角恒等式

三角函数间的关系用来十分方便．首先，注意到正切和余切可以由正弦和余弦来表示：

（有时，根据这些恒等式，用正弦和余弦来代替每一个正切和余切会有帮助，但这只是你被卡住时不得已而为之的下下策．）

所有三角恒等式中最重要的就是毕达哥拉斯定理了（用三角函数表示）,

这对于任意的x都成立．（为什么这是毕达哥拉斯定理呢？如果直角三角形的斜边是1，其中一个角为x，自己验证三角形的其他两条边长就是cos（x）和sin（x）.）

现在，让这个等式两边同除以cos2（x）．你应该能够得到以下结果：

该公式在微积分里也会经常出现．另外，你也可以将毕达哥拉斯定理等式两边同除以sin2（x），得到以下等式：

这个公式好像没有其他公式出现得那么频繁。

三角函数之间还有其他一些关系．你注意到了吗？一些函数的名字是以音节“co”开头的．这是“互余”（complementary）的简称．说两个角互余，意味着它们的和是π/2（或90◦）．可不是说它们相互恭维．好吧，不玩双关了，事实是有以下一般关系：

三角函数（x）=co-三角函数.

特别地，有：

甚至当三角函数名中已经带有一个“co”时，以上公式仍然适用；你只需要认识到，余角的余角就是原始的角！例如，co-co-sin事实上就是sin, co-co-tan事实上就是tan．基本上，这意味着我们还可以说：

最后，还有一组恒等式值得我们学习．这些恒等式涉及角的和与倍角公式．特别地，我们应该记住下列公式：

还应该记住，你可以切换所有的正号和负号，得到一些相关的公式：

sin（A-B）=sin（A）cos（B）-cos（A）sin（B）

cos（A-B）=cos（A）cos（B）+sin（A）sin（B）.

对于上述方框公式中的sin（A+B）和cos（A+B），令A=B=x，我们就会得到另一个有用的结果．很明显，正弦公式是sin（2x）=2sin（x）cos（x）．但让我们更仔细看一下余弦公式．它会变成cos（2x）=cos2（x）-sin2（x）；这本身没错，但更有用的是使用毕达哥拉斯定理sin2（x）+cos2（x）=1将cos（2x）表示成为2cos2（x）-1或1-2sin2（x）（自已验证一下它们是成立的！）．综上，倍角公式为：

那么如何用sin（x）和cos（x）来表示sin（4x）呢？我们可以将4x看作两倍的2x，并使用正弦恒等式，写作sin（4x）=2sin（2x）cos（2x）．然后应用两个恒等式，得到

sin（4x）=2（2sin（x）cos（x））（2cos2（x）-1）=8sin（x）cos3（x）-4sin（x）cos（x）.

类似地，

cos（4x）=2cos2（2x）-1=2（2cos2（x）-1）2-1=8cos4（x）-8cos2（x）+1.

你不用记这后两个公式；相反，你要确保理解了如何使用倍角公式来推导它们。

如果你能够掌握本章涉及的所有三角学内容，就能够很好地学习本书的剩余部分了．因此，抓紧时间消化这些知识吧．做一些例题，并确保你记住了那张很重要的表格和所有方框公式。